একটি এন-টার্ম মনোোটোন সিএনএফের সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত সূত্র

Question

এন ভেরিয়েবল ( ) এর এম পদগুলির একটি মনোোটোন সিএনএফ সূত্র হল , যেখানে প্রতিটি ভেরিয়েবলের কিছু উপসর্গের একটি বা একটি , এবং থেকে রেঞ্জ থেকে । f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i C i x 1 , … , x n i 1 $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

উদাহরণস্বরূপ, 4 টি ভেরিয়েবলের 2 একটি সিএনএফ সূত্র।$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

আমি সংক্ষিপ্ততম সূত্রটি খুঁজছি (অগত্যা একঘেয়ে নয়, প্রয়োজনীয় সিএনএফ, কোনও সূত্র তা করবে!) একই পদে এন ভেরিয়েবলগুলিতে এন ভেরিয়েবলগুলিতে প্রদত্ত মনোোটোন সিএনএফ সূত্র হিসাবে একই ফাংশনকে উপস্থাপন করে vari (নোট করুন যে পদগুলি এবং ভেরিয়েবলগুলির সংখ্যা একই))

একটি সূত্র তৈরির একটি সুস্পষ্ট উপায় হ'ল প্রদত্ত সিএনএফ সংজ্ঞাটি প্রসারিত করা, যা আমাদের আকারের সূত্র দেবে । (আসুন সূত্রটি যখন স্ট্রিং হিসাবে লিখিত হয় তখন তার দৈর্ঘ্য হতে আকারের সংজ্ঞা দিন) আমি জানতে চাই যে এটি সবচেয়ে কার্যকর সাধারণ নির্মাণ কিনা বা প্রতিটি এন-টার্ম মনোোটোন সিএনএফের জন্য যদি কোনও সূত্র বিদ্যমান থাকে তবে) আকারের ।ও ( এন 2$O(n^2)$$o(n^2)$

আমি কেবল এটি সম্ভব কিনা তা জানতে চাই, আমি কোনও অ্যালগরিদমের প্রতি সত্যই আগ্রহী নই। যদি এটি সম্ভব না হয় তবে একটি ফাংশন যা কাউন্টারিকাম হিসাবে কাজ করে তা দুর্দান্ত। সাহিত্যে আমি যেখানে উত্তর পেতে পারি তার জন্য পয়েন্টারগুলিও প্রশংসিত।

সম্পাদনা: আমি পাতলা পরিষ্কার করার জন্য একটি উদাহরণ যুক্ত করছি।

ইনপুট সূত্রটি বলুন । এটি একটি মনোোটোন সিএনএফ সূত্র। একটি সংক্ষিপ্ত সূত্র যা একই ফাংশনটি উপস্থাপন করে তা হ'ল: ।$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

Answer 1

আপনি একটি পেতে পারেন একটি কাউন্টিং যুক্তি ব্যবহার আবদ্ধ নিম্ন: আছে -term CNFs উপর ভেরিয়েবল (এই সহজ কিন্তু লাভ করার উদ্দেশ্যে শুধু একটু যত্ন প্রয়োজন নিশ্চিত হয়ে নিন যে কোনও অতিরিক্ত গণনা নেই) তবে সর্বাধিক আকারের সূত্র (বা এমনকি সার্কিট) রয়েছে । ই এক্স পি ( এন 2 ) এন এন ই এক্স পি ( গুলি লগ গুলি ) $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

দেখে মনে হচ্ছে যে শেষ ফ্যাক্টরটি জয়ের পক্ষে শক্ত হবে কারণ সূত্রের আকারের উপর ভিত্তি করে এটি চতুর্ভুজ নিম্ন স্তরের প্রমাণ করতে হবে এবং আমার ধারণা এটির জন্য কয়েকটি বিদ্যমান কৌশলই যথেষ্ট নয়। এমনকি সঠিক উত্তর হতে পারে - কমপক্ষে সার্কিট আকারের জন্য - কিছু চার-রাশিয়ান জাতীয় কৌশল ব্যবহার করে ।ও ( এন 2 / লগ এন $\log n$$O(n^2/\log n)$

Comments

পারফেক্ট, ধন্যবাদ! লগ এন ফ্যাক্টরটি আমার পক্ষে সত্যই গুরুত্বপূর্ণ নয়, সুতরাং এটি আমার প্রশ্নের সম্পূর্ণ উত্তর দেয়।

— রবিন কোঠারি

Answer 2

বিবেচনা করুন যে কোনও সিএনএফের জন্য আপনি ক্লোজ করতে পারেন মূল জড়িতদের সেট (যার মধ্যে কোনও ন্যূনতম অবশ্যই একটি উপসেট হতে হবে) সমাধানের অধীনে বন্ধ করে এবং সাবমোশন বিলোপ প্রয়োগ করে।

$F$$F$$F$

অবশ্যই, আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনি নতুন ভেরিয়েবলগুলি প্রবর্তন করতে চান না।

$n$$f$$n$

Comments

দারুণ আমি এটা পছন্দ করি. (উত্তীর্ণ হওয়ার ক্ষেত্রে, একরঙা ডিএনএফ মামলাটি আসে, @ রোবিন, আমি বিশ্বাস করি এটি আকর্ষণীয় হতে পারে: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.69.4716 )

— ড্যানিয়েল আপন

আমি নিশ্চিত নই যে আমি বুঝেছি. সর্বনিম্ন আকারের সিএনএফ হতে পারে আমার কাছে ইতিমধ্যে থাকা মনোোটোন সিএনএফ সূত্র হতে পারে তবে আমি কোনও প্রকারের ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্যের সূত্রটি সন্ধান করছি। এটি সিএনএফ বা মনোোটোন হতে হবে না। এই প্রশ্নটি পরিষ্কার করার জন্য আমি আমার প্রশ্নটি সম্পাদনা করব।

— রবিন কোঠারি

আহ আমি দেখি. ঠিক আছে, আমি যা বলছিলাম তা যদি এটি সিএনএফ হতে হয় তবে তা কভার করে। যদি এটি একটি নির্বিচারে প্রস্তাবমূলক সূত্র হতে পারে তবে আমার আরও চিন্তা করা দরকার।

— এমজিউইন