নিয়মিত গ্রাফের মধ্যে পরিচালনা এবং ব্যাস

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

আরও দৃ concrete়তার সাথে মনে করুন আমি জানি ব্যাস কমপক্ষে (বা সর্বাধিক) । এটি আমাকে চালনা সম্পর্কে কী বলে, যদি কিছু থাকে? এবং, বিপরীতভাবে, মনে করুন আমি জানি যে চালনটি সর্বাধিক (বা কমপক্ষে) । এটি ব্যাস সম্পর্কে আমাকে কী বলে, যদি কিছু থাকে? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— রবিনসন
সূত্র

দেখে মনে হচ্ছে যে সম্পত্তিটি আপনি জিজ্ঞাসা করছেন তার তুলনায় গ্রাফ বিস্তারের পরিবর্তে গ্রাফ সম্প্রসারণ , যা as হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে , যেখানে as হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে । কোনটি সম্পত্তি আপনি চান ??

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之之

@ হিসিয়েন-চি চ্যাং - যেহেতু গ্রাফটি নিয়মিত, আমি বিশ্বাস করি যে ডিগ্রি

এর একটি গুণক গুণক হিসাবে চালনা এবং প্রসারণ একই হওয়া উচিত ।

d

$d$

— রবিনসন

আহ, আমি খেয়াল করিনি যে গ্রাফটি নিয়মিত। বর্নানার জন্য ধন্যবাদ.

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

@ হিসিয়েন-চিহচ্যাং 張顯 I: আমি ভেবেছিলাম গ্রাফ সম্প্রসারণ এবং গ্রাফের আচরণ একই ধারণা। আপনার মন্তব্যে সংজ্ঞা সম্পর্কে কি রেফারেন্স রয়েছে?

— টিম

হিশি নোট হিসাবে, আপনার আচরণের সংজ্ঞাটি আমি একটি ফ্যাক্টর দ্বারা জানি , যেখানে নিয়মিত গ্রাফের ডিগ্রি দ্বারা বন্ধ রয়েছে। এটি নিয়মিত গ্রাফের জন্য প্রান্ত সম্প্রসারণ হিসাবেও পরিচিত। $d$ $d$

প্রান্তের প্রসার এবং ব্যাসের মধ্যে একটি সম্পর্ক দেখানো বেশ সহজ। স্বজ্ঞাতভাবে, একটি এক্সপেন্ডার একটি সম্পূর্ণ গ্রাফের মতো "পছন্দ" হয়, সুতরাং সমস্ত অনুভূতি একে অপরের "কাছাকাছি" থাকে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, যাক

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

ছেদচিহ্ন কোন সেট নিন সঙ্গে । কমপক্ষে আসছে আউট প্রান্ত এবং যেহেতু হয় -regular, এর আশপাশ (তত্সহ নিজেই) আকার হল অন্তত । এই দাবিটি inductively প্রয়োগ করা হচ্ছে, থেকে শুরু কোনো প্রান্তবিন্দু জন্য $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ আমরা দেখতে পাই যে কিছু , এর -hop আশপাশ অন্তত আকার । অতএব, কোন প্রান্তবিন্দু এর -hop আশপাশ ছেদ হয়েছে এর -hop আশপাশ , অথবা গ্রাফ চেয়ে বেশি হবে শীর্ষে, একটি বৈপরীত্য। সুতরাং তোমার আছে $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

অবশ্যই, এটিও অনুসরণ করে যে ব্যাসের উপর একটি নীচে আবদ্ধ থাকা প্রান্তের প্রসারণের উপরের একটি আবদ্ধকে বোঝায়।

আমি মনে করি না যে ছোট ব্যাস আচরণকে বোঝায়। আপনি যদি নিয়মিত গ্রাফগুলিতে জিদ না করেন (এবং Hsieh এর সংজ্ঞা ব্যবহার করুন), তবে একক প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত দুটি সম্পূর্ণ গ্রাফ একটি পাল্টা নমুনা সরবরাহ করে।

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

আমি একটি উত্তর পোস্ট করতে চলেছি এবং এখন আমার দরকার নেই, পরিবর্তে আমি কেবল আপনার উত্সাহ দিতে পারি;) ভাল উত্তরের জন্য ধন্যবাদ!

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

আমি আশা করি আপনি এবং আমি গবেষণা থেকে দূরে কাটানো মোট সময়টি হ্রাস করা হয়েছে :)

— সাশো নিকোলভ

@ আরবিনসন: এই সাধারণ সত্য এবং দ্রুত মেশানো নিয়মিত গ্রাফের বিস্তৃত পরিবারগুলির অনেকগুলি (সবচেয়ে?) প্রয়োগের ভিত্তি। উদাহরণস্বরূপ ছোট ব্যাসের সম্পত্তি হ'ল লগস্পেসে সেন্ট সংযোগের সমাধানের আবেদনের ভিত্তি

— সাশো নিকোলভ

আমার আসল উত্তরে একটি ত্রুটি ছিল: আমি যে যুক্তিটি লিখেছিলাম তা ভার্টেক্স প্রসারণের জন্য, তবে আমরা এখানে প্রান্তের প্রসারণ নিয়ে কাজ করছি। আমি বাগটি ঠিক করেছি, এবং আবদ্ধ এখন কিছুটা খারাপ

— সাশো নিকোলভ