শূন্য প্রকারের জন্য সমীকরণ আইন কী কী?

দাবি অস্বীকার : আমি টাইপ তত্ত্ব সম্পর্কে যত্নশীল থাকাকালীন আমি নিজেকে টাইপ তত্ত্বের বিশেষজ্ঞ হিসাবে বিবেচনা করি না।

সহজভাবে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসে শূন্য টাইপের কোনও নির্মাণকারী এবং একটি অনন্য নির্মূলকারী নেই:

\frac{Γ ⊢ M : 0}{Γ ⊢ i n i t i a l (M) : A}

$\frac{\Gamma \vdash M \colon 0}{\Gamma \vdash initial (M) \colon A}$

ডেনোটেশনাল দৃষ্টিকোণ থেকে, সমীকরণ $initial (M_1) = initial(M_2)$ স্পষ্টত (যখন প্রকারগুলি বোঝায়)।

যাইহোক, যে দৃষ্টিকোণ আমিও যে অনুমান করতে পারেন, থেকে, যখন $M,M' \colon 0$ , তারপর: $M = M'$ । এই ছাড়টি আরও শক্তিশালী বলে মনে হচ্ছে, যদিও একটি নির্দিষ্ট মডেল যা এটি দেখায় তা আমাকে ছাড়িয়ে যায়।

(যদিও আমার কিছু প্রমাণ-তাত্ত্বিক অন্তর্নিহিত রয়েছে: আপনি কোনও বাসিন্দা পাওয়ার জন্য কোন দ্বন্দ্ব ব্যবহার করেন তা বিবেচনাধীন নয়, তবে বিভিন্ন বিপরীত প্রমাণ থাকতে পারে))

সুতরাং আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

শূন্য প্রকারের জন্য আদর্শ সমীকরণ আইন কী কী?
তাদের মধ্যে $\eta$ কি বা $\beta$ আইন হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে ?

— ওহাদ কামার
সূত্র

উত্তর:

খালি টাইপ জন্য প্রমিত equational বিধি, হিসাবে আপনি অনুমান, । স্ট্যান্ডার্ড সেট-তাত্ত্বিক মডেলটির কথা চিন্তা করুন, যেখানে সেটগুলি প্রকারভেদ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়: যোগফলগুলি হ'ল ইউনিয়নগুলিকে আলাদা করা হয় এবং খালি প্রকারটি খালি সেট। সুতরাং যে কোনও দুটি ফাংশন অবশ্যই সমান হতে হবে, যেহেতু তাদের একটি সাধারণ গ্রাফ রয়েছে (যেমন, খালি গ্রাফ)। । $\Gamma \vdash e = e' : 0$ $e,e' : \Gamma \to 0$
খালি টাইপের কোনও বিধি নেই, কারণ এটির জন্য কোনও পরিচয় ফর্ম নেই। তার শুধুমাত্র equational নিয়ম একটি হল -rule। যাইহোক, আপনি এটা-রুল কী তা কীভাবে কঠোরভাবে ব্যাখ্যা করতে চান তার উপর নির্ভর করে আপনি এটিকে একটি প্লাস যাতায়াত রূপান্তর হিসাবে বিভক্ত করতে পারেন । কঠোর -rule হল: $\beta$ $\eta$ $\eta$ $\eta$

$e = i n i t i a l (e)$ $e = \mathrm{initial}(e)$
যাতায়াতের আচ্ছাদনটি হ'ল:

$C [i n i t i a l (e)] = i n i t i a l (e)$ $C[\mathrm{initial}(e)] = \mathrm{initial}(e)$

সম্পাদনা করুন:

এখানে কেন শূন্য প্রকারে বিতরণ সমস্ত মানচিত্র সমতা বোঝায় । $A \to 0$

স্বরলিপি ঠিক করতে, আসুন লিখি থেকে অনন্য মানচিত্র হতে থেকে , এবং আসুন লেখ থেকে কিছু মানচিত্র হতে থেকে । $!_A : 0 \to A$ $0$ $A$ $e : A \to 0$ $A$ $0$

এখন, বিতরণ শর্তটি বলে যে একটি । যেহেতু প্রাথমিক বস্তু isomorphism অনন্য থাকে, এর মানে হল যে নিজেই একটি প্রাথমিক অবজেক্ট। আমরা এখন এই ব্যবহার দেখাতে হবে যে পারেন নিজেই ইনিশিয়াল অবজেক্ট। $i : 0 \simeq A \times 0$ $A \times 0$ $A$

যেহেতু ইনিশিয়াল অবজেক্ট, আমরা জানি মানচিত্রগুলি এবং সমান। $A \times 0$ $\pi_1 : A \times 0 \to A$ $!_A \circ \pi_2$

এখন, দেখাতে হবে যে ইনিশিয়াল অবজেক্ট, আমরা এটা এবং মধ্যে একটি isomorphism দেখানোর জন্য প্রয়োজন । আসুন নির্বাচন করুন এবং isomorphism এর উপাদান হিসাবে। আমরা দেখাতে চাই এবং । $A$ $0$ $e : A \to 0$ $!_A : 0 \to A$ $e \circ !_A = id_0$ $!_A \circ e = id_A$

যে হচ্ছে অবিলম্বে, যেহেতু টাইপের একমাত্র মানচিত্র রয়েছে এবং আমরা জানি যে সর্বদা একটি পরিচয়ের মানচিত্র থাকে। $e \circ !_A = id_0$ $0 \to 0$

অন্য দিকটি দেখানোর জন্য, নোট করুন

\begin{array}{lcll} i d_{A} & = & π_{1} \circ (i d_{A}, e) & Product equations \\ = & !_{A} \circ π_{2} \circ (i d_{A}, e) & Since A \times 0 is initial \\ = & !_{A} \circ e & Product equations \end{array}

$\begin{array}{lcll} id_A & = & \pi_1 \circ (id_A, e) & \mbox{Product equations} \\ & = & !_A \circ \pi_2 \circ (id_A, e) & \mbox{Since $A\times 0$ is initial} \\ & = & !_A \circ e & \mbox{Product equations} \end{array}$

অতএব আমাদের এবং তাই একটি প্রাথমিক অবজেক্ট। অতএব মানচিত্র অনন্য, এবং তাই যদি আপনি , তারপর । $A \simeq 0$ $A$ $A \to 0$ $e,e' : A \to 0$ $e = e'$

সম্পাদনা 2: এটি প্রমাণ করে যে পরিস্থিতিটি আমি ভাবলামের চেয়ে প্রাকৃতিক tier আমি আলরিখ বুচলজের কাছ থেকে শিখেছি যে এটি সুস্পষ্ট ("প্রত্নতাত্ত্বিকভাবে সুস্পষ্ট" এর গাণিতিক অর্থে) প্রতিটি বিসিসিসি বন্টন করে চলেছে। a একটি সুন্দর সামান্য প্রমাণ এখানে: $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$

\begin{array}{lcl} H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) & ≃ & H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A, C \to (A + B) \times C) \times H o m (B, C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A \times C, (A + B) \times C) \times H o m (B \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) & \simeq & \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A , C \to (A + B) \times C) \times \Hom(B, C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A \times C, (A + B) \times C) \times \Hom(B \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}$

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

1 সম্পর্কিত: আমি শূন্য প্রকারটিকে প্রাথমিক অবজেক্ট হিসাবে মনে করি। প্রাথমিক বস্তুগুলির মধ্যে একাধিক তীর থাকতে পারে তবে সেগুলির মধ্যে কেবল একটি তীর থাকতে পারে । অন্য কথায়, দ্বি-সিসিসি হওয়ার কারণে 0 টি সাবটার্মিনাল হওয়ার কারণ আমি তত্ক্ষণাত দেখতে পাচ্ছি না। একটি আছে?

— ওহাদ কামার

হ্যাঁ: অর্থের সাথে এসটিএলসির ব্যাখ্যার জন্য একটি বিস্তৃত দ্বি- সিসি ( প্রয়োজন হয়, এবং 0 এর স্বতন্ত্রতা টাইপ এর nullary সংস্করণ হিসাবে আসে। (অঙ্কের বিলোপ বিধি বিধানটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করুন, এবং আপনি এটি দেখতে পাবেন)

(X \times A) + (X \times B) ≃ X \times (A + B)

$(X \times A) + (X \times B) \simeq X \times (A+B)$

— নীল কৃষ্ণস্বামী

আমি অনুসরণ করি না বিতরণ পরিমাণ বিপরীতে থাকে। কেন এটি বোঝায় যে টি সাবটার্মিনাল?

i n i t i a l : 0 \to A \times 0

$initial : 0 \to A\times 0$

0

$0$

— ওহাদ কামার

আহা! প্রমাণের জন্য ধন্যবাদ! আর ধৈর্যের জন্যও!

— ওহাদ কামার

সম্পাদনা 2 সম্পর্কিত: বাম অ্যাডজাস্টমেন্ট জমাটগুলি সংরক্ষণ করে। বিভাগ কার্টিজিয়ান বন্ধ, তারপর হয়, তাহলে বাম adjoint হয় তাই হল সমষ্টি ।

(-) \times C

$(-)\times C$

(-)^{C}

$(-)^C$

(A + B) \times C

$(A+B)\times C$

A \times C + B \times C

$A\times C + B\times C$

— ওহাদ কামার

সমীকরণ শুধুমাত্র সত্য যে ধারন করে সর্বাধিক এক উপাদান আছে তাই আমি মনে করি না নীল পুরো বিবরণ ক্যাপচার করছে না। আমি খালি টাইপ কে অ্যাক্টিওম্যাটাইজ করব। $e = e' : 0$ $0$ $0$

কোনও প্রবর্তনের নিয়ম নেই। নির্মূলের নিয়মটি হ'লসমীকরণটি হ'ল যেখানে এবং । পুরো কোনও প্রকারের। সমীকরণটি নিম্নরূপে প্রেরণাযুক্ত: আপনি যদি শব্দটি গঠন করতে সক্ষম হন তবে দ্বারা বাস করে , তবে এটি অযৌক্তিক তাই সমস্ত সমীকরণ ধারণ করে। সুতরাং একই প্রভাব অর্জনের আর একটি উপায় সমীকরণটি

\frac{e : 0}{{m a g i c}_{τ} (e) : τ} .

$\frac{e : 0}{\mathtt{magic}_\tau(e) : \tau}.$

{m a g i c}_{τ} (e) = e^{'} : τ

$\mathtt{magic}_\tau(e) = e' : \tau$

e : 0

$e : 0$

e^{'} : τ

$e' : \tau$

τ

$\tau$

{m a g i c}_{τ} (e)

$\mathtt{magic}_\tau(e)$

0

$0$

e

$e$

x : 0, Γ ⊢ e_{1} = e_{2} : τ

$x : 0, \Gamma \vdash e_1 = e_2 : \tau$ যা সম্ভবত এতটা সুন্দর নয় কারণ এটি প্রসঙ্গে ম্লান। অন্যদিকে, এটি আরও স্পষ্টভাবে দেখায় যে আমরা থেকে পর্যন্ত যে কোনও দুটি আকারের সমান ( একটি সিসিসিতে বিভ্রান্তি) বলে উল্লেখ করছি।

0

$0$

τ

$\tau$

Γ

$\Gamma$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

হাই আন্ড্রেজ, আপনি যে সমীকরণের পরামর্শ দিচ্ছেন তা আমার দেওয়া যাত্রী রূপান্তর থেকে প্রাপ্ত। থেকে derivable হয় , যেহেতু আসলে ঘটতে নেই বাম শব্দে উপমাটি , যেখানে একটি মামলা বিশ্লেষণ ফল ব্যবহার করছেন না ঠিক আছে যদি আপনি উভয় শাখায় একই কাজ।

m a g i c (e) = e^{'}

$\mathtt{magic}(e) = e'$

C [m a g i c (e)] = m a g i c (e)

$C[\mathtt{magic}(e)] = \mathtt{magic}(e)$

m a g i c (e)

$\mathtt{magic}(e)$

C [c a s e (e, x . e^{'}, y . e^{″})] = c a s e (e, x . C [e^{'}], y . C [e^{″}])

$C[\mathtt{case}(e,x.\;e',y.\;e'')] = \mathtt{case}(e, x.\;C[e'], y.\;C[e''])$

— নীল কৃষ্ণস্বামী

আমার যুক্ত করা উচিত, যদিও আমি প্রসঙ্গে উপস্থাপনাটি আরও ভাল পছন্দ করি - প্রকৃতপক্ষে, আমি সাধারণভাবে মনে করি এটি যদি আপনি প্রকৃতপক্ষে প্রসঙ্গের সমষ্টিগত মানগুলিতে সমীকরণের অনুমতি দেন তবে এটি সবচেয়ে পরিষ্কার! আসন্ন রূপান্তরগুলি, আইএমওর সাথে গেমসের চেয়ে প্রকৃত প্রমাণগুলির পক্ষে এটি বেশ সুন্দর। (আইআইআরসি, এটি স্থিতিশীল কপোড্রোকটাক্টগুলির অতিরিক্ত অনুমান সংযোজনের সমতুল্য, তবে সমস্ত মডেলের জন্য আমি যুক্তিযুক্তভাবে এই ধারণাগুলি যত্নশীল দেখতে পাচ্ছি।)

— নীল কৃষ্ণস্বামী

হ্যাঁ, দুর্দান্ত। রূপান্তরগুলির বিষয়ে ভাবতে ভাবতে আমার অনেক দেরি হয়েছিল তাই আমি ভান করেছিলাম আপনি সেই অংশটি লেখেন নি। এখন ওহাদ তার বাছাই করতে পারে।

— আন্দ্রেজ বাউর 12

আমি এক শ্রেণির মডেলগুলিতে কিছু কাঠামোগত ( , ইত্যাদি) নিয়ম যাচাই করছিলাম । যদিও আমি জানি যে আমি যে সমীকরণ দিয়েছি সেগুলি সম্পূর্ণ হয়নি (এর জন্য আপনার জটিল মান এবং স্ট্যাক সহ সিবিপিভি দরকার), আমি কমপক্ষে এমন মানক সমীকরণগুলি ক্যাপচার করতে চেয়েছিলাম যা যদি আমার পর্যাপ্ত সমীকরণ থাকে তবে সম্পূর্ণতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হবে। অন্য কথায়, আমি শূন্য প্রকারের জন্য স্ট্যান্ডার্ড সমীকরণ আইন চাইছিলাম।

η

$\eta$

β

$\beta$

— ওহাদ কামার

শূন্য প্রকারের জন্য কোনও মানক সমীকরণ আইন নেই। লজিশিয়ানরা সর্বদা কথোপকথনের খালি মহাবিশ্ব সম্পর্কে ভয় পেয়েছিলেন এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা সর্বদা শূন্য প্রকারের জন্য ভীত ছিলেন। এমনকি খালি প্রকারটি অস্বীকার করার জন্য তারা একটি খালি নয় এমন খালি নামটিকে "অকার্যকর" রেখেছিল।

— আন্দ্রেজ বাউর