নাবালিকা দেখানো উদ্ধৃতি সাবকিউবিক গ্রাফের জন্য টপোলজিকাল অপ্রাপ্তবয়স্ক

যদি সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 সহ একটি গ্রাফ হয় এবং অপ্রাপ্ত বয়স্ক হয় , তবে টপোলজিকাল নাবালিক । $G$ $H$ $G$ $H$

উইকিপিডিয়া এই ফলাফলটি ডিয়েস্টেলের "গ্রাফ থিওরি" থেকে উদ্ধৃত করেছে। এটি বইয়ের সর্বশেষ সংস্করণে প্রোপ 1.7.4 হিসাবে তালিকাভুক্ত। বইটিতে প্রমাণ বা উদ্ধৃতি নেই।

অবস্থানগুলি কি এর কোনও (মূল) প্রমাণের জন্য পরিচিত?

উপরন্তু, একটি রেফারেন্স প্রতিপাদন যে যদি একটি পাথ অথবা একটি নখর একটি মহকুমা এবং একটি ছোটখাট তারপর একটি subgraph হয় ? এটি সংক্ষেপে এখানে উল্লেখ করা হয়েছে তবে রেফারেন্সের অভাব রয়েছে। $G$ $H$ $G$ $H$

— এলি
সূত্র

বইটি ডিটেলগ্রাফ

— আলেকজান্ডার ল্যাঙ্গার

ধন্যবাদ আলেকজান্ডার বইটির সেই সংস্করণটি প্রস্তাবটির কোনও রেফারেন্স বা প্রমাণ সরবরাহ করে না, আপনি কি জানেন যে পুরো সংস্করণে এটির জন্য বা অন্য কোনও উত্স রয়েছে?

— এলি

আমার মনে আছে আপনার দ্বিতীয় বিবৃত বিবরণটির জন্য উদ্ধৃতি অনুসন্ধান করেছিলেন, কিন্তু আমি কিছুই পাইনি। প্রথম বক্তব্যের জন্য আমি সবচেয়ে ভাল উদ্ধৃতি জানি যা হ'ল ডিস্টেলের বই, যা বিবৃতি প্রমাণ করে না prove আমি কেউ অপেক্ষা করি কিনা তা দেখার জন্য অপেক্ষা করব। যদি না হয় আমি উত্তর হিসাবে একটি প্রমাণ পোস্ট করব।

— রবিন কোঠারি

@ রবিন, এই মুহুর্তে আপনি যদি কোনও প্রমাণ পোস্ট করেন তবে তা আমার পক্ষে যথেষ্ট। এই ফলাফলটি কোথাও ব্যবহার করা উচিত বলে আপনাকে গুণিত করার কোনও উপযুক্ত উপায় আছে? আমি স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ নীতি বা মান অনুশীলনের সাথে পরিচিত নই।

— এলি

প্রকৃতপক্ষে, এখানে প্রশংসাপত্রটি

— অ্যারন স্টার্লিং

যদি সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 সহ একটি গ্রাফ হয় এবং অপ্রাপ্ত বয়স্ক হয় , তবে টপোলজিকাল নাবালিক । $G$ $H$ $G$ $H$

যেহেতু এর নাবালক , থেকে প্রাপ্ত করা যাবে প্রান্ত, বিচ্ছিন্ন ছেদচিহ্ন মোছা এবং প্রান্ত সংকোচন সম্পাদন দ্বারা। এটি দেখানোও সহজ যে আমরা জোর দিয়ে বলতে পারি যে সাবগ্রাফের ক্রিয়াকলাপগুলি প্রথমে সম্পন্ন হয়েছে, অর্থাৎ আমরা প্রথমে সমস্ত প্রান্ত এবং ভার্টেক্স মুছে ফেলতে পারি এবং তারপরে সমস্ত প্রান্ত সংকোচন করতে পারি। অধিকন্তু, আসুন আমরা "এজ কন্ট্রাকশন" এর সংজ্ঞাটি সীমাবদ্ধ করতে কন্ট্রাক্ট করা প্রান্তগুলিকে নিষিদ্ধ করতে সীমাবদ্ধ করি যেখানে একটি শীর্ষে ডিগ্রি রয়েছে। যেমন একটি কিনারা চুক্তি হ'ল এটি মুছে ফেলার মতো, সুতরাং এটি গ্রাফ নাবালকের সংজ্ঞা পরিবর্তন করবে না। $G$ $H$ $G$ $H$

যাক গ্রাফ থেকে প্রাপ্ত করা প্রথম সব প্রান্ত / প্রান্তবিন্দু মুছে সম্পাদন দ্বারা। এখনও হিসাবে রয়েছে । যদি আমরা দেখায় যে কে টপোলজিকাল অপ্রাপ্তবয়স্ক হিসাবে রয়েছে তবে আমরা শেষ করেছি, যেহেতু টপোলজিকাল নাবালকের সংজ্ঞা এছাড়াও প্রান্ত / ভার্টেক্স মোছার অনুমতি দেয়। $H'$ $H$ $H'$ $G$ $H'$ $G$

যেহেতু কেবলমাত্র প্রান্ত সংকোচনের মাধ্যমে থেকে পাওয়া যায় , এবং সমস্ত মধ্যবর্তী গ্রাফের সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 থাকতে হবে কারণ প্রান্ত সংকোচনের মাধ্যমে কোনও গ্রাফের সর্বাধিক ডিগ্রি হ্রাস করার উপায় নেই। (এটি সম্ভব হত যদি আমরা 1 ডিগ্রি বর্গের প্রান্তে সংক্রমণের সংকোচনকে অনুমতি দিতাম) $G$ $H'$ $H'$

সুতরাং কে রূপান্তর করার যে কোনও পদক্ষেপ বিবেচনা করুন । একমাত্র ধরণের প্রান্তগুলি যা আমরা চুক্তি করতে পারি সেগুলি হ'ল উভয়ই ডিগ্রি -২ টির সূচি বা এক ডিগ্রি -2 ভার্টেক্স এবং এক ডিগ্রি -3 ভার্টেক্স। (অন্যান্য সমস্ত সংমিশ্রণগুলি কাজ করে না For উদাহরণস্বরূপ, দুটি ডিগ্রি -3 উল্লম্ব সহ প্রান্তগুলি চুক্তিবদ্ধ হওয়ার সাথে সাথে 4 ডিগ্রির একটি শীর্ষস্থানকে বৃদ্ধি দেবে)) $H'$ $G$

আর এখন আমরা কাজ সম্পন্ন হয়, যেহেতু যদি থেকে প্রাপ্ত হয় দুই ডিগ্রী-2 ছেদচিহ্ন সঙ্গে একটি প্রান্ত চুক্তিবদ্ধ দ্বারা, তারপর থেকে প্রাপ্ত করা যাবে যে কিনারায় প্রান্ত উপবিভাগ সম্পাদন দ্বারা। একইভাবে এক প্রান্তের জন্য একটি ডিগ্রি -3 ভার্টেক্স এবং এক ডিগ্রি -2 ভার্টেক্স। সুতরাং কেবলমাত্র প্রান্ত মহকুমা সম্পাদন করে থেকে প্রাপ্ত হতে পারে যার অর্থ একটি টপোলজিকাল নাবালক এবং । $H_1$ $H_2$ $H_2$ $H_1$ $H'$ $G$ $G$ $H'$ $H$

তাহলে একটি পাথ অথবা একটি নখর একটি মহকুমা এবং নাবালক তারপর একটি subgraph হয় $G$ $H$ $G$ $H$

আমাদের পূর্ববর্তী ফলাফলটি একবার হলে এটি দেখাতে সহজ। যেহেতু পাখির পাথ এবং মহকুমার সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 থাকে, যদি অপ্রাপ্ত বয়স্ক হয় তবে এটিও টপোলজিকাল নাবালিক । এর অর্থ একটি অনুচ্ছেদ রয়েছে যা কেবলমাত্র প্রান্ত মহকুমা সম্পাদন করে থেকে প্রাপ্ত হতে পারে । ইন্ডাকশন দ্বারা এটি সহজেই দেখানো যায় যে প্রতিটি প্রান্তের একটি পাথের বিভাগ বা মহকুমার একটি মহকুমা একটি গ্রাফের দিকে নিয়ে যায় যা একটি অনুচ্ছেদ হিসাবে মূল ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, দৈর্ঘ্যের k এর উপ-বিভাগকে বিভাজন হিসাবে দৈর্ঘ্যের k + 1 এর পথে নিয়ে যায়, যার মধ্যে একটি অনুচ্ছেদ হিসাবে দৈর্ঘ্যের k এর পথ রয়েছে। একইভাবে একটি নখর মহকুমার জন্য। $G$ $H$ $H$ $H$ $G$

আমাদেরও একবার এই কাগজের জন্য এই ফলাফলের প্রয়োজন হয়েছিল, তাই আমরা আমাদের কাগজে একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত করেছি। অপ্রাপ্তবয়স্ক-বদ্ধ গ্রাফের বৈশিষ্ট্যগুলির কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতায় আপনি ফলাফলটি পেতে পারেন । এটি ১৩ পৃষ্ঠায় উল্লেখ করা হয়েছে। তবে, এই সত্যটি অন্য কোনও প্রমাণের মধ্যে লুকিয়ে রয়েছে এবং এটি উপপাদ্য হিসাবে স্পষ্টভাবে বর্ণিত হয়নি।

মজার বিষয় হ'ল এই উপপাদ্যটির সাথে একটি কথোপকথন রয়েছে:

কেবলমাত্র গ্রাফের জন্য যা একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক হিসাবে তা হ'ল একটি সাবগ্রাফ হিসাবে ধারণ করার সমতুল্য হ'ল প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানটি একটি পাথরের একটি পাথ বা একটি মহকুমা। $G$ $G$ $G$

— রবিন কোঠারি
সূত্র

ধন্যবাদ। যদি আপনি এই ফলাফলগুলির জন্য একটি প্রকাশিত উদ্ধৃতিতে হোঁচট খাওয়ার ঘটনা ঘটেন তবে আমি এখনও এটি পছন্দ করতে পারি তবে এটি দুর্দান্ত।

— এলি

এই উত্তরটি এখন সম্প্রদায়ের ব্লগে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ।

— অ্যারন স্টার্লিং

উত্তম উত্তর, তবে আমি মনে করি আপনার ডিগ্রি -১ সংকোচন বাতিল করার কৌশলটি একটি ত্রুটিযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, জি = কে_4 বিয়োগের কোনও প্রান্ত বিবেচনা করুন। জি ডিগ্রি 3 ডিগ্রি এর দুটি শীর্ষে বিস্তৃতভাবে চুক্তিটি সর্বাধিক ডিগ্রি 2 সহ পাথ গ্রাফ P_3 উত্পাদন করবে Instead পরিবর্তে, আপনি যদি কোনও প্রান্তে কোনও সংকোচনের বিষয়টি অস্বীকার করেন যা কিছু মুছে ফেলার সমতুল্য হয়, প্রমাণটি দেখা উচিত। সাধারণত, আপনি ভার্টেক্স x এবং y এর মধ্যে যে কোনও সংকোচনকে নিষিদ্ধ করেছেন যদি গামা (x) \ {y} = গামা (y) \ x হয়। এটি সহজেই দেখানো হয়েছে যে কোনও সংকোচনের ফলে এই সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন হচ্ছে না তার ফলস্বরূপ হ্রাসহীন ডিগ্রির একটি নতুন শীর্ষস্থান তৈরি হবে।

— রাসেল স্টাওয়ার্ট

@ ইউজার ২৩767676৩৩: ধন্যবাদ, ঠিক আছে।

— রবিন কোঠারি