পলিটোপস (শালীন) প্রসারণকারীগুলির প্রান্ত-ভার্টেক্স গ্রাফগুলি কি?

21

এই প্রশ্নটি বহুপদী হির্চ অনুমান (পিএইচসি) দ্বারা অনুপ্রাণিত। প্রদত্ত -facet polytope মধ্যে , তার প্রান্ত প্রান্তবিন্দু গ্রাফ ভুতুড়ে ফাঁক (এটা কল ) দ্বারা বেষ্টিত LOWER ? নোট করুন যে শীর্ষে চক্রের গ্রাফটি দেখায় যে, এমনকি জন্য বর্ণালীর ফাঁকগুলি মতো ছোট হতে পারে ; সুতরাং অনুমান করা আবদ্ধ - যদি সত্য হয় - প্রায় শক্ত হবে। $n$ $P$ $\mathbb R^d$ $G$ $\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$ $n$ $d=2$ $O(1/\mathrm{poly}(n))$

একটি হ্যাঁ উত্তর পিএইচসি বোঝাতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, এটি এও বোঝায় যে লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলি দক্ষতার সাথে পলিটোপ শীর্ষে একটি এলোমেলো হাঁটার মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে, এবং এই অ্যালগরিদম এমনকি উদ্দেশ্যমূলক কার্যক্রমে খুব বেশি মনোযোগ দিচ্ছে না! এটি সত্য বলে মনে হচ্ছে খুব ভাল।

সুতরাং, এই সমস্যার স্থিতি কী: খোলা (পিএইচসি এর মতো), বা মিথ্যা? যদি মিথ্যা হয়, তবে কি সাধারণ পাল্টা উদাহরণ রয়েছে?

দ্রষ্টব্য : আমি কেবল প্রসারক সংজ্ঞায়িত জড়িত স্বাভাবিক জটিলতাগুলি সম্পর্কে বুঝতে পেরেছি: নিয়মিত বা দ্বিপক্ষীয় হওয়ার দরকার নেই। আমি আশা করি যে এই দুটি প্রযুক্তিগত সমস্যাই স্ট্যান্ডার্ড উপায় ব্যবহার করে কাটিয়ে উঠতে পারে এবং বিশেষত তারা আমার প্রশ্নকে তুচ্ছ করে না। (আমি ভুল হলে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন!) $G$

co.combinatorics linear-programming expanders

— শ্রীবতসান নারায়ণন
সূত্র

কেউ কীভাবে ব্যাখ্যা করতে পারবেন যে এই প্রশ্নটি কীভাবে সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদমের জন্য এলোমেলোভাবে পিভোটিং বিধিগুলির জন্য নতুন সুব্যাক্স্ফোনশিয়াল নিম্ন সীমার সাথে সম্পর্কিত? অলিভার ফ্রেডম্যান, টমাস ডিহহোম হ্যানসেন এবং উরি জুইক। ২০১১. সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদমের জন্য র্যান্ডমাইজড পাইভটিং বিধিগুলির জন্য সুব্যাক্সফোনসিয়াল নিম্ন সীমানা। থিওরি অফ কম্পিউটিংয়ের (এসটিওসি '11) এর 43 তম বার্ষিক এসিএম সিম্পোজিয়ামের কার্যক্রমে। এসিএম, নিউ ইয়র্ক, এনওয়াই, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র, 283-292। ডিওআই = 10.1145 / 1993636.1993675 doi.acm.org/10.1145/1993636.1993675

— টাইসন উইলিয়ামস

10

0/1-পলিটোপগুলির জন্য (সমস্ত প্রান্তিক স্থানাঙ্ক 0 বা 1), এটি সত্য বলে জানা যায় না। মিহাইল এবং বাজিরানীর একটি অনুমান আছে যে 0/1-পলিটোপের গ্রাফের প্রান্ত বিস্তার কমপক্ষে একটি। ভোকার কাইবেলের একটি কাগজে আরও তথ্য বর্ণনা করা হয়েছে ।

আমার দুটি জিনিস নোট করা উচিত। (1) 0/1-পলিটপগুলির জন্য, হির্চ অনুমানটি সত্য । (২) একটি বহুপ্রান্তের শীর্ষে যখন এলোমেলো হাঁটাচলা করার সময় আমাদের সম্ভাব্য অবক্ষয়ের যত্ন নেওয়া উচিত। একটি ভার্টেক্স অনেকগুলি ঘাঁটির সাথে সামঞ্জস্য করতে পারে, এবং তাই আমরা যদি ঘাঁটিগুলির উপর দিয়ে এলোমেলো পদচারনা করি তবে একই পদক্ষেপটি একই প্রান্তে থাকতে পারে। যদি আমরা শীর্ষেগুলি এলোমেলো হাঁটা করতে চাই তবে আমাদের এমন একটি প্রক্রিয়া থাকা দরকার যা একটি এলোমেলো সংলগ্ন প্রান্তকে দেয়।

— ইয়োশিও ওকামোটো
সূত্র

9

সাধারণভাবে এটি সত্য নয়: দুটি দ্বৈত থেকে চক্রীয় ডি-পলিটোপগুলি প্রতিটি এন ফ্যাসেটের সাথে বিবেচনা করুন এবং এগুলি একটি শীর্ষবিন্দুতে মার্জ করুন। (এটি দুটি polutops gluing এর দ্বৈত অপারেশন)। উল্লম্বের সংখ্যা like এর মতো হবে এবং বর্ণালীর ফাঁকটি প্রায় 1 এর উপরে হবে। (গ্রাফটি দুটি অংশে পৃথক করতে আপনি ডি প্রান্ত ব্যবহার করতে পারেন। $n^{[d/2]}$

আমি "দ্বৈত থেকে প্রতিবেশী" পলিটোপগুলির জন্য 1 / বহু (n) বিভাজন প্রমাণ করেছি। (এটি বহুবর্ষীয় হিরেশ ধারণায় আমার প্রথম শট ছিল ")" "উত্তল পলিটোপস এবং এফ-ভেক্টর তত্ত্বের গ্রাফের ব্যাস" ফলিত জ্যামিতি এবং বিচ্ছিন্ন গণিত, 387–411, ডিআইএমএসিএএস সের। বিচ্ছিন্ন গণিত। থিয়োরেট। কম্পিউটার। বিজ্ঞান। , 4, আমের। গণিত।, প্রভিডেন্স, আরআই, 1991।

— গিল কালাই
সূত্র