তাদের ফ্যাক্টেরাইজেশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব পূর্ণসংখ্যার যোগ করা ফ্যাক্টরিংয়ের মতো শক্ত? রেফারেন্স অনুরোধ

Question

আমি নিম্নলিখিত ফলাফলের জন্য একটি রেফারেন্স খুঁজছি:

ফ্যাক্টরযুক্ত উপস্থাপনায় দুটি পূর্ণসংখ্যা যুক্ত করা স্বাভাবিক বাইনারি উপস্থাপনায় দুটি পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টরিংয়ের মতোই শক্ত।

(আমি নিশ্চিত যে এটি বাহিরে আছে কারণ এটি এমন কিছু যা আমি একসময় ভেবে দেখেছিলাম এবং অবশেষে এটি মুদ্রণটিতে দেখে আমি উত্তেজিত হয়ে পড়েছিলাম))

"কল্পিত উপস্থাপনায় দুটি পূর্ণসংখ্যার যোগ করা" সমস্যা: দুটি সংখ্যা এবং গুণককে প্রদত্ত , এর আউটপুটে ফ্যাক্টিমাইজেশন প্রদান করা । মনে রাখবেন যে এই সমস্যার জন্য নিষ্পাপ অ্যালগরিদম একটি সাব্রুটাইন হিসাবে স্ট্যান্ডার্ড বাইনারি উপস্থাপনায় গুণক ব্যবহার করে।y x + $x$$y$$x+y$

আপডেট : প্রমাণের জন্য কাভেহ ও সাদেককে ধন্যবাদ। স্পষ্টতই আরও প্রমাণ মেধাবী, তবে আমি একটি রেফারেন্স সন্ধানে আরও সহায়তা উত্সাহিত করতে চাই , যা আমি বলেছি যে আমি নিশ্চিতভাবেই উপস্থিত রয়েছি। আমি এটি অন্যান্য আকর্ষণীয় এবং প্রায়শই আলোচিত নয় এমন ধারণাগুলির সাথে একটি কাগজে এটি পড়ার কথা স্মরণ করি, তবে এই অন্যান্য ধারণাগুলি কী ছিল বা কাগজটি সাধারণভাবে কী ছিল তা আমি মনে করি না।

Comments

আমি মনে করি একটি ভাল শিরোনাম হবে "ফ্যাক্টরিংয়ের মতো শক্ত হিসাবে দুটি গুণককে তাদের ফ্যাক্টেরাইজেশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে?"

— এমএস দৌস্তি

দুর্দান্ত প্রশ্ন। যদি আমরা কোনও প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যাকে দুটি সহজ ফ্যাক্টর পূর্ণসংখ্যার যোগফল হিসাবে লিখতে পারি তবে আপনি যা চান তা অনুসরণ করে। আমরা সংখ্যা চাইলে এটি করা সহজ , তবে সংখ্যা দিয়েও কীভাবে এটি করা যায় তা আমি দেখতে পাচ্ছি না । সংখ্যার শ্রেণিগুলি দেখার জন্য মূল্যবান হতে পারে যা ফ্যাক্টর সহজ। লগ লগ $\log n$$\log \log n$

— কাভেঃ

Mo And Math.SE কিছু সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন: 1 , 2 , 3

— Kaveh

Answer 1

ধরে নিন যে আমরা জটিলতা শ্রেণিতে (সিটিকে ফ্যাক্টসাম বলতে পারি) সমস্যার সমাধান করতে পারি এবং লিটারেশন (ওরফে সীমাবদ্ধ পুনরাবৃত্তি) এর অধীনে বন্ধ রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ যদি আমরা গণনা করতে পারি যেখানে বাইনারি ফাংশন রয়েছে, আমরা ) গণনা করতে পারি এবং এতে (এই শেষ শর্তটি দুর্বল করা যেতে পারে)। আমরা দেখাই যে ফ্যাক্টরিং তেও রয়েছে ।সি লগ লগ x ∗ y ∗ x 1 ∗ … ∗ এক্স লগ এন পি$C$$C$$\log$$\log$$x*y$$*$$x_1*\ldots*x_{\log{n}}$$\mathsf{P}$$C$

নোট করুন যে প্রতিটি সংখ্যা এর powers শক্তির যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে । তাদের প্রতিটি ফ্যাক্টর সহজ।$\log n$$2$

এখন একটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছে, এটিকে এর ক্ষমতার যোগফল হিসাবে লিখুন, এবং প্রতিটি সংখ্যাকে ফ্যাক্টরিং উপস্থাপনায় লিখুন এবং তারপরে ফ্যাক্টরিং উপস্থাপনায় তাদের যোগফলের জন্য অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করুন। ফলাফল ইনপুট নম্বর ফ্যাক্টরিং হবে।

এটি দেখায় যে ফ্যাক্টরিং আপনার সমস্যার ফ্যাক্টসাম-এর লিটারেশন-এ হ্রাসযোগ্য। সুতরাং ফ্যাক্টরিংটি (এবং আমি মনে করি এখানে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে ))পি ফ্যাক্টসাম পি এন সি $\log$$\mathsf{P}^{\text{FactSum}}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC^1}$

Answer 2

আমি কোনও রেফারেন্স সম্পর্কে অবগত নই, তবে আমি মনে করি আমি একটি প্রমাণ নিয়ে এসেছি:

ধরুন আপনার কাছে একটি ওরাকল have রয়েছে , যা দুটি ফ্যাক্টরড সংখ্যা রয়েছে$\mathcal{O}$

$x = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

এবং

$y = \prod_{i=1}^m q_i^{\beta_i} \enspace$ ,

ওয়াইয়ের গুণককে আউটপুট করে ।$x+y$

to এ অ্যাক্সেস থাকার কারণে , আমরা নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করে বহু সংখ্যাগত সময়ে যে কোনও সংখ্যা ফ্যাক্ট করতে পারি ।$\mathcal{O}$$N$

প্রক্রিয়া ফ্যাক্টর ( )$N$

1. একটি মৌলিক খুঁজুন যেমন যে , এবং দিন ।N / 2 ≤ x ≤ N - 1 y = N - $x$$N/2 \le x \le N-1$$y = N - x$
2. তাহলে একটি মৌলিক নয়, এর গুণকনির্ণয় পেতে recursive কল ফ্যাক্টর (দ্বারা ) এবং আউটপুট।y y O ( x , f a c t o r ( y ) $y$$y$$y$$\mathcal{O}(x, factor(y))$
3. অন্য আউটপুট ।$\mathcal{O}(x,y)$

---

বিশ্লেষণ:

দ্বারা মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য বৃহৎ যথেষ্ট জন্য , সেখানে মাঝে মৌলিক সংখ্যার প্রচুর আছে এবং । যদি এত ছোট হয় যে কোনও প্রাইম এই ব্যবধানে না পড়ে, আপনি সহজেই ফ্যাক্ট করতে পারেন। অতএব, পদক্ষেপ 1 পাস।এন / 2 এন - 1 এন $N$$N/2$$N-1$$N$$N$

পদক্ষেপ 2 এ, আপনি একেএস বা অন্য কোনও বহু-সময়কালীন প্রাথমিকতা পরীক্ষা ব্যবহার করতে পারেন ।

পুনরাবৃত্তির সংখ্যা সহজভাবে হয় , যেহেতু প্রতিটি পদে পদে অর্ধেক কাটা আছে (অন্তত)$O(\lg(N)) = O(|N|)$$N$

---

PS-1: ধরে নেওয়া গোল্ডবাচের অনুমান সমান (এবং সম্ভবত বিজোড়) পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রক্রিয়াটি গতিতে সহায়তা করতে পারে।

PS-2: ব্যবহৃত হ্রাস হ'ল কুক হ্রাস। কার্পের হ্রাস ব্যবহার করে প্রমাণটি কার্যকর করতে আগ্রহী হতে পারে।

Comments

আমি মনে করি এটি যদি উন্মুক্ত হয় যদি আমরা কোনও নির্দিষ্ট পরিসরে দক্ষতার সাথে কোনও প্রাইম খুঁজে পাই তবে আপনি কীভাবে করছেন তা আমি দেখতে পাচ্ছি না

— কাভেঃ

@ কাভেঃ আপনি ঠিক বলেছেন! কিছু অতিরিক্ত পদক্ষেপের সাহায্যে আমি মনে করি যে আমি অ্যালগরিদমটি পরিবর্তন করতে পারি যাতে প্রাইম হওয়ার প্রয়োজন হয় না এবং তারপরে এটি মতো ফ্যাক্টর হয় ; অথবা আমরা ধরে নিতে পারি যে হ্রাসটি সম্ভাবনাময় (যেহেতু সম্ভাব্য বহুবর্ষের সময় থেকে, আমরা প্রদত্ত পরিসরে একটি প্রাইম খুঁজে পেতে পারি)। $x$$y$

— এমএস দৌস্তি

হ্যাঁ, আমি মনে করি আমাদের একই ধারণা ছিল, অর্থাত্ ইনপুটের সমষ্টিগুলির গুণকটি সহজেই সন্ধান করতে চেয়েছিল, আপনি প্রাইমগুলি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছিলেন, আমি ২ এর শক্তি ব্যবহার করেছি :) :) এখনও আমরা জানি না যে আমরা এটি দিয়ে করতে পারি কিনা ওরাকল সম্পর্কিত প্রশ্নের সংখ্যার তুলনায় কম, এবং এটি একটি আকর্ষণীয় এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা তত্ত্ব প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে (সংখ্যাগুলি সহজে ফ্যাক্টর সংখ্যার সমষ্টি হিসাবে সংখ্যার লিখন) related

— কাভেঃ

Answer 3

এই প্রতিক্রিয়াটি আমার আগের উত্তরের চেয়ে স্বতন্ত্র । মন্তব্যে @ কাভেহের উদ্বেগের সমাধান করা এটির লক্ষ্য:

আমরা সংখ্যা চাইলে এটি করা সহজ , তবে সংখ্যা দিয়েও কীভাবে এটি করা যায় তা আমি দেখতে পাচ্ছি না ।লগ লগ $\log n$$\log \log n$

আমারও তেমন উদ্বেগ ছিল:

ব্যবহৃত হ্রাস হ'ল কুক হ্রাস। কার্পের হ্রাস ব্যবহার করে প্রমাণটি কার্যকর করতে আগ্রহী হতে পারে।

(কার্পের হ্রাস সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য।

---

নীচের উত্তরগুলি এখানে আলোচনার ভিত্তিতে তৈরি করা হয়েছে: /math/54580/factoring-some-integer-in-the-given-interval ।

---

এই উত্তরে আমি ফ্যাক্টরিং থেকে দু'টি পূর্ণসংখ্যার যোগফলের গুণককে নির্ধারণ করে একটি নির্জনবাদী বহু-সময়ের কার্প হ্রাস সরবরাহ করব । যদিও এখানে একটি ধরা আছে: প্রমাণের সময়কালে, আমি নিম্নলিখিত নম্বর-তাত্ত্বিক ধারণাটি ব্যবহার করব:

$p_n$$p_{n+1}$$p_{n+1} - p_n = O(\log^2p_n)$

$N$$n=|N|=O(\log N)$$N$$[N - \log^3N, N]$$\log^3N = O(n^3)$

$x$y = এন - $[N - \log^3N, N]$$y=N-x$

যেহেতু , আমরা , এবং সহজেই গুণিত করা যেতে পারে (বলুন, পরীক্ষা বিভাগ ব্যবহার করে )।| y | = ও ( লগ লগ এন ) = ও ( লগ এন ) $0 \le y \le \log^3N$$|y| = O(\log \log N) = O(\log n)$$y$

অবশেষে, এর সাথে তাদের গুণাবলীর সাথে ওরাকলে জমা দিন এবং গুণনীয়কটি পান ।N = x + $(x,y)$$N = x+y$

Comments

ধন্যবাদ সাদেক, তবে শর্তসাপেক্ষ ফলাফল আমি যা চাইছিলাম তা হয়নি। PS: আমি সংখ্যার আকর্ষণীয় উপস্থাপনে আগ্রহী এবং আপনার উত্তরটি থেকে একটি উপস্থাপনাটি পাওয়া যায় (একটি বৃহত প্রাইম নেওয়া) আমার কাছে খুব আকর্ষণীয় লাগে না। আমি কী আকর্ষণীয় করব তার স্বাদ দেওয়ার জন্য: প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা চারটি স্কোয়ারের সমষ্টি ।

— কাভেহ