পূর্ণসংখ্যার পণ্যগুলিকে ফ্যাক্টরিংয়ের ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিং প্রধান পণ্যগুলি হ্রাস করা (গড় ক্ষেত্রে)

আমার প্রশ্নটি বিভিন্ন প্রার্থীর একমুখী ফাংশনের সুরক্ষার সমতুল্যতা সম্পর্কে যা ফ্যাক্টরিংয়ের কঠোরতার ভিত্তিতে তৈরি করা যেতে পারে।

ধরে নিচ্ছি সমস্যা

ফ্যাক্টরিং: [ এলোমেলো প্রাইমগুলির জন্য দেওয়া , , ] $N = PQ$ $P, Q < 2^n$ $P$ $Q$

বহিরাগত সময়ে অযৌক্তিক সম্ভাবনা, ফাংশন সহ সমাধান করা যায় না

প্রধানমন্ত্রী mult: [প্রদত্ত বিট স্ট্রিং ইনপুট, ব্যবহার একটি বীজ দুই র্যান্ডম মৌলিক জেনারেট করতে যেমন এবং (যেখানে লেন্থ , শুধুমাত্র দৈর্ঘ্যের তুলনায় polynomially ছোট ); তারপর আউটপুট ।] $x$ $x$ $P$ $Q$ $P$ $Q$ $x$ $PQ$

একমুখী হতে দেখানো যেতে পারে।

অন্য প্রার্থী একমুখী ফাংশন

শনাক্তকারী - বহুবিধ: [প্রদত্ত এলোমেলোনা পূর্ণসংখ্যার ইনপুট হিসাবে আউটপুট ।] $A, B < 2^n$ $A B$

ইন্টিগ্রেয়ার-মাল্টের সুবিধা রয়েছে যে প্রাইম-মাল্টের তুলনায় এটি নির্ধারণ করা সহজ। (বিশেষত লক্ষ করুন যে প্রাইম-মাল্টে, এমন একটি সুযোগ রয়েছে (যদিও সৌভাগ্যক্রমে অবহেলিত) যে বীজ তৈরিতে ব্যর্থ হয়েছে যা প্রধান) $x$ $P, Q$

কমপক্ষে দুটি পৃথক স্থানে (অরোরা-বারাক, গণনামূলক জটিলতা, পৃষ্ঠা 177, পাদটীকা 2) এবং ( বুদ্ধনের ক্রিপ্টোগ্রাফি বক্তৃতা নোটগুলির ভূমিকা ) উল্লেখ করা হয়েছে যে INTEGER-MULT একতরফা ফ্যাক্টরিংয়ের গড় কঠোরতা অনুমান করে। যাইহোক, এই দু'জনের কেউই এই সত্যটির কারণ বা রেফারেন্স দেয় না।

সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল:

আমরা কীভাবে এর বহুবর্ষীয় সময়ের ফ্যাক্টরিংকে হ্রাস করতে পারি, নন-যোগ্যতার সম্ভাব্যতার সাথে INTEGER-MULT উল্টানোর ক্ষেত্রে অযোগ্য সম্ভাবনার সাথে? $N = PQ$

এখানে একটি সম্ভাব্য পদ্ধতির (যেমন আমরা দেখব কীভাবে কাজ করে না!) হল: প্রদত্ত , সংখ্যাবৃদ্ধি অনেক দ্বারা (যদিও polynomially) আর র্যান্ডম পূর্ণসংখ্যা পেতে । ধারণা যে এতো বড় এটা আকারের মৌলিক উত্পাদক প্রচুর আছে মোটামুটিভাবে সমান , যাতে, প্রধান কারণের মধ্যে "স্ট্যান্ড আউট" না । তারপরে একটি নির্দিষ্ট পরিসরে প্রায় অভিন্ন র্যান্ডম পূর্ণসংখ্যার বিতরণ রয়েছে (বলুন $N = PQ$ $N$ $A'$ $A = NA'$ $A'$ $P, Q$ $P, Q$ $A$ $A$ )। এরপরে একই পরিসীমা থেকে এলোমেলোভাবেপূর্ণসংখ্যা চয়ন করুন। $[0,2^n-1]$ $B$ $[0,2^n-1]$

এখন পূর্ণসংখ্যা-mult জন্য একটি ইনভার্টার দেওয়া যদি পারেন খুঁজে, কিছু সম্ভাবনা সঙ্গে যেমন যে , আশা যে এক বা রয়েছে যেমন একটি ফ্যাক্টর এবং অন্যটিতে রয়েছে । যদি তাই হয়ে থাকে, আমরা জানতে পারেন বা এর GCD গ্রহণ করে সঙ্গে । $AB$ $A', B' < 2^n$ $A'B' = AB$ $A'$ $B'$ $P$ $Q$ $P$ $Q$ $A'$ $N = PQ$

সমস্যা হল বৈদ্যুতিন সংকেতের মেরু বদল ছোট কারণের নির্বাণ মৌলিক উত্পাদক আলাদা করতে, উদাহরণস্বরূপ চয়ন করতে পারেন, হয় মধ্যে এবং বড় বেশী যাতে, এবং উভয় শেষ পর্যন্ত বা উভয় । $AB$ $A'$ $B'$ $P$ $Q$ $A'$ $B'$

কাজ করে যে অন্য পদ্ধতির আছে?

— ওমিদ এতেসামি
সূত্র

আইএনটি-ফ্যাক্ট তাত্পর্যপূর্ণভাবে ছোট হওয়ার জন্য ব্যর্থতার সম্ভাবনা হ্রাস করতে পারি এবং তারপরে প্রাইমগুলির ঘনত্বটি ব্যবহার করে বলতে পারি যে এটি দুটি প্রাইমের বেশিরভাগ পণ্যগুলিতে ব্যর্থ হবে না?

— কাভেঃ

উদাহরণস্বরূপ তাত্পর্যপূর্ণ ক্ষুদ্র ভগ্নাংশ বাদে যদি আমরা সমস্ত দৃষ্টান্তের জন্য INTEGER-MULT উল্টাতে পারি, প্রকৃতপক্ষে প্রাইমগুলির ফ্যাক্টরিং পণ্যগুলি সহজ হবে। তবে আমি দুর্বল বৈদ্যুতিন সংকেতের মেরু বদল থেকে শক্তিশালী ইনভার্টার পাওয়ার কোনও উপায় জানি না।

— ওমিদ এটাসামি

এই সমস্যাটির (কোনওভাবে) বিপরীতটি ইতিমধ্যে এখানে আলোচনা করা হয়েছে ।

— এমএস দৌস্তি

mathoverflow.net/questions/71604/…

— ইতো

এটি সত্যই কোনও উত্তর নয়, তবুও এটি এ জাতীয় হ্রাসগুলি প্রদর্শনের অসুবিধা সম্পর্কে কিছুটা আলোকপাত করে।

যাক: নিম্নরূপ সমস্যা সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে একটি আলগোরিদিম যা অ তুচ্ছ সম্ভাব্যতা সঙ্গে পূর্ণসংখ্যা-mult সমস্যা solves হও। কিছুটা ধ্রুবক (যখন আকার ) এর জন্য এই সম্ভাব্যতাটি কমপক্ষে হতে দিন । প্রমাণ আছে কোন ppt (সম্ভাব্য বহুপদী-সময়) অ্যালগরিদম বিদ্যমান যা, ব্যবহার সাবরুটিন, এবং সমাধান আকারের ফ্যাক্টরিং সমস্যার একটি দৃষ্টান্ত অন্তত সম্ভাব্যতা সঙ্গে কিছু ধ্রুবক জন্য, । $\mathcal{A}$ $n^{-c}$ $c \in \mathbb{N}$ $n$ $\mathcal{A}'$ $\mathcal{A}$ $n$ $n^{-d}$ $d \in \mathbb{N}$

$\mathcal{A}^*$ $N$ $N = PQR$ $P$ $Q$ $n/4$ $R$ $n/2$ $N$ $PQ$ $R$ $\mathcal{A}^*$ $n$ $\mathcal{A}^*$

$k$

$2^k / \ln(2^k) - 2^{k-1} / \ln(2^{k-1}) = \Theta(2^k / k)$

$n$

$\frac{\Theta(2^{n/4} / (n/4))^2 \cdot \Theta(2^{n/2} / (n/2))}{2^{n-1}} = \Theta(n^{-3})$

$n$

$\mathcal{A}'$ $\mathcal{A}^*$ $n$ $n^{-d}$ $d \in \mathbb{N}$

$\mathcal{A}^*$ $PQ$

— এমএস দৌস্তি
সূত্র