চতুষ্কোণ বহুভুজের সমষ্টিগুলির সিস্টেমেটিক স্টাডিজ বর্গক্ষেত্র

Question

আমি ভাবছি যে চতুষ্কোণ ফর্মগুলির সমষ্টিগুলির নিয়মিত অধ্যয়ন আছে, চতুষ্কোণ রূপগুলির অনুরূপ, যা বাস্তবে ইগেনভ্যালু পচনতে প্রতিবিম্বিত হয় (এর বিশাল ব্যবহারিক নিদর্শন রয়েছে)। প্রশ্নের গুরুত্ব সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি উদাহরণ।

1. প্রধান উপাদান বিশ্লেষণ (পিসিএ) । পয়েন্ট একটি সেট দেওয়া$x_i \in \mathbb{R^n}, i=1..k$ অক্ষের সেটটি সন্ধান করুন $u_1$, ... $u_m$, ম্যাট্রিক্স হিসাবে লেখা $U \in \mathbb{R^n x R^m}$, এবং অনুমান $\xi_1$, ..., $\xi_k, \xi_{\circ} \in \mathbb{R^m}$ যা অব্যক্ত বৈকল্পিকতা হ্রাস করে, অর্থাত্ নীচের কোয়ার্টিক অপটিমাইজেশন সমস্যার সমাধান করুন

   $\mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ \xi_1, .., \xi_k} \sum \limits_{i} \left( U^T \xi_i - x_i \right)^2$

   প্রতিসমের যাদু দ্বারা এটি একক মান পচন দ্বারা সমাধান আছে has

2. জেনারালাইজড পিসিএ । পিসিএ হিসাবে একই, কিন্তু এখন একটি নির্ভুলতা ম্যাট্রিক্স আছে$A_i \in \mathbb{R^n x R^n}$ প্রতিটি পর্যবেক্ষণযোগ্য সঙ্গে যুক্ত $x_i$। সমস্যা আরও জটিল হয়

   $\mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ \xi_1, .., \xi_k} \sum \limits_{i} \left( A_i U^T \xi_i - x_i \right)^2$

   (যখন সব $A_i$ পরিচয় ম্যাট্রিক্স হয় এই সমস্যাটি পিসিএ সমতুল্য, যখন $A_i = A_j, \forall i,j$, এবং তির্যক এটি ভারী পিসিএ)। এই সমস্যাটি আধা-নির্দিষ্ট প্রোগ্রামিং (এসডিপি) এর মাধ্যমে বহুবর্ষীয় সময়েও সমাধান করা যেতে পারে - যেহেতু সমাধানটি বর্গক্ষেত্রের সমান আকার ধারণ করে, এনজেড শোর (1987) দ্বারা এটি উত্তল সমস্যা, এবং প্যারিলো থিসিস (2000) একটি ব্যবহারিক প্রয়োগ দেয় এসডিপির মাধ্যমে এটি গণনা করার উপায়$\square$

এসডিপি পদ্ধতির মধ্যে কোয়ার্টিক বহুবচনটি চতুষ্কোণ বহুপদী স্কোয়ারের যোগফল হিসাবে লেখা হয়। সুতরাং, কোয়ার্টিক বহুবচনগুলি কোয়ারড্যাটিক ফর্মগুলির সমষ্টি হিসাবে রচনা করা যেতে পারে তা জানার পক্ষে এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ( বেশিরভাগ সাহিত্যিক, আমি সেই স্থানে থামার মুখোমুখি হয়েছি যেখানে তারা দেখতে পায় যে সর্বনিম্ন কোয়ার্টিক বহুবচন$p= \sum_k^n (x_k^2-1) + (a^T x)^2, a \in \mathbb{Z^n}$ পার্টিশনের সমস্যাটি এনকোডিং করছে এবং এর কারণ নিয়ে কোনও যুক্তি নেই $p$ এর বাইরেও চতুষ্কোণ বহুভুজের স্কোয়ারের যোগফল হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যায় না।

আমি ভাবছি যে কেউ বহুভৌলগুলির নিয়মানুবর্তিত স্টাডিগুলি চতুষ্কোণীয় বহুভুজের স্কোয়ারের যোগফল দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য কিনা।

Answer 1

আমার জ্ঞানের সর্বোপরি, এ জাতীয় কোনও গবেষণা নেই; তদ্ব্যতীত, যোগফলগুলির (এসওএস) সমস্যার প্রযুক্তিতে কিছুটা অনানুষ্ঠানিক অগ্রগতি ব্যতীত, এই ধরনের গবেষণার তাত্ক্ষণিক উপকারটি কী হবে তা বর্তমানে পরিষ্কার নয়। (আমি তখন থেকে এসওএস সংযোগের দিকে মনোনিবেশ করব, যতদূর আমি জানি, এই সাধারণ কোয়ার্টিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সর্বোত্তম উপায়)) এই বিবৃতিটি ইতিবাচক আলোকে নেওয়া উচিত: আমার বিশ্বাস আশেপাশে গবেষণার গভীরতা অনেক আছে believe সমস্যাগুলো. আমি কয়েকটি উপায়ে আমার দাবিকে দৃstan়তা জানাব, আশা করি যে উপায়ে লোকেরা উপকারে আসে ..

প্রথমত, আপনি যে ধরণের আলোচনা করেন তার সর্বাধিক প্রাথমিক সমস্যার জন্য, এসভিডি সংযোগটি এসওএস ব্ল্যাক বক্সের চেয়ে অনেক ভাল সমাধান করে; বিশেষত, পরেরটি একটি এসডিপি তৈরি করে$\binom{n+2}{2}$ পদ, যেখানে $n$উত্স অপ্টিমাইজেশান সমস্যায় মোট চলকগুলির সংখ্যা (উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত অজানা ম্যাট্রিকগুলিতে উপাদানগুলির মোট সংখ্যা; আমি এই সংখ্যাগুলি কোথায় পেয়েছি তা জানতে পাবলো পেরিলোর 2006 কোর্সটি থেকে 10 টি লেকচার দেখুন: http://ocw.mit। ইডু / কোর্স / বৈদ্যুতিক-ইঞ্জিনিয়ারিং-এবং-কম্পিউটার বিজ্ঞান / 6-972-বীজগণিত-কৌশল-এবং-সেমিাইডাইফিনেট-অপটিমাইজেশন-বসন্ত -2006 / বক্তৃতা-নোটস / লেকচার_10 . pdf )। এটি এমন একটি এসডিপি যা আপনি কখনই সমাধান করতে চান না (চলমান সময় নির্ভর করে$n$ যেমন $n^{6}$ একটি অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট সলভার ব্যবহার করে?), বিশেষত যখন কোনও এসভিডি সলভারের হাস্যকর গতির সাথে তুলনা করা হয় (ধারাবাহিক স্বরলিপি ব্যবহার করে, এসভিডি এমন কিছু হবে) $\mathcal O(n^{1.5})$; আপনি কলাম, সারি এবং লক্ষ্য র‌্যাঙ্কের সংখ্যা ট্র্যাক করে আমার গণনাগুলি ডি-ফ্যাজ করতে পারেন, তবে আপনি আমার অবহেলা কীভাবে সংশোধন করবেন তা নির্বিশেষে এটি একটি বিপর্যয়)। এই শিরা বরাবর, যদি আপনি এসওএস সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য কোনও বিশেষ অ্যালগরিদম ডিজাইন করেন যেখানে কোনও বহুপদী মধ্যে সর্বোচ্চ ডিগ্রি দুটি হয়: এটি আশ্চর্যজনক হবে এবং তারপরে আপনি যে ধরণের জরিপের সন্ধান করেছেন তাতে প্রচুর মান হবে।

দ্বিতীয়ত, যেহেতু এই সমস্যাগুলির প্রাথমিক সূচনাটি উইন্ডোটির বাইরে রয়েছে, তাই কেউ কেউ ভাবতে পারেন যে এই সমস্যাগুলির কিছু নির্দিষ্ট রূপগুলি এসওএস সলভাররা ভালভাবে পরিচালনা করেছেন কিনা। একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হিসাবে, এনএমএফ (অ-নেতিবাচক ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টেরাইজেশন) সমস্যাটি বিবেচনা করুন, যেখানে আপনি যে ম্যাট্রিক্স অজানাটিকে অপটিমাইজ করছেন তার (আপনার উপরের সূচনায়) এখন অ-নেতিবাচক এন্ট্রি থাকতে হবে। দুর্ভাগ্যক্রমে, আপনি যদি এই সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড এসডিপি নেন (উদাহরণস্বরূপ পাবলো পেরিলোর নোটগুলি উপরের দিক থেকে দেখুন) তবে এই সীমাবদ্ধতাগুলি প্রবর্তনের কোনও উপায় নেই। (এবং যেহেতু ফলাফলগত সমস্যার কিছু সূত্রগুলি এনপি-হার্ড, এখন আপনি একটি আনুমানিক স্কিম তৈরি করবেন; অর্থাত এটি ন্যক্কারজনক হতে পারে)) তাছাড়া, সাম্প্রতিক কাজ রয়েছে যা কিছু লোকের সাথে সমাধানকারী তৈরি করার জন্য এই সমস্যার বহুপদী কাঠামোকে কাজে লাগিয়েছে গ্যারান্টি: দেখুনhttp://arxiv.org/abs/1111.0952 অরোরা, জি, কান্নান এবং মৈত্র দ্বারা। তারা কয়েকটি অ্যালগরিদম তৈরি করে, তবে যখন তারা একটি "সঠিক" এনএমএফ সমস্যাটি সমাধান করে (যেখানে একটি নিখুঁত ফ্যাক্টেরাইজেশন রয়েছে, অর্থাত্ একটির মান 0 প্রদান করা হয়), তারা কোনও এসওএস সলভার ব্যবহার করে না: তারা "অর্ধের সলভার পরীক্ষা করার সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে -জেজব্রাইক সেট ", এনএমএফ যে ধরণের প্রতিবন্ধকতা উত্থাপন করে, তবে এখন তাড়াতাড়ি চলার সময় সহ অনেক বেশি জটিল অপটিমাইজেশন সমস্যা।

যাইহোক, সংক্ষিপ্তসার এবং আরও কিছু দৃষ্টিভঙ্গি দিতে; যেহেতু আপনি যে কোয়ার্টিক সমস্যার কথা বলছেন সেগুলির একমাত্র SOS আফিক (যেমন, আমি মনে করি না যে কোনও বিশেষজ্ঞ কোয়ার্টিক সলভার রয়েছে), সুতরাং আমি আলোচনা করেছি যে এই সমাধানকারীরা কোয়ার্টিক সমস্যার ধরণের সমস্যার জন্য কীভাবে আরও ভাল বিকল্প রাখে। এখানে কার্যকরভাবে এসওএস সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করতে, আপনাকে কোয়ার্টিক কেস (সর্বাধিক 2 ডিগ্রির অভ্যন্তরীণ বহুভুজ) এর জন্য কিছু আশ্চর্যজনক দ্রাবক তৈরি করতে হবে, বা আপনাকে এই সমস্যাগুলির প্রতিবন্ধকতা যুক্ত করার কোনও উপায় খুঁজে বের করতে হবে। অন্যথায়, এসওএস সমস্যার সংযোগ, আকর্ষণীয় হলেও, আপনাকে বেশি দেয় না।

আপনি আরও উল্লেখ করেছেন যে আপনি যে সাহিত্যের সন্ধান পেয়েছেন তা এই সংযোগটি তৈরি করে না বলে আপনি অবাক হন। আমি মনে করি এটি বেশিরভাগ ব্যবহারিক এসওএস সলভারগুলির নতুনত্বের কারণে হয়েছে (যদিও এসওএস সমস্যার সম্পর্কে বিমূর্ত বিবেচনাটি খুব দূরে ফিরে যায়), এবং আমি উপরে যা বলেছি। আসলে, যখন আমি প্রথম এসওএস সলভার পেয়েছি, এটি পেরিলোর নোট এবং কাগজগুলির মাধ্যমে ছিল, এবং আমি একইভাবে ভাবছিলাম, "তিনি পিসিএ-টাইপ সমস্যা নিয়ে কেন কথা বলছেন না"? তারপরে আমি উপরের তথ্যগুলি যাচাই করেছিলাম এবং অনেকগুলি ভ্রূণুভূত করেছিলাম। আমি মনে করি এটি একটি খারাপ লক্ষণও আছে যা আমি নিজে বলতে পারি / স্কিম করতে পারি না, আপনি তাঁর থিসিসে যে রেফারেন্সটি উল্লেখ করেছেন তার বাইরে এই সমস্যাগুলি নিয়ে আলোচনা করেছেন (ইতিমধ্যে, তার বিভিন্ন এক্সটেনশনের কাগজপত্র রয়েছে, এবং আমার অনেক শ্রদ্ধা রয়েছে এই ক্ষেত্রে তার কাজের জন্য: তিনি অবশ্যই এই নির্দিষ্ট কোয়ার্টিক সমস্যাগুলি সম্পর্কে বহুবার চিন্তাভাবনা করেছেন ..http://arxiv.org/abs/1111.1498 )।