একরঙা আয়তক্ষেত্র ছাড়াই গ্রিড

37

আপডেট : সমস্ত একরঙা-আয়তক্ষেত্রবিহীন 4-কালারিংয়ের জন্য বাধা সেট (অর্থাত্ কলয়েবল এবং অসাধারণ গ্রিড আকারের মধ্যে এনএক্সএম "বাধা") এখন জানা গেছে ।

5-রঙিন চেষ্টা করে কেউ মনে করেন? ;)

নিম্নলিখিত প্রশ্নটি রামসে থিওরি থেকে উঠে এসেছে ।

বাই- গ্রিড গ্রাফের কালারিংয়ের বিষয়টি বিবেচনা করুন । একটি অস্তিত্ব বিদ্যমান যখনই একই রঙের চারটি ঘর কিছু আয়তক্ষেত্রের কোণ হিসাবে সাজানো থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এবং একরঙা আয়তক্ষেত্র গঠন করে যদি তাদের বর্ণ একই থাকে। একইভাবে, এবং একরঙা আয়তক্ষেত্র গঠন করে, যদি একই রঙের সাথে বর্ণযুক্ত হয়। $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

প্রশ্ন : বাই গ্রিড গ্রাফের কোনও একরঙা আয়তক্ষেত্র না থাকা রঙিং উপস্থিত রয়েছে ? যদি তা হয় তবে সুস্পষ্ট রঙিন সরবরাহ করুন। $4$ $17$ $17$

কিছু জ্ঞাত তথ্য:

$16$ বাই $17$ হয় $4$ একটি একরঙা আয়তক্ষেত্র ছাড়া -colorable কিন্তু পরিচিত শোভা স্কিম প্রসারিত বলে মনে হচ্ছে না $17$ বাই $17$ কেস। (আমি পরিচিত বাদ করছি $16$ বাই $17$ রং করা হয়েছে কারণ এটি খুব সম্ভবত সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য একটি লাল হেরিং হবে $17$ বাই $17$ ।)
$18$ বাই $19$ হয়না $4$ একটি একরঙা আয়তক্ষেত্র ছাড়া -colorable।
$17$ বাই $18$ এবং $18$ বাই $18$ অজানা মামলা হয়; এগুলির একটি উত্তরও আকর্ষণীয় হবে।

দাবি অস্বীকার : বিল গ্যাশার্কের এই প্রশ্নের ইতিবাচক উত্তরের জন্য একটি 289 (মার্কিন ডলার) অনুদান রয়েছে ; আপনি তার ব্লগের মাধ্যমে তাঁর কাছে পৌঁছাতে পারেন। শিষ্টাচারের একটি নোট: আমি নিশ্চিত করবো যে তিনি কোনও সঠিক উত্তরের উত্স জানেন (তার উত্থাপন হওয়া উচিত)

দ্বিতীয় ব্যারিয়ারে একটি র‌্যাম্প সেশনের সময় তিনি এটিকে আবার সামনে এনেছিলেন এবং এটি আমার কাছে আকর্ষণীয় মনে হয়েছে, তাই আমি এখানে প্রশ্নটি এগিয়ে দিচ্ছি (তাঁর জ্ঞান ছাড়াই; যদিও আমি সন্দেহ করি যে সে মনে করবে)।

— ড্যানিয়েল আপন
সূত্র

11

কেবল কয়েকটি রেফারেন্স / পয়েন্টার যুক্ত করতে চাই: ব্লগ পোস্টগুলি [1,2] ব্যতীত, বিট-প্লেয়ার ব্লগের আপডেটগুলি [3,4] বিস্তারিত এবং অন্তর্দৃষ্টিযুক্ত। এই সমস্ত পোস্টে যথেষ্ট আলোচনা হয়েছে। [১]: ব্লগ ডটকমপুটেশনাল কমপ্লেটিসিটি.আর / ২০০৯ / ১১ / ১১ [২]: ব্লগ.কমপুটেশনাল কমপ্লিটসটি.আর / ২০০৯ / ১২ / ২ [৩]: বিট-প্লেয়ার.আর.আর / ২০০৯ / ২০১-17-১xx১-- চ্যালেঞ্জ [৪] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report নোট: মন্তব্যে কোনও মার্কডাউন বিন্যাস নেই? আমি কীভাবে সুন্দর লিঙ্কগুলি তৈরি করতে পারি?

— নীলধারা

সেগুলি কয়েকটি দুর্দান্ত লিঙ্ক। ধন্যবাদ নীলধারা! :)

— ড্যানিয়েল আপন

তেমনি, এখানে এটি পোস্ট করার জন্য ধন্যবাদ - আমি কিছু সময়ের জন্য এটির উন্নতিগুলি অনুসরণ করেছি এবং এটি সমস্যার প্রতি আগ্রহ পুনরায় জাগিয়ে তুলবে!

— নীলদারা

2

@ মরন: হ্যাঁ, আপনাকে কেবল সেই আয়তক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করতে হবে যার পক্ষের অক্ষগুলির সাথে সমান্তরাল। বিটিডাব্লু, এটিতে একটি জটিলতা-তত্ত্বের কোণও রয়েছে: বিল অনুমান করেছে যে এন গ্রিড দ্বারা একটি মিটার একটি আংশিক কে-রঙ দেওয়া হয়েছে, এটি নির্ধারণ করে যে রঙটি একটি আয়তক্ষেত্রমুক্ত পদ্ধতিতে সম্পন্ন করা যায় কিনা এনপি-সম্পূর্ণ।

— কার্ট 21

2

সমস্যাটির অটোমরফিজম গ্রুপটি বড়:

সমাধান-সংরক্ষণের প্রতিসাম্যগুলি, সারি-কলামের অদলবদল গণনা, রঙগুলির ক্রমবিন্যাস, সারিগুলির ক্রমবর্ধমান এবং কলামগুলির ক্রমবিকাশ। এটি কি পরিচিত যে

আকারের কতগুলি পৃথক আয়তক্ষেত্রমুক্ত উপগ্রহ রয়েছে

?

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— এমজেকিএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সআরএক্স

23

আপনারা কেউ কেউ সম্ভবত এটি সম্পর্কে অবগত আছেন, তবে বার্যান্ড স্টেইনবাচ এবং ক্রিশ্চিয়ান পোস্টহফ দ্বারা 17 x 17 রঙিন সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছে । এখানে গ্যাসার্কের ব্লগ পোস্টটি দেখুন ।

— লেভ Reyzin
সূত্র

8

এছাড়াও 18x18 গ্রিড একরঙা আয়তক্ষেত্র ছাড়াই 4-সমঞ্জরিত ... এখন, একমাত্র "অনুপস্থিত টাইল" 21x12 গ্রিড

— ডি

13

এটি সত্যই প্রশ্নের উত্তর নয়, তবে আমি 17x17 4-রঙিন সমস্যাটিকে 4-সিএনএফ হিসাবে (এসএটি-সলভারগুলির জন্য স্ট্যান্ডার্ড ডিআইএমএসিএস ফর্ম্যাটে) এনকোড করেছি এবং এটি এখানে আপলোড করেছি । কারও কাছে যদি একটি ভাল SAT সলভার (এবং একটি সুপার কম্পিউটার) অ্যাক্সেস থাকে তবে আমরা কিছুটা অগ্রগতি করতে পারি।

নোট: আমার এনকোডিং, যদি gridpoint নির্ধারিত হয় রঙ , তারপর পরিবর্তনশীল মান লাগে , এবং অন্যথায় । $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— লেভ Reyzin
সূত্র

3

অসাধারণ. (আমার কাছে আসলে একটি সুপার কম্পিউটারে অ্যাক্সেস আছে)) নির্দিষ্ট মেশিনে এই জিনিসটির রানটাইম অনুমান করার জন্য পরবর্তী পদক্ষেপের চলমান নম্বরগুলি। এটি যুক্তিসঙ্গতভাবে বলপার্কে রয়েছে কিনা কে জানে তবে এটি আমি আলাদাভাবে দেখছি। এখন, স্যাট-সলভারদের উপর সাম্প্রতিক প্রশ্নটি সন্ধান করার সময় যা আমি পড়তে পারি ... :)

— ড্যানিয়েল আপন

আমি যে সমস্যাটির কথা ভাবছিলাম তা # স্যাট-এ পরিণত হয়েছে, তাই আমি সিটিওরি.স্ট্যাকেক্সেঞ্জঞ্জ / সেকশনস / 1719/… এ স্যাট সলভারদের

— ড্যানিয়েল আপন

দুর্দান্ত - আমাকে কীভাবে তা জানাতে দিন!

— লেভ রেইজিন

4

@ লাইভ, কেবল একটি এলোমেলো আপডেট: এটি 17x17 এর রানটাইম প্রদর্শিত হবে, এমনকি সর্বোত্তম সম্ভাব্য সুপার কম্পিউটার এবং সত্যই দ্রুত স্যাট সলভার ব্যবহার করে এখনও জ্যোতির্বিজ্ঞানী। প্লাস সাইড: এটি একটি লক্ষ্যযুক্ত উপায়ে সুপার কম্পিউটারের সাথে আক্রমণ করার কারণের ক্ষেত্রের মধ্যে উপস্থিত হয়, অর্থাত্ আংশিক 1-রঙিনগুলি কাজ করবে (ইতিমধ্যে রাথার্সে বেথ কুক্কিনের হাতে হাতে কাজ করা হয়েছে), তারপরে সঠিক আংশিক 2টি সন্ধান করুন - রঙগুলি যেগুলি থেকে কাজ করবে, ইত্যাদি। নীচে দিক: কোনও "দ্রুত সমাধান" নেই; এটি সুপার কম্পিউটারের মৃত্যুদণ্ডের একাধিক পর্যায় সহ একটি দীর্ঘমেয়াদী প্রকল্প হতে হবে

— ড্যানিয়েল আপন

1

@ জো, তবে! এখানে বর্তমান সেরা আনুমানিক রঙের একটি "লিডারবোর্ড" রয়েছে: লিডারবোর্ড - আনুমানিক রঙগুলি সন্ধান করার জন্য এটি সিমুলেটেড অ্যানিলিং বেশ ভাল কাজ করে।

— ড্যানিয়েল আপন

4

এটি কোনও আসল উত্তর নয়। অবশ্যই এখানে সমস্যাটি এমন একটি জ্যোতির্বিজ্ঞানের সংখ্যার সংখ্যার উপস্থিতি যা সেরা সুপার কম্পিউটারগুলিতে সেরা এসএটি সলভারদের বোকা বানাও। এই জাতীয় প্রতিসাম্যগুলি সমাধানের সমাধান এবং অ-সমাধানগুলির অ-সমাধানগুলির মানচিত্র সমাধান করে: এক্ষেত্রে সম্ভবত প্রায়শ-সলিউশনগুলির একটি বিশাল সংখ্যা রয়েছে (অর্থাত্ অ্যাসাইনমেন্টগুলি একটি সামান্য পরিমাণ বাদে সন্তুষ্টকারী), যার প্রতিটিই অন্য কোনও দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে each একটি সঠিক প্রতিসাম্য প্রয়োগ। সুতরাং সমাধানকারী এই প্রায়-সমাধানগুলির প্রতিটি চেষ্টা করে প্রচুর পরিমাণে সময় নষ্ট করেন, যখন একটি নির্দিষ্ট অর্থে তারা সব একই হন।

এই শক্ত 17x17 উদাহরণকে আক্রমণ করতে এবং এটিতে কিছুটা অগ্রগতি করার জন্য প্রতিসাম্যগুলি অনুসন্ধান করা ( এই কাগজটি দেখুন) অন্বেষণের জন্য একটি উপায় হওয়া উচিত। আমি ভাবছি কেউ যদি ইতিমধ্যে এটি করার চেষ্টা করে থাকে।

— জর্জিও ক্যামেরানি
সূত্র

আরে, বেশ মিষ্টি! :) এর আগে দেখিনি।

— ড্যানিয়েল আপন

@ ড্যানিয়েল: আপনাকে স্বাগতম! ;-) আশা করি এটা সাহায্য করবে.

— জর্জিও ক্যামেরানী ২৩'১৯

আমি 17x17 সমস্যার একাধিক এনকোডিংগুলিতে অলুলের "বিড়বিড়" প্রোগ্রামটি ব্যবহার করেছি এবং কিছু সিপিইউ সপ্তাহকে কয়েকটি আলাদা স্যাট সলভারগুলিতে রেখেছি এবং কোনও ভাগ্য হয়নি। ওয়াল্টার উল্লেখ করা কাগজটি সম্ভবত এক ডজন বা তিনি যে বিষয়টিতে লিখেছেন তার প্রথমটি, তাই সেখানে কিছু থাকতে পারে যা কাজটি করবে তবে এটি কোনও ঝুলন্ত ফল নয়।

— জে কোমিনেক

3

আবার, আসল উত্তর নয়, তবে যাইহোক, এই সমস্যার জন্য গ্রাফ রঙিন অ্যালগরিদমগুলি গ্রহণ করার বিষয়ে এখানে কিছু চিন্তাভাবনা রয়েছে।

আমাদের বলে যে একটি সেট করা যাক গ্রিড পজিশনের হয় একটি স্বাধীন সেট যদি সেট থাকে কিছু আয়তক্ষেত্র চারটি কোণে ধারণ করে না। সুস্পষ্ট উপায়ে সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটটি সংজ্ঞায়িত করুন । এখন নিম্নলিখিত সমতুল্য দাবি: $I$ $I$

বাই- গ্রিড রঙিনরঙেরঙিন হতে পারে। $n$ $m$ $k$
by- গ্রিড স্বাধীন সেটদিয়ে আচ্ছাদিত করা যেতে পারে। $n$ $m$ $k$
-by- গ্রিড সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটদিয়ে আচ্ছাদিত করা যেতে পারে। $n$ $m$ $k$

এখন, মজার বিষয় যে স্বাধীন সেট সঙ্গে আচ্ছাদন সময়ের মধ্যে সম্পন্ন করা যেতে পারে (দ্রুত আচ্ছাদন পণ্য অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে Björklund এট অল। 2007 )। এটি অবশ্যই তুচ্ছ অ্যালগরিদমের তুলনায় একটি উন্নতি , যদিও এখনও অনর্থনীয় বলে মনে হচ্ছে। $\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

সমস্ত (সর্বাধিক) স্বতন্ত্র সেটের পরিবারের যদি যথেষ্ট সুন্দর কাঠামো থাকে তবে কভারিং প্রোডাক্ট অ্যালগরিদমকে সূক্ষ্ম-টিউন করাও সম্ভব হতে পারে।

— জান্নে এইচ। করহোনেন
সূত্র

কীভাবে দাবি 3 দাবির সমান? 17x17 এর সর্বাধিক স্বাধীন সেটটি আকারের 74 হয়, যাইহোক, এলিজাবেথ কুপিনের কাগজে (পিডিএফ) দেখানো হয়েছে । সারি এবং কলামগুলির পৃথক হিসাবে গণনা না করে এর মধ্যে কেবল একটি সেট রয়েছে।

— নুল সেট

আমি এই অর্থে সর্বাধিক বলতে চাইছি যে কম্পিউটার বিজ্ঞানের প্রচলিত হিসাবে কোনও সঠিক সুপারসেটই স্বাধীন নয়। সর্বাধিক শব্দটি সাধারণত ব্যবহৃত হয় যখন "বৃহত্তম সম্ভাব্য আকারের" অর্থ হয়।

— জেনে এইচ। কোর্হোনেন

সেক্ষেত্রে সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটগুলির সেটটিতে অনন্য আকারের set৪ টি সেটের সমস্ত সারি / কলাম ক্রম থাকে এবং কোনও আকার independent৩ স্বতন্ত্র সেট থাকে না, কারণ সেগুলি 74৪ সেট আকারের সমস্ত উপগঠন। আমি sure not থেকে 72২ এর আকারের মধ্যে কী তা নিশ্চিত নই

— নুল সেট

3

21x12 গ্রিড একরঙা আয়তক্ষেত্র ছাড়াই 4-রঙিন

গ্যাসার্ডের ব্লগে বার্নড স্টেইনবাচের পোস্টটি দেখুন !

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

-4

এটি বিল বোরিস। হাই, ড্যান আমি এমন একটি প্রোগ্রামে কাজ করছি যা একটি উপযুক্ত 17x17 ম্যাট্রিক্স অনুসন্ধান করে যা রামসের থিওরি অনুসারে নং-4-রঙিন প্রদর্শন করে। আমি পজিশনের মধ্যে সমস্ত সংযোগ চিত্রিত করে একটি অবস্থানগত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করি এবং মূল তির্যকটি স্থির করি এবং ম্যাট্রিক্সের উপরের সারিটি সম্ভাব্য 16 চুজ 8 সংমিশ্রনের মধ্য দিয়ে চলতে দেই; আমি নিম্নলিখিত মাপদণ্ডগুলির সাথে পাস করে কেবল ম্যাট্রিকগুলি ক্যাপচার করি ... নো-এক্সআরআরআর, নো-আরএক্সআরআর, নো-আরআরএক্সআর, নো-আরআরআরএক্স, নো-এক্সবিবিবি, ন-বিএক্সবিবি, ইত্যাদি, তারপরে আমি ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে পরবর্তীটি ব্যবহার করে চলেছি কম্পিউটারটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে রঙে না ভরা পর্যন্ত মোট 32 টি সুইপগুলির জন্য দুর্বলতম মানদণ্ড ... নো-এক্সবিআরআর, নোবিএক্সআরআর, নো-বিবিএক্সআর, নো-বিবিআরএক্স, ন-এক্সআরবিবি, ন-আরএক্সবিবি ইত্যাদি 32 আমি লক্ষ করেছি যে মোট 12780 এর মধ্যে প্রতি 400 ম্যাট্রিকগুলিতে একজন সম্ভাব্য প্রার্থী রয়েছেন এবং পরীক্ষার্থীর সন্ধান করতে .95 ঘন্টা লাগে বা প্রতি 8 প্রতি 1 জন লাগে। 644 সেকেন্ড। এটি এগিয়ে আসছে, তবে আমি এটি পুরোপুরি কাজ করার মতো ... এটি প্রোগ্রাম করার আমার খুব বেশি সময় নেই। আমাদের একসাথে কাজ করা উচিত ... আমি 9 289.00 ব্যবহার করতে পারি!

— উইলিয়াম বোরিস
সূত্র

বিল গ্যাশার্ক কেবল 128 ডলার প্রদান করবে।

— উইলিয়াম বোরিস

সে সম্পর্কে দুঃখিত ... 272/2 বা 136 ডলার

— উইলিয়াম বোরিস

4

এটি প্রশ্নের উত্তর নয়। একটি মন্তব্য হিসাবে সেরা।

— সুরেশ ভেঙ্কট