ডিএফএ আকারের ফাংশন হিসাবে নিয়মিত ভাষায় সমতুল্য শ্রেণীর সংখ্যা

Question

এই প্রশ্নের একটি সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত সাম্প্রতিক প্রশ্ন দ্বারা Janoma ।

পটভূমি

বাধ্যতা প্রোগ্রামিং, একটি নিয়মিত বিশ্বব্যাপী বাধ্যতা $c$ একটি ডোমেইন উপর $D$ একজোড়া হয় $(s, M)$ সঙ্গে $s$ ভেরিয়েবল একটি tuple (স্কোপ) এবং $M$ একটি DFA তে ডোমেইন উপর $D$ । একটি কাজ $\theta$ থেকে $s$ সন্তুষ্ট $c$ যদি $M$ স্ট্রিং গ্রহণ $\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$ ।

নীচে, ধরে নিন যে ডোমেন $D$ স্থির হয়েছে। একটি সমানতা সম্পর্ক নির্ধারণ $\sim$ স্ট্রিং সেট উপর $T = D^{|s|}$যেমন $a \sim b$ যদি প্রতিটি ডিএফএ $M$ হয় $a, b \in L(M)$ বা $a, b \not\in L(M)$ । স্বজ্ঞাতভাবে, দুটি স্ট্রিং সমান হয় যদি কোনও ডিএফএ তাদের পার্থক্য করতে না পারে। যদি এটি সত্য হয়, তবে তারা একই নিয়মিত সীমাবদ্ধতাগুলিও পূরণ করে ।

আমরা কোন ভাবেই DFAs, তারপর সমানতা ক্লাস সেট সীমাবদ্ধ না থাকে তাহলে $T/{\sim}$ ঠিক হয় $T$ নিজেই। সমীকরণের ক্লাসের সংখ্যাতে আমি আগ্রহী। $\sim$ রাজ্যের সংখ্যা একটি ফাংশন হিসাবে $n$ যে আমরা DFA তে জন্য অনুমতি দেয়। স্পষ্টতই, যদি $n = |D|^{|s|}$(ধ্রুবক উপেক্ষা) তারপর $|T/{\sim}| = |T|$। (অবশ্যই, $n$ এখানে নিজেই $|s|$ একটি ফাংশন হবে ))

প্রশ্নাবলি

1. সবচেয়ে ছোট $n$ যার জন্য $|T/{\sim}| = |T|$?
2. এর নীচে কী ঘটে? নির্দিষ্টভাবে,
   • সেখানে একটা হল $n$ যেমন যে $|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$ ?
   • সেখানে একটা হল $n$ যেমন যে $|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$ ?

(এই প্রশ্নের জন্য আমার প্রেরণা করে একটি বহুপদী হচ্ছে $|s|^{|D|}$ ) এই মত সমানতা ক্লাস সংখ্যা আমাকে cardinality সীমাবদ্ধতার সঙ্গে বাধ্যতা সমস্যা সহজে টানা যায় এমন ক্ষেত্রে দিলেন। আমি এখন দেখার চেষ্টা করছি যে নিয়মিত সীমাবদ্ধতার জন্য এই লাইনের সাথে কিছু করা যায় কিনা।

সম্পাদনা : লক্ষণীয় এই উত্তরটি দ্বারা হারমান Gruber প্রশ্ন উপরের রেফারেন্সড হয়। কাগজের সীমানাগুলিতে উত্তর লিঙ্কগুলিতে এমন একটি $k$ পাওয়া যায় যা প্রশ্নের 1 এর উত্তর অবশ্যই $\geq k$ হতে হবে , তবে এটি আমার কাছে সুস্পষ্ট নয়।

Answer 1

প্রশ্ন 1 এর উত্তর,

সবচেয়ে ছোট $n$ যার জন্য $|T/{\sim}|=|T|$?

আমাদের

$$n=\max_{|w|=|x|=s,\\ w\ne x}\mathrm{sep}(w,x)$$ যেখানে$\mathrm{sep}(w,x)$যেকোন DFA মধ্যে রাজ্যের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এক কবুল করেন$w$এবং$x$, কিন্তু অন্যান্য না। $n$উপরের সর্বাধিক পরিচিত উপরেরআবদ্ধটিহ'ল (জেফ্রি শ্যালিটের কয়েকটি স্লাইডদেখুন)

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$

যা প্রাপ্ত ছিল

রবসন, জেএম , ছোট অটোমেটা , ইনফের সাহায্যে স্ট্রিং পৃথক করছে । প্রক্রিয়া। লেট। 30, নং 4, 209-214 (1989)। ZBL0666.68051 ।