ননডেটরিস্টিনিস্টিক টাইম শ্রেণিবিন্যাসে প্রাকৃতিক বিচ্ছেদ রয়েছে?

Question

আসল ননডিটারিস্টেমিক টাইম হায়ারার্কি উপপাদ্য কুকের কারণে (লিঙ্কটি এস কুকের, ননডেটেরিস্টেমিক টাইম জটিলতার জন্য একটি শ্রেণিবিন্যাস , জেএসএসএস 7 343–353, 1973)। উপপাদ্যটি বলে যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য এবং , যদি তবে এনটিটাইম ( ) NTIME ( ) তে কঠোরভাবে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে ।r 2 1 ≤ r 1$r_1$$r_2$$1 \le r_1 \lt r_2$ এন আর $n^{r_1}$$n^{r_2}$

প্রুফের একটি মূল অংশ ছোট শ্রেণীর উপাদানগুলির থেকে পৃথককারী ভাষা তৈরি করতে (একটি অনির্ধারিত) তির্যক ব্যবহার করে। এটি কেবল একটি অ-গঠনমূলক যুক্তিই নয়, তির্যক দ্বারা প্রাপ্ত ভাষাগুলি সাধারণত পৃথকীকরণ ছাড়া অন্য কোনও অন্তর্দৃষ্টি দেয় না।

আমরা যদি এনটিটাইম শ্রেণিবিন্যাসের কাঠামো বুঝতে চাই, নীচের প্রশ্নের সম্ভবত উত্তর দেওয়া দরকার:

এনটিটাইমে ( $n^{k+1}$ ) কোনও প্রাকৃতিক ভাষা আছে তবে এনটিটাইমে ( $n^k$ ) নেই?

একজন প্রার্থী কে-বিচ্ছিন্ন স্যাট হতে পারে , যার জন্য হামিং দূরত্বের কে-এর মধ্যে অন্য কোনও সমাধান ছাড়াই সিএনএফ সূত্রের সমাধান খুঁজে পাওয়া দরকার। যাইহোক, লোয়ার বাউন্ড প্রতিপাদন বলে মনে হয় হয় স্বাভাবিক হিসাবে, চতুর। স্পষ্টতই যে হামিং কে-বলটি পরীক্ষা করা সম্ভাব্য সমাধানগুলির পরিষ্কার "" উচিত $\Omega(n^k)$ বিভিন্ন অ্যাসাইনমেন্ট পরীক্ষা করা উচিত, তবে এটি প্রমাণ করার পক্ষে সহজ নয় । (দ্রষ্টব্য: রায়ান উইলিয়ামস $k$ বিসর্জনযুক্ত স্যাটকে এই নিম্ন সীমানাটি নির্দেশ করে আসলে পি ≠ এনপি প্রমাণ করবে, সুতরাং এই সমস্যাটি সঠিক প্রার্থী বলে মনে হয় না।)

নোট করুন যে উপপাদ্যটি বনাম এনপি এর মতো অপ্রস্তুত বিচ্ছিন্নতা নির্বিশেষে নিঃশর্তভাবে ধারণ করেছে। উপরে k -ISOLATED SAT এর মতো অতিরিক্ত সম্পত্তি$k$ না থাকলে এই প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর তাই পি বনাম এনপি সমাধান করবে না । এনটিটাইমের একটি প্রাকৃতিক বিভাজন সম্ভবত এনপির "কঠিন" আচরণের অংশটি আলোকিত করতে সহায়তা করবে, সেই অংশটি যা কঠোরতার সীমাহীন ক্রমবর্ধমান ক্রম থেকে তার অসুবিধা অর্জন করে।

যেহেতু নিম্ন সীমানা শক্ত, তাই আমি একটি উত্তর প্রাকৃতিক ভাষা হিসাবে গ্রহণ করব যার জন্য আমাদের কাছে নিম্ন সীমাটি বিশ্বাস করার উপযুক্ত কারণ থাকতে পারে, যদিও এখনও প্রমাণ থাকতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি এই প্রশ্নটি টাইমটাইম সম্পর্কে হত, তবে আমি একটি (কম ) ফ - এক্স ( x ) ∈ Θ ( x ) -র জন্য একটি কম-হ্রাস ফাংশনের জন্য $f(k)$ -CLIQUE গ্রহণ করতাম, সম্ভবত প্রয়োজনীয় বিচ্ছেদগুলি সরবরাহ করে, Razborov এবং Rossman এর সার্কিট নিম্ন সীমা এবং এর উপর ভিত্তি করে এন 1 - ε চক্রের -inapproximability।$f(x) \in \Theta(x)$$n^{1-\epsilon}$

(কাভেহের মন্তব্য এবং রায়ের উত্তর সম্বোধন করার জন্য সম্পাদিত))

Comments

এটি একটি ঝরঝরে প্রশ্ন, আন্দ্রেস

— সুরেশ ভেঙ্কট

স্টিফেন কুক লিনিয়ার প্রোগ্রামিংকে সম্ভাব্য বিভাজক হিসাবে প্রস্তাব করেছিলেন । $k=2$

— আন্দ্রেস সালামন

আপনি কি দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারবেন "ননসিস্ট্রাক্টিভ আর্গুমেন্ট" বলতে কী বোঝ? তির্যক ব্যবহারের সাথে প্রমাণ হিসাবে অ-গঠনমূলক হতে হবে না be

— কাভেহ

Answer 1

আমি যতদূর জানি, আমরা এই জাতীয় ভাষা জানি না, বা যদি করি তবে সেগুলির "স্বাভাবিকতা" সম্পর্কে উল্লেখযোগ্য বিতর্ক রয়েছে। আমি জানি এটি সত্যই সন্তোষজনক উত্তর নয়, তবে আমি বলতে পারি:

(ক) আপনি যদি প্রতিটি কে -কে বিচ্ছিন্ন স্যাটের জন্য কোনও সময়সীমার প্রমাণ করে থাকেন তবে আপনি প্রকৃতপক্ষে পি ≠ এন পি প্রমাণ করেছেন ।$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

(খ) ওয়ান ওয়ে আপনাকে দেখাতে হবে যে K-বিচ্ছিন্ন স্যাট এই প্রাকৃতিক সমস্যার অন্যতম আশা পারে দেখানোর জন্য যে K-বিচ্ছিন্ন এন টি আই এম ই ই [ এন কে ] এর জন্য স্যাট সমস্যাটি (সাধারণভাবে দক্ষ কমানোর আনুষ্ঠানিক অর্থে) শক্ত । প্রকৃতপক্ষে এই জাতীয় ফলাফলটি কীভাবে প্রমাণ করতে হয় তা আমরা একমাত্র উপায়। তবে কে-বিচ্ছিন্ন স্যাট সম্ভবত এই অর্থে শক্ত নয়, এর খুব সম্ভাব্য কিছু পরিণতি রয়েছে।$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

প্রধান কারণ যে K-বিচ্ছিন্ন স্যাট স্থানেই সমাধেয় হয় স্বাধীনভাবে, ট । আপনি বিচ্ছিন্ন অ্যাসাইনমেন্টটি অস্তিত্বের সাথে অনুমান করতে পারেন, তারপরে সর্বজনীন যাচাই করুন (সমস্ত ও ( লগ ( ∑ k i = 1 ($\Sigma_2 TIME[n]$$k$অ্যাসাইনমেন্টেকে বিবিটগুলিফ্লিপ করার উপায়গুলি) যে অন্য কোনও "স্থানীয়" অ্যাসাইনমেন্ট কাজ করে না।$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

এখানে অংশ (ক) এর প্রমাণ। বিচ্ছিন্ন স্যাট সঙ্গে সমস্যা সংস্করণ হতে দিন ইনপুট অংশ হিসেবে দেওয়া (ইউনারী মধ্যে, বলতে)। ধরা যাক আমরা প্রমাণ করি যে বিচ্ছিন্ন স্যাটকে সমস্ত কে-এর জন্য Ω ( n কে ) সময় প্রয়োজন । যদি পি = এন পি , তারপর Σ 2 টি আমি এম ই [ এন ] হয় টি আমি এম ই [ এন গ ] কিছু সংশোধন করা হয়েছে জন্য গ (প্রমাণ কুকের উপপাদ্য একজন দক্ষ সংস্করণ ব্যবহার করে: একটি স্যাট অ্যালগরিদম সময় চলমান আছে যদি n $k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$, তারপরে যে কোনও পর্যাপ্ত)। কিন্তু আমরা প্রমাণ সেখানে একটি ভাষা যে Σ 2 টি আমি এম ই [ এন ] যে না এ টি আমি এম ই [ এন ট ] প্রত্যেক জন্য ট । এটি একটি বৈপরীত্য, সুতরাং পি ≠ এন পি ।$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$$P \neq NP$

$L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$. This would immediately imply $coNP \neq NP$, but moreover it just looks very unlikely that all of $NP$ can be simulated so efficiently within the polynomial hierarchy.

Comments

Thank you for the neat argument showing k-ISOLATED SAT is not going to do the job.

— András Salamon