টমিং মেশিন সংরক্ষণের

Question

কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের সাম্প্রতিক কিছু থ্রেড ( এখানে , এখানে , এবং এখানে ) পড়া, আমাকে কিছু ধরণের নাম সংরক্ষণকারী মেশিনের শক্তি সম্পর্কে একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন মনে করতে বাধ্য করে।$\ell_p$

কোয়ান্টাম জটিলতায় জটিলতার তত্ত্বে কাজ করা লোকদের জন্য একটি দুর্দান্ত সূচনা পাঠ্য হ'ল ফোর্তনোর কাগজ যা লিঙ্কটি এখানে জোশুয়া গ্রোচ পোস্ট করেছিলেন । সেই কাগজে, কোয়ান্টাম টুরিং মেশিনকে একটি সাধারণিকৃত সম্ভাব্য ট্যুরিং মেশিন হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। মূলত, সম্ভাব্য মেশিন একটি রাষ্ট্র আছে অধীনে স্বাভাবিক ℓ 1 -norm, অর্থাত্ ∥ গুলি ∥ 1 = 1 । মেশিনের সময় বিবর্তন একটি স্টোকাস্টিক ম্যাট্রিক্স পি প্রয়োগ করে দেওয়া হয় যেমন ∥ পি এস ∥ 1 = 1 , অর্থাৎ পি সংরক্ষণ করে$s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$ -Norm। তাই সময়ে রাষ্ট্র টন হয় পি টি গুলি (স্বরলিপি সুনির্দিষ্ট নাও হতে পারে, কারণ বাম বা ডান গুণ পি যদি উপর নির্ভর করে গুলি একটি সারি বা কলাম ভেক্টর বা সারি বা কলাম পি আদর্শ সংরক্ষণের subspaces হয়)। তাই এই অর্থে সম্ভাব্য টুরিং মেশিন একটি হল ℓ 1 -norm সংরক্ষণের মেশিন প্রকাশ এম ℓ 1 ।$\ell_1$$t$$P^ts$$P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

তারপর একটি কোয়ান্টাম টুরিং মেশিন একটি রাষ্ট্র থাকার হিসেবে দেখা যেতে পারে সঙ্গে ∥ গুলি ∥ 2 = 1 এবং ঐকিক ম্যাট্রিক্স পি (যে সংরক্ষণ ℓ 2 -norms) যেমন যে পি টি গুলি সময়ে রাষ্ট্র টন যেখানে ∥ পি টি গুলি ∥ 2 = 1 । এটি একটি ℓ 2- সাধারণ সংরক্ষণের মেশিন যা এম ℓ 2 নির্দেশিত ।$s$$\parallel s\parallel_2=1$$P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

সাধারণভাবে একটি নাম সংরক্ষণকারী মেশিনকে এম ℓ পি দ্বারা বোঝানো উচিত ।$\ell_p$$M^{\ell_p}$

সুতরাং আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

(1) সীমাবদ্ধ পি এর জন্য নাম সংরক্ষণের মেশিনগুলির শক্তি কী ? আরো আনুষ্ঠানিকভাবে, আমরা যে প্রমাণ করতে পারেন কোনো দেওয়া পি এবং কুই , যদি কুই > পি তারপর একটি ভাষা বিদ্যমান এল ও মেশিন এম ℓ কুই যেমন যে এম ℓ কুই দক্ষতার সিদ্ধান্ত নেয় এল এবং কোন মেশিন এম ℓ পি যে দক্ষতার সিদ্ধান্ত নেয় এল । উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রশ্নের সাধারণীকরণ হতে পারে, এন পি ⊆ বি কিউ পি ?.$\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(২) সম্পর্কে কী ? এখানে রাষ্ট্র ভেক্টরের উপাদানগুলির সর্বাধিক মান 1।$p=\infty$

(3) এই প্রশ্নগুলি একতাবদ্ধতার বাইরে চলে গেছে সুতরাং কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সাথে এটি একমত হওয়ার আশা করা যায় না। সাধারণভাবে, আপনি যদি অপারেশনে একতাবদ্ধতা নিষেধাজ্ঞাকে শিথিল করেন তবে গণনার সাথে কী ঘটে? লিনিয়ার অপারেটরদের অনুমতি দেওয়ার বিষয়ে কাজ রয়েছে (দেখুন অ্যারোনসন 2005 )।

(4) সম্ভবত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, এটি কি সর্বজনীন? আমি মনে করি এটি পরিষ্কার, কারণ নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে এটি সর্বজনীন। কিন্তু সার্বজনীনতার সাথে কী ঘটে যখন ?$p=\infty$

Comments

স্কট অ্যারনসনের একটি খুব আকর্ষণীয় কাগজ: কোয়ান্টাম মেকানিক্স কি থিওরিস্পেসে একটি দ্বীপ? scottaaronson.com

— ইতো

স্যুওশি, আপনি কি এটিকে উত্তরে পরিণত করতে পারেন? মনে হচ্ছে স্কট সরাসরি মার্কোসের প্রশ্নে সম্বোধন করছেন। গবেষণাপত্রের 5 নম্বরে দেখুন ...

— রায়ান উইলিয়ামস

এটি এখনও পুরোপুরি পড়া হয়নি, তবে এটি উপরে (1) এবং (3) প্রশ্নের উত্তর বলে মনে হচ্ছে।

— মার্কোস ভিলাগ্রা

@ রায়ান: হয়ে গেছে। পরের বার, দয়া করে নামের আগে একটি স্বাক্ষর যোগ করুন যাতে এটি "প্রতিক্রিয়াগুলি" পৃষ্ঠাতে উপস্থিত হয়।

— Tsuyoshi Ito

Answer 1

এটি প্রশ্নের সম্পূর্ণ উত্তর নয়, তবে মন্তব্য হিসাবে লিখতে এটি অনেক দীর্ঘ। এটি আমার আগের মন্তব্যটি প্রসারিত করে।

স্কোয়াট আ্যারনসন একটি মজাদার গবেষণাপত্র [অ্যার04] দ্বারা "কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অট্টালিকাগুলি যদি একটু সংশোধন করা হয় তবে গণনার ক্ষেত্রে কী হবে?" এই প্রশ্নটি উত্সাহিত করে। আমি বিশ্বাস করি যে আপনার প্রশ্নগুলির মূল উত্তর [আআর ৪৪] এর ২ নং বিভাগের প্রথমার্ধে দেওয়া হয়েছে।

অ্যারনসন দেখায় যে পি> 0 এবং পি 2,, তবে একটি ম্যাট্রিক্স যা সমস্ত ভেক্টরগুলির জন্য পি-আদর্শকে সংরক্ষণ করে তা অগত্যা একটি সাধারণীকৃত পারমিউশন ম্যাট্রিক্স (একটি ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স এবং একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের পণ্য)। তিনি বলেছেন যে একই ক্ষেত্রে পি = ∞ ক্ষেত্রে রয়েছে ∞ এগুলি উভয়ই ℝ এবং বেশি both উভয়ের জন্য ধরে রাখে ℂ নোট করুন যে এতে পি = 1 এর কেস অন্তর্ভুক্ত রয়েছে: স্টোকাস্টিক ম্যাট্রিকগুলি ননেজেটিভ ভেক্টরগুলির জন্য 1-আদর্শ সংরক্ষণ করে তবে সাধারণভাবে সমস্ত ভেক্টরদের জন্য নয়।

আমি অনুমান করি যে [ফোর০০] -এর মতো জেনারেলাইজড প্রোব্যাবিলিস্টিক ট্যুরিং মেশিনের গ্লোবাল ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স হিসাবে সাধারণীকরণের ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স কেবলমাত্র যদি এটি একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক ট্যুরিং মেশিন হয় তবে আমার হাতে প্রমাণ নেই।

অ্যারনসন কাগজে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অ্যালভিওসের আরও কয়েকটি পরিবর্তন নিয়ে আলোচনা করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি পরিমাপের নিয়ম পরিবর্তন করি (অনুমোদিত গেটগুলির সেটের পরিবর্তে) যাতে ফলাফল x সম্ভাব্যতার সাথে ঘটে | _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , যেখানে α _y হল | y⟩ এর প্রশস্ততা, তারপরে এই "কোয়ান্টাম কম্পিউটার" পিপি 2 এর কোনও সমস্যা সমাধান করতে পারে (এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সহ) পি = 2 (প্রস্তাব 5) ব্যতীত।

তথ্যসূত্র

[আর04] স্কট অ্যারনসন। কোয়ান্টাম মেকানিক্স কি থিওরিস্পেসের একটি দ্বীপ? ভক্সজা সম্মেলনের কার্যক্রমে "কোয়ান্টাম তত্ত্ব: ফাউন্ডেশনের পুনর্বিবেচনা," 2004. আরএক্সিভিও: কোয়ান্ট-পিএইচ / 0401062 ভি 2।

[For00] ল্যান্স ফোর্তনো। কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের ক্ষেত্রে একটি জটিলতা তাত্ত্বিকের দৃষ্টিভঙ্গি। কম্পিউটিংয়ে: অস্ট্রেলাসিয়ান থিওরি সিম্পোসিয়াম (CATS 2000), পৃষ্ঠা 58–72, জানুয়ারী 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

Comments

আমার কাছে এটি প্রশস্ততা বর্গ কেন এবং 4-তম বা উচ্চতর শক্তি নয় কেন তার সর্বোত্তম ন্যায়সঙ্গততা। আমি যখন প্রথম QM শিখছিলাম এবং বর্গক্ষেত্রের পছন্দটি এত স্বেচ্ছাচারী বলে মনে হয়েছিল তখন আমি এই ধরণের ফলাফলগুলি সম্পর্কে জানতাম।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

Answer 2

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$