আমরা কি স্থানান্তরিত অর্ডিনালে অন্তর্ভুক্ত করে সিস্টেম এফের জন্য দুর্বল স্বাভাবিককরণ প্রমাণ করতে পারি?

Question

সাধারণ টাইপযুক্ত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের জন্য দুর্বল স্বাভাবিককরণকে অন্তর্ভুক্ত করে প্রমাণ করা যায় (টুরিং) । স্বাভাবিক সংখ্যার উপর recursors সহ একটি বর্ধিত ল্যামডা ক্যালকুলাস (Gentzen) আনয়ন করে একটি দুর্বল নিয়মমাফিককরণ কৌশল রয়েছে ε 0 ।$\omega^2$$\epsilon_0$

সিস্টেম এফ (বা দুর্বল) সম্পর্কে কী? এই শৈলীতে কি কোনও দুর্বল স্বাভাবিকতার প্রমাণ রয়েছে? তা না হলে কি আদৌ করা যায়?

Comments

এটি সম্ভবত মন্তব্য করতে কার্যকর হবে যে পর্যাপ্ত মত প্রকাশের সাথে প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ (গণনাযোগ্য) তত্ত্বের মধ্যে একটি "প্রুফ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সবচেয়ে কম সংক্ষিপ্ত আর্টিনাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত থাকে যা প্রদত্ত তত্ত্বটিতে প্রমাণিতভাবে প্রতিষ্ঠিত নয়। কৌশলটি "প্রাকৃতিক" উপায়ে সেই অর্ডিনালটিকে বর্ণনা করছে। $\omega_{\mathrm{CK}}$

— কোডি

Answer 1

গঠনমূলক প্রমাণ তত্ত্ব (যা গঠনমূলক অর্ডিনালগুলির তত্ত্বের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে আবদ্ধ) এবং দ্বিতীয়-আদেশের অবিশ্বাস্য গাণিতিক (যা উলরিক পয়েন্ট হিসাবে সিস্টেম এফ এর শক্তির সমতুল্য) এর মধ্যে সম্পর্কের সর্বাধিক বিস্তৃত জরিপ (1988)। সেখানে তিনি তার প্রসারণের তত্ত্বটি তৈরি করেছেন (1981), যা আমি সত্যিই অনুসরণ করি না, তবে আমি মনে করি মূলত উচ্চ-আদেশের স্কোলাইমাইজেশন সম্পর্কিত একটি নন-কনস্ট্রাকটিভ তত্ত্ব সরবরাহ করে।

আমার বোধগম্যতা হল আপনি বিশপ-মার্টিন-লফ অর্থে গঠনমূলকভাবে সূত্রগুলি প্রকাশ করতে পারবেন না , কারণ এগুলি অনুমানমূলক যে কোনও উপায়ে প্রথম অর্ডার আবেশন প্রকল্পটি যুক্ত করে আপনি মুছে ফেলতে পারবেন না।$\Sigma^1_2$

আমার মনে আছে একটি অর্ডিনাল তাত্ত্বিককে পরামর্শ দেওয়া যে আপনি কেবল এই শর্ত দিয়েছিলেন যে আপনি পলিমারফিক ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের উপর ভিত্তি করে টাইপ থিওরিতে একটি অবিশ্বাস্য গঠনমূলক ভিত্তি তৈরি করতে পারেন এবং সিস্টেম এফের জন্য জিরার্ডের এসএন প্রমাণ থেকে হ্রাস প্রার্থী কৌশলটি যুক্তিসঙ্গত মোট অর্ডার আরোপের জন্য ব্যবহার করতে পারেন। নির্মাণের মহাবিশ্ব, আপনি এই অধ্যাদেশগুলি থেকে প্রাপ্ত সমতুল্য ক্লাসগুলিকে কল করছেন; তিনি বলেছিলেন যে বুদ্ধিমান কিছু যা আমি এই বলেছিলাম যে আপনি এটি কাজ করতে পারেন, তবে এতে সততার পরিশ্রমের চেয়ে চুরির সমস্ত সুবিধা থাকতে পারে। এটি কাজ করতে, এটি যথেষ্ট ভাল নয় যে আপনি সেট তত্ত্বে এই জাতীয় অধ্যাদেশের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে পারেন, আদেশের জন্য আপনার ট্রাইকোটমির গঠনমূলক প্রমাণের প্রয়োজন হবে।

সারসংক্ষেপে, বিশপ-মার্টিন-লফের কারণে স্বজ্ঞাত নির্মাণের নিয়মিত ধারণাটি সহ, আমি যে সাহিত্যের বিষয়ে জানি তা দৃ no়ভাবে কোনওরকম প্রস্তাব দেয় না। আপনি যদি সৎ পরিশ্রমের প্রতিরোধ করেন এবং একটি অবিশ্বাস্য গঠনবাদবাদ গ্রহণ করেন তবে আমার ধারণাটি সম্ভবত এটি করা যেতে পারে। আপনার, স্বাভাবিকভাবেই, একটি শক্তিশালী তত্ত্বের প্রয়োজন হবে যা সিস্টেম এফ গঠনমূলকভাবে প্রয়োজনীয় ট্রাইকোটোমি প্রমাণ করতে পারে তবে ইন্ডুকটিভ কনস্ট্রাকশনস এর ক্যালকুলাস একটি সুস্পষ্ট প্রার্থী সরবরাহ করে।

তথ্যসূত্র

1. জিরাার্ড , জিন-ইয়ভেস (1981), লোগিক। আই ডিলিটরস, গাণিতিক যুক্তির অ্যানালস 21 (2): 75–219।$\Pi^1_2$
2. জিরার্ড (1989) প্রুফ থিওরি এবং লজিকাল জটিলতা, খণ্ড। আমি , নেপোলি: বিবলিওপলিস। দ্বিতীয় খণ্ড নেই।

Answer 2

$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

আশা করা যায় যে একদিন কেউ দ্বিতীয় আদেশ গাণিতিকের জন্য একটি সাধারন স্বরলিপি নিয়ে আসবে যে প্রত্যেকে স্বীকার করবে এটি প্রাকৃতিক, এবং তারপরে এটি সিস্টেম এফ এর জন্য দুর্বল স্বাভাবিককরণ প্রমাণ করার জন্য একটি সৎ উপায়ে ব্যবহার করা যেতে পারে fully

Answer 3

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

তদুপরি, আমি মনে করি দ্বিতীয় আদেশের গাণিতিকগুলি যথেষ্ট শক্তিশালী এবং কোনও গঠনমূলক উপরের গণ্ডি এখনও তার "প্রুফ তাত্ত্বিক অর্ডিনাল" ( অর্ডিনাল বিশ্লেষণের শিল্প, বিভাগ 3 ) এর জন্য পরিচিত নেই।

আমি মনে করি এই গঠনমূলক অর্ডিনাল বাউন্ডটি আপনার অনুরোধ প্রবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয়।