একমুখী ফাংশনগুলির অস্তিত্বের পক্ষে যুক্তি

Question

আমি বেশ কয়েকটি গবেষণাপত্রে পড়েছি যে ওয়ান-ওয়ে ফাংশনের অস্তিত্ব ব্যাপকভাবে বিশ্বাসযোগ্য। কেন কেউ এই বিষয়ে আলোকপাত করতে পারে? ওয়ান-ওয়ে ফাংশনগুলির অস্তিত্বকে সমর্থন করার জন্য আমাদের কী যুক্তি রয়েছে?

Comments

আমি এটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর বলে মনে করি যে অনেকগুলি কাগজপত্রে বলা হয় যে একদিকের ফাংশনগুলির অস্তিত্ব বিস্তৃতভাবে বিশ্বাস করা হয় যেহেতু এখন পর্যন্ত আমাদের তাদের অস্তিত্বের পক্ষে কোনও দৃ argument় যুক্তি নেই। "একমুখী ফাংশনগুলির অস্তিত্বটি বিশেষজ্ঞদের মধ্যে একটি উপলব্ধিযোগ্য ধারণা হিসাবে ব্যাপকভাবে গৃহীত হয়েছে যা অনুশীলনের সাথে আমাদের অভিজ্ঞতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং বর্তমান জ্ঞানের বর্তমান অবস্থা" আরও উপযুক্ত এবং সম-হস্তযুক্ত।

Answer 1

এখানে একটি যুক্তি যে একমুখী ফাংশনগুলি উল্টানো শক্ত হওয়া উচিত। মনে করুন রোপিত সমাধানগুলির সাথে 3-স্যাট সমস্যা রয়েছে যা সমাধান করা শক্ত। নিম্নলিখিত মানচিত্র বিবেচনা করুন:

$$(x, r) \rightarrow s$$

যেখানে বিট কোনো স্ট্রিং, দ বিট একটি স্ট্রিং (এইসব একটি র্যান্ডম সংখ্যা উত্পাদক বীজ ব্যবহার করতে পারে, অথবা আপনি আপনার প্রয়োজন অনেক র্যান্ডম বিট হিসাবে জন্য অনুরোধ করতে পারেন) এবং গুলি একটি হল ট -SAT থাকার সমস্যা এক্স যেমন একটি রোপণ সমাধান, যেখানে এলোমেলো সংখ্যা জেনারেটর নির্ধারণ করে যে আপনি কোন কে- এসএটি সমস্যাটি বেছে নিয়েছেন। এই ওয়ান-ওয়ে ফাংশনটি উল্টাতে , আপনাকে একটি রোপণযুক্ত সমাধান সহ কে- এস্যাট সমস্যা সমাধান করতে হবে।$x$$r$$s$$k$$x$$k$$k$

এই যুক্তি দেখায় যে একমুখী ফাংশনটি উল্টো করা রোপিত সমাধানগুলির সাথে এসএটি সমস্যা সমাধানের মতোই শক্ত । এবং যেহেতু কে- এসএটি একটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা, আপনি যদি কোনও এনপি সমস্যার সমাধানের জন্য কীভাবে শক্ত উদাহরণ তৈরি করতে পারেন তা নির্ধারণ করতে পারেন, আপনি কে- এসএটি সূত্রে সমাধানগুলি রোপণ করতে পারেন ।$k$$k$$k$

এটি প্রমাণিত হয়নি যে উদ্ভিদযুক্ত সমাধানগুলির সাথে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলির এক শ্রেণীর সাথে আসা সম্ভব যেগুলি নির্বিচারে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার মতোই শক্ত (এবং এটি সত্য হলেও এটি প্রমাণ করাও অবিশ্বাস্যরকম কঠিন হতে পারে) , তবে লোকেদের অবশ্যই এসএটি সমস্যার সমাধানগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা বর্তমানে জানেন knows$k$

সংযুক্ত: আমি এখন বুঝতে পারি যে এই সংযোগটি ইতিমধ্যে আবাদি, অ্যালেন্ডার, ব্রোডার, ফিজেনবাউম এবং হেমাচন্দ্রে দেওয়া হয়েছিল (আরও বিশদে) ; তারা নির্দেশ করে যে একমুখী ফাংশনগুলি SAT এর শক্ত উদাহরণগুলি দিতে পারে এবং এর বিপরীতে।

এটিকে আরও অনানুষ্ঠানিক ভাষায় রেখে, একমুখী ফাংশনের অস্তিত্ব দেখায় যে সত্যই শক্ত ধাঁধা বিদ্যমান না। যদি কোনও ধরণের ধাঁধা থাকে যেখানে কেউ ধাঁধা এবং এর সমাধান আলগোরিদিমিকভাবে উভয়ই নিয়ে আসতে পারে, তবে ধাঁধাটির সমাধান অনুসন্ধানের জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদমও রয়েছে। এটি আমার কাছে খুব পাল্টা স্বজ্ঞাত বলে মনে হচ্ছে। অবশ্যই, একটি বহুপদী ফাঁক থাকতে পারে; এটি এমন সমস্যা হতে পারে যে ধাঁধাটি তৈরি করতে যদি পদক্ষেপ নেওয়া হয়, তবে এটি সমাধানের ফলে ও ( এন 3 ) পদক্ষেপ নেওয়া যেতে পারে । যাইহোক, আমার অন্তর্নিহিততা বলে যে একটি অতি-সাম্প্রতিক ব্যবধান থাকতে হবে। $n$$O(n^3)$

Comments

এটি কি শেষ পর্যন্ত সাদেকের মত একই যুক্তি নয়, এই অর্থে যে উভয়ই এমন কিছু সমস্যার উপর নির্ভর করে যা বর্তমানে প্রচুর প্রচেষ্টা সত্ত্বেও কীভাবে সমাধান করা যায় তা কেউ জানে না?

— Tsuyoshi Ito

@ সাদেক: আপনি এই যুক্তির জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত র্যান্ডম বিটগুলি অ্যালগরিদম দিতে পারেন; আপনার সত্যিই কোনও পিআরজি লাগবে না, এবং অবশ্যই কোনও ক্রিপ্টোগ্রাফিক দিক থেকে শক্তিশালী নয়।

— পিটার শর

@ শুয়োশি: আমি মনে করি যে উদ্ভিদযুক্ত সমাধানগুলির সাথে এনপি সমস্যাগুলির শক্ত পরিস্থিতি তৈরি করা ফ্যাক্টরিং বা পৃথক লগের চেয়ে কিছুটা সাধারণ is একটি জিনিসের জন্য, এটি বিকিউপিতে থাকার কথা জানা যায় না।

— পিটার শর

@ শুয়োশি: আমি আলাদা পদ্ধতি দেখতে পছন্দ করব; দুর্ভাগ্যক্রমে, আমার একটা নেই তবে এর অর্থ হ'ল সত্যিকারের হার্ড ধাঁধাটি থাকতে পারে না; যদি কোনও ধরণের ধাঁধা থাকে যেখানে কেউ ধাঁধা এবং এর সমাধান আলগোরিদিমিকভাবে আসতে পারে তবে ধাঁধাটি সমাধান করার জন্য একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদমও রয়েছে। এটি আমার কাছে খুব পাল্টা স্বজ্ঞাত বলে মনে হচ্ছে।

— পিটার শর

@ শুয়োশি: আমার মনে হয় পিটারের বক্তব্যটি ওডব্লিউএফ-এর পক্ষে কেবল দু'জন প্রার্থী নেই; প্রার্থীরা অত্যন্ত প্রচুর এবং প্রায় তুচ্ছ হিসাবে আসতে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি এনআইএসটি-এর এসএএএ -3 প্রতিযোগিতার আশেপাশের কাজটির দিকে নজর দেন তবে ওডাব্লুএফগুলি তৈরি করা "সহজ" বলে মনে হয় এবং লোকেদের বেশিরভাগই সুপারফিট ওডাব্লুএফ ডিজাইনের সাথে সংশ্লিষ্ট যারা এখনও সুরক্ষার খুব কড়া ধারণাটি পূরণ করে।

— টিমোথি চৌ চৌ

Answer 2

আমি একটি সংক্ষিপ্ত উত্তর দেব: ফ্যাক্টরিং বা ডিস্ক্রেট লোগের মতো আপাতদৃষ্টিতে-কঠিন সমস্যার অস্তিত্ব তাত্ত্বিকদের বিশ্বাস করে যে ওডাব্লুএফের অস্তিত্ব রয়েছে। বিশেষত, তারা কয়েক দশক ধরে (১৯ 1970০ এর দশক) এ জাতীয় সমস্যার জন্য দক্ষ (সম্ভাব্য বহুবর্ষ-সময়) অ্যালগরিদমগুলি খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করেছিলেন, কিন্তু কোনও প্রচেষ্টা সফল হয়নি। এই যুক্তিটি কেন বেশিরভাগ গবেষককে বিশ্বাস করে যে পি ≠ এনপি to

Comments

এই বিশ্বাস সম্পর্কে আমি যা পছন্দ করি না তা হ'ল উভয় সমস্যাই বিকিউপি-তে রয়েছে, সুতরাং যদি সেগুলি সত্যই একমুখী হয় এবং কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলি ব্যবহারিক বলে প্রমাণিত হয়, তবে ওয়ান-ওয়ে ফাংশনটির সংজ্ঞা পরিবর্তন করা উচিত (কোয়ান্টাম পলি প্রতিরোধের জন্য) -কালীন বিরোধীরা কেবল এলোমেলো পরিবর্তে)। আপনি কি সেই অর্থে শক্তিশালী একমুখী কার্যের জন্য কোনও প্রার্থীকে জানেন? তাদের উপপাদ্যে এমন এক ধরণের শক্তিশালী ওয়ানওয়ে ফাংশনের প্রার্থী রয়েছে যা রাজবোরোভ-রুডিচকে ধরে নিয়েছে?

— দিয়েগো ডি এস্ট্রাদ

আমার প্রথম প্রশ্নের উত্তর: dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2007.03.013

— দিয়েগো ডি

অর্থাৎ এই সমস্যাগুলির জন্য কেউ এখনও ভাঙেনি সে ব্যতীত আমাদের পক্ষে আর কোন যুক্তি নেই। এটি খুব সপ্তাহের যুক্তি। একই লাইনের পাশাপাশি, আমরা এখনও সমাধান না করে এমন কোনও কিছুর কঠোরতায় বিশ্বাস করব। আমরা বলতে পারি যে এটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয় যে ফ্যাক্টরিং কিন্তু আমি যে কেউ দাবি দেখা যায় না। ওডাব্লুএফ-এর অস্তিত্বকে ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করার আরও কিছু কারণ থাকতে হবে। পি বনাম এনপি এরসাথে তুলনাটিন্যায্য নয়। অনেক প্রাকৃতিক সমতুল্য এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা রয়েছে। $DTIME(\exp(n^{1/4}))$

— বেনামে

ওয়ান-ওয়ে ফাংশন কেন বিদ্যমান তার চেয়ে আরও ভাল যুক্তি থাকতে হবে যে আমরা একগুচ্ছ ফাংশন জানি যা আমরা কীভাবে উল্টে ফেলতে জানি না। আমি যদি একটি সাথে আসতে পারি কিনা দেখব।

— পিটার শর

@Anonymous Re: "ব্যাপকভাবে বিশ্বাস [সিক] যে ফ্যাক্টরিং নেই " আপনি বিযুক্ত লগ সাম্প্রতিক উন্নতি খুঁজে বার করো পারে:eprint.iacr.org/ 2013/400(eprint.iacr.org/2013/095অনুসরণকরছেন)। $DTIME(exp(n^{1/4}))$

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 3

সাশোর যুক্তি চিরন্তন পি = এনপি সমস্যার উপর নির্ভর করে যার জন্য বর্তমানে কোনও sensক্যমত্য বিদ্যমান নেই।

যাইহোক, আমরা যদি সি শ্যাননের এককালীন প্যাডের ক্রিপ্টনালাইসিস অনুসরণ করি, যা 1947 সালে ডেস্ক্লিফিক করা হয়, তা হ'ল: ওয়ান টাইম প্যাড ব্যতীত আর কোনও গাণিতিক সুরক্ষিত এনক্রিপশন অ্যালগরিদম নেই। তাঁর যুক্তি এই ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে যে, যদি আমাদের কাছে এবং সত্যিকারের এনক্রিপ্ট করার জন্য কিছু ক্রম, s 1 , s 2 , s 3 , … , s এর র্যান্ডম ক্রম থাকে এন , আমরা নীচে এনক্রিপ্ট করব:$r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n$$s_1,s_2,s_3,\ldots,s_n$

$f(r_i,s_i) = r_i \oplus s_i = c_i$

যদি ক্রমটি সত্যই এলোমেলো হয়, আমরা f - 1 ( r i , s i ) গণনা করার চেষ্টা করব$f^{-1}(r_i,s_i)$ এবং ফলাফলটি তখন হবে যে সমস্ত ক্রমগুলি একচেটিয়াযোগ্য।

আমরা ওয়ান-ওয়ে ফাংশনের জন্য শ্যাননের ফলাফল অনুকরণ করতে পারি।

ফাংশন মানচিত্র এবং বিপরীত ফাংশন মানচিত্র চ : জেড / এন জেড → জেড / এন জেড × জেড / এন জেড ।$f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

ক্যাচটি হ'ল আমরা জানি না যে সত্যিকারের এলোমেলো সংখ্যার অস্তিত্ব আছে কি না কারণ প্রশ্নটি "Godশ্বর ডাইস খেলেন না" সম্পর্কে আইনস্টাইনের মন্তব্যের সমতুল্য।

যাইহোক, সমস্ত উদ্দেশ্যে, একটি শারীরিক প্রক্রিয়া উপর ভিত্তি করে একটি এলোমেলো সংখ্যা জেনারেটর বিশেষজ্ঞরা যথেষ্ট এলোমেলো বিবেচনা করে।

এটি বলেছে, যে মুহুর্তে আমরা বিপরীত হওয়ার চেষ্টা করছি , অর্থাৎ এলোমেলো সংখ্যাগুলি আর গোপন নয়, বিপরীতটি তুচ্ছ।$(c_i,r_i)$

তদুপরি, এই ওয়ান-ওয়ে ফাংশনটিতে সংঘর্ষ-প্রতিরোধের মতো সর্বাধিক ক্রিপ্টোগ্রাফিক-সুরক্ষিত হ্যাশিং ফাংশনগুলির দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য নেই। তদুপরি, আমাদের এমন পরিস্থিতি রয়েছে যে । এর অর্থ হ'ল একই মান s কে দুটি পৃথক মানকে হ্যাশ করে। এবং f ( r i , s i ) = f ( r j , s j ) সাধারণ।$f(r_i,s_k)\neq f(r_j,s_k)$$s_k$$f(r_i,s_i) = f(r_j,s_j)$

Comments

শ্যাননের ফলাফল তথ্য-তাত্ত্বিক সুরক্ষা সম্পর্কে (যেখানে প্রতিপক্ষের কাছে সীমাহীন গণনার শক্তি রয়েছে)। প্রশ্নটি যা জিজ্ঞাসা করছে তা নয়। প্রশ্নটি গণ্য সুরক্ষা (যেখানে প্রতিপক্ষ বহু-সময় গণনা সীমাবদ্ধ) সহ একমুখী ফাংশন সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে। ফলস্বরূপ, শ্যানন-স্টাইলের যুক্তিগুলি গণনাগতভাবে ওয়ান-ওয়ে ফাংশনগুলি আছে কিনা তা সম্পর্কে কিছুই বলে না।

— DW

একমুখী ফাংশনের সংজ্ঞাটি পড়ুন ।

— কাভেহ

কের-ই কো পি = এনপি সমস্যা এবং বহুপদী আইসোমরফিজমের সাথে সম্মতি দিয়ে একটি একমুখী ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যদি ওয়ান-ওয়ে ফাংশনগুলি বিদ্যমান থাকে, তবে এনপি-সম্পূর্ণতা সম্পর্কে কুকের অনুমান, যেমন এনপি-সম্পূর্ণ সেটগুলির মধ্যে আইসোমরফিজম ধারণ করে না। তথ্য এনট্রপির দৃষ্টিকোণ থেকে জিনিসগুলি পোস্ট করার আগ্রহটি দেখানো হয় যে গাণিতিকভাবে সংজ্ঞাযুক্ত ফাংশনের আইসোমর্ফিিজম শ্রেণিটি কেবল নিরাপদ (অপরিবর্তনীয়) যদি কোনও র্যান্ডম সেট সংজ্ঞায়িত করা যায়। আমি অবিচ্ছিন্নতা এবং "গাণিতিক সুরক্ষিত" অভিব্যক্তিটি ব্যবহারের বিষয়ে শ্যাননের ইনপুট সম্পর্কে নিশ্চিত নই।

— mathersjj1

সিস্টিরি কোনও আলোচনা ফোরাম বা কোনও ব্যক্তিগত ব্লগ নয়, এটি একটি প্রশ্নোত্তর সাইট। আপনার পোস্টটি ওয়ান-ওয়ে ফাংশন (লিঙ্কে বর্ণিত হিসাবে) সম্পর্কে জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের উত্তর নয়। সিথেরির ব্যাপ্তির ব্যাখ্যার জন্য ট্যুর এবং সহায়তা কেন্দ্র পরীক্ষা করুন ।

— কাভেহ

Answer 4

উদাহরণস্বরূপ সাইন ফাংশনটি যেমন প্রস্তাব করা যায় তেমনি সহজ হবে?

কারণ প্রদত্ত ইনপুট এবং আউটপুটটির জন্য ইনপুটটি 360 ডিগ্রি (বা আপনি যদি রেডিয়ান হন তবে 2 পাই) কমে যেতে পারে বা হ্রাস করতে পারে, তাই আপনি কখনই ইনপুটটি নিশ্চিত করতে পারবেন না?

যদিও আমি যদি প্রশ্নটি ভুল বুঝি তবে আমাকে বলুন।

Comments

সংজ্ঞাটি পরীক্ষা করুন ।

— কাভেহ

আপনি দুটি ধারণার মিশ্রণ করছেন: একমুখী ফাংশন এবং অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। সাইন ফাংশনটি অবিশ্বাস্য হলেও, এটি এক উপায় নয়। বিশেষ করে, আপনি সবসময় আপ আসতে পারে একটি (যাই হোক না কেন স্পষ্টতা তোমাকে পছন্দ) preimage, এমনকি যদি তা না হয় preimage।

— এমএস দৌস্তি

আমি, পার্থক্য ব্যাখ্যা করার জন্য ধন্যবাদ।

— অ্যারন রবসন