সীমাবদ্ধ জেনাস গ্রাফের জন্য নিষিদ্ধ নাবালিকারা

Question

এটি সুপরিচিত যে $K_5$ এবং $K_{3,3}$ প্ল্যানার গ্রাফের জন্য নাবালকদের নিষিদ্ধ। টরাসটিতে এম্বেডযোগ্য গ্রাফের জন্য শত শত নিষিদ্ধ নাবালিকা রয়েছে । নিষিদ্ধ সংখ্যা অপ্রাপ্তবয়স্কদের গ্রাফ জন্য পৃষ্ঠতলে এম্বেডযোগ্য মহাজাতি ছ একজন সূচকীয় ফাংশন ছ । আমার প্রশ্নটি নিম্নরূপ:

সেখানে একটি সুনির্দিষ্ট গ্রাফ হয় $G_t$ উপর টি ছেদচিহ্ন (যা একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ নয়) যেমন যে $G_t$ গ্রাফ জন্য নিষিদ্ধ ছোটখাট মহাজাতি পৃষ্ঠতলে এম্বেডযোগ্য হয় ছ , যেখানে T একটি ফাংশন ছ ?

সম্পাদনা: আমি বুঝতে পারি যে নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি জানা গেছে:

প্রত্যেক পৃষ্ঠ জন্য Σ সেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান R যেমন যে $K_{3,r}$ Σ এম্বেড করে না।

সুতরাং, আমি খুঁজছি $G_t$যা সম্পূর্ণ গ্রাফ নয়, একটি সম্পূর্ণ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ নয়।

Comments

সুতরাং, আপনি একটি সুন্দর-নির্মিত, প্যারামিটারাইজড, গ্রাফের অসীম পরিবার (সম্পূর্ণ গ্রাফ ব্যতীত) চান যা প্রতিটি বংশের উপরিভাগের জন্য নাবালককে নিষিদ্ধ করা হয়?

— ডেরিক স্টোলি

@Derrick। হ্যাঁ. অবিকল।

— শিব কিন্তালি

তারপর আমি ঐ পদ ব্যবহার করে প্রশ্ন ভিন্নরূপে বা অন্য কথায় হবে: "সেখানে গ্রাফ একটি (কনস্ট্রাক্ট সহজ) পরিবার যাতে এইচ জি ≇ কে এন ন্যূনতম নিষিদ্ধ ছোটখাট গ্রাফ একটি মহাজাতি এম্বেডযোগ্য হয় ছ পৃষ্ঠ ? " $\{ H_g : g \geq 1\}$$H_g \not\cong K_n$$g$

— ডেরিক স্টোলি

" এবং K 3 , 3 G এর অপ্রাপ্তবয়স্ক নয় " সীমাবদ্ধতা আপনি যা চান তা হতে পারে না। যদি তারা জি এর অপ্রাপ্তবয়স্ক না হয় তবে জি প্ল্যানার, এবং কোনও উচ্চতর বংশের জন্য এটি নিষিদ্ধ নাবালিকা হতে পারে না। $K_5$$K_{3,3}$$G$$G$$G$

— ডেভিড এপস্টিন

@ ডেভিড এপস্টেস্টিন আমি আমার পরিবর্তনগুলি সরিয়েছি। মূলত, আমি বাধাগুলি খুঁজছি যা এবং কে 33 থেকে "আলাদা" । $K_5$$K_{33}$

— শিব কিন্তালি

Answer 1

এর গ্রন্থিচ্যুত ইউনিয়ন কপি কে 5 (অথবা কে 3 , 3 ) মহাজাতি গ্রাফ জন্য একটি ন্যূনতম নিষিদ্ধ নাবালক এন - 1 ; একই গ্রাফের ক্ষেত্রেও সত্য, যেখানে এই কয়েকটি অনুলিপি একটি একক শীর্ষে ভাগ করে, যাতে গ্রাফের ব্লকগুলি কে 5 বা কে 3 , 3 হয় । এটি জে। ব্যাটাল, এফ। হারারি, ওয়াই কোডামা এবং জেডাব্লুটি ইয়ংস, "একটি গ্রাফের বংশের অ্যাডভিটিভিটি", বুলের ফলাফল থেকে অনুসরণ করে। আমের। ম্যাথ। SOC। 68 (1962) 565–568, এবং কমপক্ষে তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেক নিষিদ্ধ নাবালিকা রয়েছে তা দেখানোর জন্য এটি ইতিমধ্যে যথেষ্ট।$n$$K_5$$K_{3,3}$$n-1$$K_5$$K_{3,3}$

বোজন মোহার, "পৃষ্ঠগুলিতে গ্রাফগুলি এম্বেড করার ক্ষেত্রে একটি বাধা", পৃথক গণিত। 78 (1989) 135–142, থেকে 4-চক্রটি জেনাস 2 হিসাবে মুছে ফেলে গঠিত গ্রাফটি তালিকাভুক্ত করেছে, যেহেতু কে 7 টরয়েডাল, এর অর্থ কে 8 ডিগ্রি সেন্টিগ্রেড 4 বা এর বিস্তৃত সাবগ্রাফগুলির মধ্যে একটি বাধা ট্যারাস এম্বেডিং, এবং যে গ্রাফ $K_8$$K_7$$K_8\setminus C_4$$n$ এই ব্লকগুলির কপি রয়েছে তাদের ব্লক হিসাবে জিনাস ।$2n$

মোহার আরও দেখায় যে গ্রাফটি একটি -ক্রিলেখার সাথে 0 এমনকি সমস্ত সমতলকে এবং শীর্ষবিন্দু 1 এর সাথে সমস্ত বিজোড় কোণগুলিতে সংযুক্ত করে কমপক্ষে relative কে /$(2k+2)$ । গ্রাফটি পরিকল্পনাকারী, তবে আমি মনে করি আপেক্ষিক জেনোসের অর্থ চক্রটি একটি মুখ হতে হবে; অথবা আপনি গ্রাফটিতে আরও একটি শীর্ষবিন্দু যুক্ত করতে পারেন, এটি চক্রের শীর্ষে সমস্তর সাথে যুক্ত, কার্যকরভাবে এটি মুখ হিসাবে বাধ্য করতে। আপনার পছন্দসই জিনিসটির এটি খুব কাছাকাছি হতে পারে। তবে আমি মনে করি না যে তিনি দেখিয়েছেন যে এই গ্রাফগুলি সর্বনিম্ন নিষিদ্ধ নাবালিকা।$\lceil k/2\rceil$

Comments

চক্র সম্পর্কে আপনার শেষ অনুচ্ছেদটি আমি যা খুঁজছি is ধন্যবাদ। আমি আপনার উত্তর গ্রহণ করছি। $(2k+2)$

— শিব কিন্তালি