সীমাবদ্ধ আবেলীয় গোষ্ঠীগুলির জন্য সদস্যপদ-পরীক্ষার জটিলতা

নিম্নলিখিত অ্যাবেলিয়ান-সাবগ্রুপ সদস্যতা-পরীক্ষার সমস্যাটি বিবেচনা করুন ।

ইনপুট:

একটি নির্দিষ্ট abelian গ্রুপ $G=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}$ অবাধ-লার্জ সঙ্গে $d_i$ ।

একজন উৎপাদিত সেট $\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace$ একটি উপদলের এর $H\subset G$ ।

একটি উপাদান $b\in G$ ।

আউটপুট: 'হ্যাঁ' যদি $b\in H$ এবং অন্য কোথাও 'না' থাকে।

প্রশ্ন: একটি শাস্ত্রীয় কম্পিউটারে এই সমস্যাটি দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে ? আমি একজন অ্যালগরিদম দক্ষ বিবেচনা যদি এটা ব্যবহার $O(\text{polylog}|G|)$ শাস্ত্রীয় টুরিং মেশিন স্বাভাবিক অর্থে সময় এবং মেমরি সম্পদ। লক্ষ্য করুন যে আমরা যে কোনও উপগোষ্ঠী জন্য ধরে নিতে পারি । ইনপুট আকার এই সমস্যা হয় । $n= O(\log|G|)$ $H$ $\lceil \log|G|\rceil$

কিছুটা প্রেরণা । স্বজ্ঞাতভাবে দেখে মনে হচ্ছে সমস্যাটি অ্যালগরিদমের সাথে সামঞ্জস্য করা যায় সমষ্টিগুলির রৈখিক সিস্টেমগুলি বা লিনিয়ার ডায়োফান্তাইন সমীকরণগুলি (নীচে পড়ুন) সমাধান করার জন্য। যাইহোক, এটি দেখে মনে হয় যে সংখ্যার সাথে গণনা প্রসঙ্গে গণ্য দক্ষতার বিভিন্ন ধারণা রয়েছে যেমন: দৃ strongly়ভাবে বনাম দুর্বল সময়, বীজগণিত বনাম বিট জটিলতা ity আমি এই সংজ্ঞাগুলিতে বিশেষজ্ঞ নই এবং আমি একটি প্রশ্ন খুঁজে পাচ্ছি না যা এই প্রশ্নটি পরিষ্কারভাবে নিষ্পত্তি করে।

আপডেট: সমস্যার উত্তর হ্যাঁ "হ্যাঁ"।

দেরিতে উত্তরে আমি স্মিথের স্বাভাবিক ফর্মগুলির উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি প্রস্তাব করি যা নির্ধারিত ফর্ম সহ যে কোনও গ্রুপের পক্ষে দক্ষ।

ব্লোনডিনের একটি উত্তর দেখায় যে বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে সমস্ত ফর্ম এবং "ক্ষুদ্র পূর্ণসংখ্যা" হয় তবে সমস্যাটি অন্তর্গত । ক্ষুদ্র সংখ্যাগুলি ইনপুট আকারের সাথে তাত্পর্যপূর্ণভাবে ছোট হয়: । $d_i$ $d_i= N_i^{e_i}$ $N_i, e_i$ $\text{NC}^3\subset \text{P}$ $O(\log\log|A|)$

আমার উত্তরে আমি এই সমস্যা সমাধানের জন্য "orthogonal subgroups" ব্যবহার করেছি, তবে আমি বিশ্বাস করি এটি প্রয়োজনীয় নয়। আমি পড়ছি ইচেলন ফর্ম পদ্ধতিটি ভিত্তিতে ভবিষ্যতে আরও সরাসরি উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব।

কিছু সম্ভাব্য পন্থা

সমষ্টি এবং / অথবা লিনিয়ার ডায়োফান্তাইন সমীকরণের রৈখিক ব্যবস্থা সমাধানের সাথে সমস্যাটি নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। আমি সংযোগটি সংক্ষেপে সংক্ষেপে সমাপ্তির স্বার্থে করব।

নিন ম্যাট্রিক্স যার কলাম উৎপাদিত সেটের উপাদান হতে । নিম্নলিখিত সমীকরণ সিস্টেম $A$ $\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace$

A x^{T} = (\begin{matrix} h_{1} (1) & h_{2} (1) & \dots & h_{n} (1) \\ h_{1} (2) & h_{2} (2) & \dots & h_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ h_{1} (m) & h_{2} (m) & \dots & h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix}

$Ax^{T}= \begin{pmatrix} h_1(1) & h_2(1) & \ldots & h_n(1)\\ h_1(2) & h_2(2) & \ldots & h_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ h_1(m) & h_2(m) & \ldots & h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix}$

যদি if হয় তবেই এর সমাধান রয়েছে । $b\in H$

সমস্ত চক্রীয় কারণগুলির একই মাত্রা থাকলে স্মিথের স্বাভাবিক ফর্মগুলির উপর ভিত্তি করে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা বহুবর্ষীয় সময়ে সমস্যার সমাধান করে। এই ক্ষেত্রে, থেকে একটি দক্ষ অ্যালগরিদম [1] এর স্মিথ স্বাভাবিক ফর্ম খুঁজে বের করে : এটি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স ফেরৎ এবং দুই বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং যেমন যে । এই সমতুল্য সিস্টেম সিস্টেম সমাধানে সমস্যা কমে সঙ্গে তির্যক। ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম ব্যবহার করে যদি সিস্টেমটির সমাধান থাকে তবে আমরা দক্ষতার সাথে সিদ্ধান্ত নিতে পারি। $d=d_i$ $A$ $D$ $U$ $V$ $D=UAV$ $DY=Ub \mod d$ $D$

উপরের উদাহরণটি পরামর্শ দেয় যে সাধারণ ক্ষেত্রে অনুরূপ কৌশল ব্যবহার করে সমস্যাটি দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে। আমরা মডিউলার অপারেশনগুলি করে সিস্টেমটিকে সমাধান করার চেষ্টা করতে পারি, বা সিস্টেমটিকে রৈখিক ডায়োফান্তাইন সমীকরণের বৃহত সিস্টেমে রূপান্তরিত করে। আমি যে সমস্যাটি ভাবতে পারি তার কাছে পৌঁছানোর কয়েকটি সম্ভাব্য কৌশল হ'ল:

এর স্মিথ স্বাভাবিক রূপ কম্পিউটিং । $A$
সারি Echelon ফর্ম কম্পিউটিং । $A$
পূর্ণসংখ্যা গাউসিয়ান নির্মূল।

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা
সূত্র

একযোগে এমও: mathoverflow.net/questions/81300/… ক্রসপোস্ট করা

— সুরেশ ভেঙ্কট

মনে হচ্ছে যে আপনি এই প্রশ্নের crossposted আছে একযোগে । যদিও আমরা কোনও প্রশ্ন পুনরায় পোস্ট করাতে আপত্তি বোধ করি না , আমাদের সাইটের নীতিটি পর্যাপ্ত সময় পার হয়ে যাওয়ার পরে কেবল আপনি অন্য কোথাও পছন্দসই উত্তরটি পাননি, কারণ একযোগে ক্রসপোস্টিংয়ের সদৃশ প্রচেষ্টা এবং ফ্র্যাকচার আলোচনার জন্য। আপনি এখনই বন্ধ করার জন্য এই প্রশ্নটিকে পতাকাঙ্কিত করতে পারেন এবং অন্য সাইটগুলি থেকে প্রাসঙ্গিক আলোচনার সংক্ষিপ্তসারের পরে প্রয়োজনে এটি খোলার জন্য পুনরায় প্রতিক্রিয়া জানাতে পারেন।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আসল পোস্টারের অনুরোধে বন্ধ হয়েছে (এমওতে নকলের কারণে)।

— ডেভ ক্লার্ক

পোস্টটি বন্ধ হওয়ার আগে আমি একটি উত্তর পোস্ট করেছি। আমার মতে, প্রশ্নটি এখানে ম্যাথওভারফ্লোয়ের চেয়ে বেশি উপযুক্ত কারণ এটি জটিলতা তত্ত্বের সাহিত্যে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল।

— মাইকেল ব্লন্ডিন

ওপি অনুরোধে আবার খোলা; জটিলতার উপর ফোকাস এটিকে এখানে উপযুক্ত করে তোলে here

— সুরেশ ভেঙ্কট

উত্তর:

যাচাই করা হচ্ছে কিনা (যেখানে ওপি মন্তব্য অনুযায়ী ভেক্টর হয়) যাচাই করার সময় এই সিস্টেম একটি সমাধান কিনা সমতূল্য: $b \in \langle h_1, \ldots, h_n\rangle$ $h_i$

(\begin{matrix} h_{1} (1) & \dots & h_{n} (1) & d_{1}^{e_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ h_{1} (m) & \dots & h_{n} (m) & 0 & 0 & \dots & d_{m}^{e_{N}} \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ ⋮ \\ x (n) \\ y (1) \\ ⋮ \\ y (m) \end{matrix}) \equiv (\begin{matrix} b (1) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} h_{1}(1) & \cdots & h_{n}(1) & d_1^{e_1} & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ h_{1}(m) & \cdots & h_{n}(m) & 0 & 0 & \cdots & d_m^{e_N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1) \\\\ \vdots \\\\ x(n) \\\\ y(1) \\\\ \vdots \\\\ y(m) \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} b(1) \\\\ \vdots \\\\ b(m) \end{pmatrix}$

আপনার ক্ষেত্রে সংখ্যার সংখ্যা (অর্থাত্ তাদের মান ইনপুট আকারে লোগারিটিমিক)। দুর্ভাগ্যক্রমে, দেখে মনে হচ্ছে না যে আমরা অনুমান করতে পারি যে ক্ষুদ্র $e_1, \ldots, e_N$ $d_1, \ldots, d_n$

যদি সেগুলি হয় তবে আপনি ম্যাককেঞ্জি এবং কুক [1] এর ফলাফল থেকে এ সিস্টেমটির একটি সমাধান পেতে পারেন । এই কাগজটি দেখায় যে ক্ষুদ্র কারণগুলির (LCON) সহ একটি পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার সংঘগুলি সমাধান করা । তদ্ব্যতীত , এই সমস্যাটি হ'ল অ্যাবেলিয়ান পারমিটেশন গ্রুপের সদস্যপদ সমস্যা (এজিএম) এর জন্য প্রয়োজনীয়। ম্যাকেনজির ডক্টরাল থিসিস সম্পূর্ণরূপে এই সমস্যাগুলির জন্য নিবেদিত [1] । অতি সম্প্রতি, এই সমস্যাগুলি অরবিন্দ এবং বিজয়রাভবন বিবেচনা করেছেন [3] । $\text{NC}^3$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}^1$

[1] পিয়েরে ম্যাকেনজি এবং স্টিফেন এ কুক। অ্যাবেলিয়ান পারমিটেশন গ্রুপ সমস্যার সমান্তরাল জটিলতা। 1987।

[2] পিয়ের ম্যাকেনজি। সমান্তরাল জটিলতা এবং ক্রমশক্তি গ্রুপ। 1984।

[3] ভি ভি অরবিন্দ ও টিসি বিজয়রাঘবন। লগস্পেস গণনা ক্লাস ব্যবহার করে লিনিয়ার জামাকাপড় এবং অ্যাবেলিয়ান পারমুয়েশন গ্রুপগুলিতে শ্রেণিবদ্ধকরণ সমস্যা। 2010।

— মাইকেল ব্লন্ডিন
সূত্র

ধন্যবাদ, দুর্ভাগ্যআনতলে সোমবার পর্যন্ত এই কাগজপত্রগুলিতে আমার অ্যাক্সেস নেই। এটি আমাকে অবাক করে দেয় যে এটি কোনও আবেলীয় দলের জন্য কাজ করে। জন্য , যা abelian হয়, খাসি নির্ধারণের জন্যে খাসি সিদ্ধান্ত জড়িত একটি সমাধান আছে। আমি এখানে দুটি সমস্যা দেখতে পাচ্ছি: 1) ধ্রুপদীভাবে ইউলার সামগ্রিক ফাংশন গণনা করা শক্ত 2) এটি একটি পৃথক লোগারিথের সিদ্ধান্ত সংস্করণ। যদি চক্রীয় পচা দেওয়া হয় তবে সমস্যাটি মডুলার সমীকরণগুলি সমাধান করতে হ্রাস করে। কীভাবে আপনি এই সমস্যাটি ঘুরে দেখবেন? আমি কি এখানে গুরুত্বপূর্ণ কিছু মিস করছি?

Z_{N}^{*}

$Z_N^*$

b

$b$

⟨ a ⟩

$\langle a \rangle$

b = a^{i} \mod φ (N)

$b=a^i\mod \varphi(N)$

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

প্রকৃতপক্ষে, এটি কোনও আবেলীয় ক্রমশক্তি গ্রুপের জন্য।

— মাইকেল ব্লন্ডিন

আমি এই কাগজপত্রগুলি একবার দেখে নেব এবং সবকিছুকে কিছুটা সংগঠিত করার চেষ্টা করব। ধন্যবাদ।

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

আপনি কি ইনপুটটির এনকোডিংয়ের বিষয়ে আরও বিশদ সরবরাহ করতে পারেন? এইভাবে, আমি আমার উত্তরটি উন্নত করতে সক্ষম হতে পারি।

— মাইকেল ব্লন্ডিন

গোষ্ঠীটির পচন ইনপুট হিসাবে (এটি বেশ কয়েকটি সংখ্যার এবং একটি স্ট্রিং হবে দৈর্ঘ্য আমি অনুমান করি)। তারপরে, গোষ্ঠীর প্রতিটি উপাদান ফর্মের এবং সংখ্যার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায়। এটি সঞ্চয় করার জন্য আপনার bits দরকার। এটি কি উত্তর দেয়?

A = Z_{d_{1}} \times Z_{d_{1}} \dots \times Z_{d_{N}}

$A=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_N}$

(g_{1}, \dots, g_{n})

$(g_1,\ldots,g_n)$

n := ⌈ l o g_{2} | A | ⌉

$n:= \lceil log_2 |A|\rceil$

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

কিছু সময়ের পরে, আমি সম্ভবত একটি অনুকূল নয় সর্বোপরি সহজ সরল অ্যালগরিদম খুঁজে পেয়েছি যা প্রমাণ করে যে সমস্যার জটিলতা বহুপদী।

অ্যালগরিদম

(ক) লম্ব উপগোষ্ঠী এর কম্পিউট একটি উৎপাদিত সেট এর । $H^{\perp}$ $H$

(খ) চেক করুন থাকুক বা না থাকুক উপাদান থেকে লম্ব হয় । $b$ $H^{\perp}$

সমস্যাগুলির জন্য দক্ষ সংঘবদ্ধ অ্যালগোরিদম রয়েছে (ক) এবং (খ) (নীচে বিশ্লেষণ দেখুন)। এটি একটি কার্যকর সদস্যপদ-পরীক্ষা দেয় যেহেতু কোনও এলিমেন্ট , পার্পের কাছে orthogonal হয় এবং যদি কেবল । $b$ $H^\perp$ $h\in H$

বিশ্লেষণ

অরথোগোনাল সাবগ্রুপ বর্ণের গ্রুপের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: প্রধান বৈশিষ্ট্য: $H^{\perp}$ $G$

H^{⊥} := {g \in G : χ_{g} (h) = 1 \forall h \in H}

$H^{\perp}:= \{g\in G : \chi_g(h)=1\quad \forall h\in H \}$

$H^{\perp}$ একটি উপগ্রুপ । $G$
$H^{\perp^\perp}=H$

(ক) এর জন্য অ্যালগরিদম :

আমি [ 1 ] এর থেকে একটি অ্যালগোরিদম অনুসরণ করি যা সামান্য প্রকরণে। জন্যে যদি এবং কেবল যদি সকলের জন্য , কিন্তু, রৈখিকতা দ্বারা এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট জন্য প্রতিটি জেনারেটর । চরিত্রটিকে পরিপ্রেক্ষিতে প্রসারিত করা (এখানে আমি চক্রীয় ফ্যাক্টর পচন ব্যবহার করি) এই শর্তটি এই সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, গণনা ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম এবং সংখ্যাগুলি ব্যবহার করে $g$ $H^{\perp}$ $\chi_{g}(h)=1$ $h\in H$ $\chi_{b}(h_i)=1$ $H$

\begin{array}{rcl} \exp {2 π i (\frac{g (1) h_{i} (1)}{d_{1}} + \dots + \frac{g (m) h_{i} (m)}{d_{m}})} = 1 \end{array}

$\begin{eqnarray} \exp \left\lbrace 2\pi i \left( \frac{g(1)h_{i}(1)}{d_1}+\ldots + \frac{g(m) h_{i}(m)}{d_m} \right) \right\rbrace=1 \end{eqnarray}$

M := lcm (N_{1}, \dots, N_{d})

$M:= \text{lcm}(N_1,\ldots,N_d)$

α_{i} := M / d_{i}

$\alpha_i:=M/d_i$

i

$i$

(\begin{matrix} α_{1} h_{1} (1) & α_{2} h_{1} (2) & \dots & α_{m} h_{1} (m) \\ α_{1} h_{2} (1) & α_{2} h_{2} (2) & \dots & α_{m} h_{2} (m) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ α_{1} h_{n} (1) & α_{2} h_{n} (2) & \dots & α_{m} h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} g (1) \\ g (2) \\ ⋮ \\ g (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} \mod M \\ \mod M \\ ⋮ \\ \mod M \end{matrix}

$\begin{pmatrix} \alpha_1 h_1(1) & \alpha_2 h_1(2) & \ldots & \alpha_m h_1(m)\\ \alpha_1 h_2(1) & \alpha_2 h_2(2) & \ldots & \alpha_m h_2(m)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \alpha_1 h_n(1) & \alpha_2 h_n(2) & \ldots & \alpha_m h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod M\\ \mod M\\ \vdots\\ \mod M \end{matrix}$

t + ⌈ \log | G | ⌉

$t+\lceil\log|G|\rceil$

H^{⊥}

$H^{\perp}$

p \geq 1 - 1 / 2^{t}

$p\geq 1 -1/2^{t}$

A X = 0 (\mod M)

$AX=0 \pmod M$

A

$A$

M

$M$

D

$D$

U

$U$

V

$V$

D = U A V

$D=UAV$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0\pmod M$

d_{i} y_{i} = 0 (\mod M)

$d_i y_i =0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$

H^{⊥}

$H^{\perp}$

(খ) এর জন্য অ্যালগরিদম :

$H^{\perp}$ $b$ $H$ $\langle g_1,\ldots, g_s \rangle$ $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\chi_{b}(g_i)=1$ $H^{\perp}$ $|G|$ )) তাদের সংখ্যা এবং এটি আমরা সম্পন্ন মডুলার গাণিতিক ব্যবহার করে দক্ষতার সাথে করা যেতে পারে।

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা
সূত্র

আপনি যদি গড় সময়ে আবিষ্কার করেন তবে আপনার নিজের উত্তর যুক্ত করা ভাল to যাইহোক, দেখে মনে হচ্ছে কোন উত্তরটি গ্রহণ করবেন তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার আগে আপনার আরও কিছু তদন্ত করতে হবে (আপনার মন্তব্যের ভিত্তিতে)

— সুরেশ ভেঙ্কট

ধন্যবাদ। আমরা সবকিছু আরও একটি ছবিতে রাখি কিনা তা দেখতে আরও আলোচনা চালিয়ে যেতে চাই। এছাড়াও, আমি আরও বেশি ব্যবহারিক অ্যালগরিদম হতে পারে যা পপ-আপ করতে পারে বলে আমি মনে করি।

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা