মেট্রিক টিএসপির জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদম

Question

এটি জানা যায় যে মেট্রিক টিএসপি মধ্যে প্রায় অনুমান করা যায় এবং 123 এর চেয়ে আরও ভাল অনুমান করা যায় না$1.5$বহুবারের সময়ে 122 । তাত্পর্যপূর্ণ সময়ে আনুমানিক সমাধানগুলি সন্ধান করার বিষয়ে কি কিছু জানা যায় (উদাহরণস্বরূপ,কেবলমাত্র বহুবর্ষীয় স্থান সহ2এনপদক্ষেপেরকম)? উদাহরণস্বরূপ, কোন সময় এবং স্থানের মধ্যে আমরা এমন একটি ট্যুর খুঁজে পেতে পারি যার দূরত্ব সর্বাধিক1.1×হেপিটি?$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Comments

এই ধরণের প্রশ্নগুলির সমাধানের জন্য একটি প্রাকৃতিক পদ্ধতি হ'ল শেরেলি-অ্যাডামস, লোভস-শ্রিজিভার বা লাসেরের মতো লিনিয়ার প্রোগ্রামিং হায়ারার্কিগুলিকে লক্ষ্য করা যা r ম স্তরে চলমান সময়কে অনুমতি দেয় (এবং সাধারণত ক্রমবর্ধমান r বাড়ার সাথে সাথে আরও ভাল অনুমানের পরিমাণ)। তবে আমি মেট্রিক টিএসপি (হেল্ড-কার্প হিসাবে পরিচিত) এর এলপি শিথিলকরণের হায়ারারিগুলির প্রয়োগের বিষয়ে কোনও ইতিবাচক বা নেতিবাচক ফলাফল সম্পর্কে অবগত নই। $poly(n^r)$$r$$r$

— এমসিএইচ

আপনি সম্ভবত "প্রয়োজন" এর চেয়ে "সম্ভাব্য" বলতে চাইছেন? এছাড়াও, তাত্পর্যপূর্ণ সময়ে সমাধানগুলি অনুসন্ধান করে আপনি কী বোঝাতে চেয়েছিলেন তা আমি নিশ্চিত নই, কারণ আমি সর্বদা সঠিক উত্তরটি খুঁজে পেতে পারি find আমি ধরে নিয়েছি আপনার অর্থ কি "অনুমানের / জটিলতার ট্রেডঅফ বক্ররেখা সম্পর্কে আরও ভাল পয়েন্টগুলি খুঁজে পাবেন"?

— সুরেশ ভেঙ্কট 16

@ এমসিএইচ, আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, তবে আমি কোনও ফলাফল পাইনি।

— অ্যালেক্স গোলভেনেভ

@ সুরেশ ভেঙ্কট, ধন্যবাদ! আপনি একেবারে সঠিক, আমার অর্থ "সম্ভাব্য" এবং "আরও ভাল পয়েন্ট ..."। আমি আমার প্রশ্ন স্থির করেছি।

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

নির্দিষ্ট প্রারম্ভিক বিন্দু এবং শেষের পয়েন্ট সহ মেট্রিক টিএসপি হিসাবে, সেরাটি হচ্ছে কন + এন + । একটি স্টোক 2012 পত্রিকা "ক্রেস্টোফাইডস এর অ্যালগরিদম উন্নয়নের জন্যস্ট্যান্ডটিএসপি টিএসপি"arxiv.org/abs/1110.4604 এ। $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

— পেং ঝাং

Answer 1

আমি সমস্যাটি অধ্যয়ন করেছি এবং আমি টিএসপির জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদমগুলি পেয়েছি।

$n$ ছেদচিহ্ন এর সংখ্যা,$M$ সর্বোচ্চ প্রান্ত ওজন। সমস্ত সীমা ইনপুট আকারের একটি বহুপদী ফ্যাক্টর পর্যন্ত দেওয়া হয় ($poly(n, \log M)$ )। আমরা এটিএসপি দ্বারা অসম্পূর্ণ টিএসপি চিহ্নিত করি den

1. টিএসপির জন্য সঠিক অ্যালগরিদম

1.1। জেনারেল এটিএসপি

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$সময় এবং$exp$স্পেস (বিজার্ক্লুন্ড)।

$2^n$ সময় এবং$2^n$ স্পেস (বেলম্যান;হেল্ড, কার্প)

$4^n n^{\log n}$ সময় এবং$poly$ -space (Gurevich, শেলা;Björklund, Husfeldt)।

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ সময় এবং$2^t$ স্থানের জন্য$t=n,n/2,n/4,\ldots$ (কোভিস্টো, পারভিয়েন)।

$O^*(T^n)$ সময় এবং যেকোনও$O^*(S^n)$ জন্য ও ∗ ( এস এন ) স্থান$\sqrt2<S<2$সঙ্গে$TS<4$(Koivisto, Parviainen)।

$2^n\times M$ সময় এবং বহু-স্থান (লোকশতানভ, নেদারলফ)।

$2^n\times M$ সময় এবং স্পেস$M$ (কোহন, গটলিব, কোহন;কার্প;বাক্স, ফ্র্যাঙ্কলিন)।

এমনকি মেট্রিক টিএসপি-র জন্য উপরের অ্যালগরিদমের চেয়ে ভাল আর কিছু জানা যায় না। বহুবর্ষীয় স্থান সহ টিএসপি-র জন্য $2^n$ টাইম অ্যালগরিদম বিকাশ করা একটি বড় চ্যালেঞ্জ (ওপেন প্রব্লেম ২.২ . বি, ওয়েইঙ্গিগার দেখুন )।

1.2। টিএসপির বিশেষ মামলা C

$1.657^n\times M$ সময় এবং ত্রুটিযুক্ত তাত্পর্যপূর্ণ ক্ষুদ্র সম্ভাবনা (বিজার্ক্লুন্ড) পুনঃনির্দেশিত টিএসপির জন্য।

$(2-\epsilon)^n$ বেষ্টিত গড় ডিগ্রী অর্জন গ্রাফ এবং টিএসপি সূচকীয় স্থান,$\epsilon$ শুধুমাত্র গ্রাফ (ডিগ্রী উপর নির্ভর করেCygan, Pilipczuk;Björklund, Kaski, Koutis)।

$(2-\epsilon)^n$$poly$$\epsilon$

$1.251^n$$poly$

$1.890^n$$poly$$4$

$1.733^n$$4$

$1.657^n$$poly$

$(2-\epsilon)^n$$d^n$$d$

২. টিএসপি-র জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদম

2.1। জেনারেল টিএসপি

P = NP ( সাহনি, গঞ্জালেজ ) না থাকলে কোনও বহু বহু সময়ের গণ্য ফাংশনের মধ্যে আনুমানিক অনুমান করা যায় না ।

2.2। মেট্রিক টিএসপি

$3 \over 2$

চেয়ে ভাল অনুপাতের সাথে অনুমান করা যায় না$123\over 122$

2.3। গ্রাফিক টিএসপি

$7\over5$

2.4। (1,2) -TSP

ম্যাক্স-এসএনপি হার্ড ( পাপাদিমিট্রিও, ইন্নাকাকিস )।

$8 \over 7$

2.5। বাউন্ডেড ডাইমেনশন সহ মেট্রিক্সে টিএসপি

টিএসপির জন্য একটি নির্দিষ্ট-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেসে ( অরোরা ; মিশেল ) পিটিএএস ।

$\log{n}$

সীমাবদ্ধ দ্বিগুণ মাত্রা ( বার্টাল, গটলিয়েব, ক্রৌথগামার ) সহ মেট্রিক্সে টিএসপির জন্য পিটিএএস ।

2.6। নির্দেশিত ত্রিভুজ বৈষম্য সহ এটিএসপি

$O(1)$

চেয়ে বেশি অনুপাতের সাথে অনুমান করা যায় না$75\over 74$

2.7। নিষিদ্ধ নাবালিকাদের সাথে গ্রাফে টিএসপি

প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে টিএসপির জন্য লিনিয়ার সময় পিটিএএস ( ক্লিন )।

অপ্রাপ্তবয়স্ক গ্রাফের জন্য পিটিএএস ( ডেমাইন, হাজিয়াঘাই, কাওরবায়াশি )।

$22\frac{1}{2}$

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$$g$

2.8। MAX টি-টিএসপি

$7\over9$

$7\over8$

$3\over4$

$35\over44$

2.9। তাত্পর্যপূর্ণ-সময় আনুমানিকতা

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

আমি কোনও সংযোজন এবং পরামর্শের জন্য কৃতজ্ঞ হবে।

Comments

এটি যা জানা যায় তার দুর্দান্ত সংক্ষিপ্তসার। আমি আপনাকে এই উত্তরটি গ্রহণ করতে উত্সাহিত করব (যদিও এটি নিজের নিজস্ব)।

— সুরেশ ভেঙ্কট

গৌণ নিটপিক: আপনার মনে হচ্ছে মেট্রিক টিএসপি এবং এটিএসপি-র জন্য অপ্রয়োজনীয় ধ্রুবকগুলির জন্য স্থানগুলি স্যুইচ করা হয়েছে।

— মাইকেল ল্যাম্পিস

আপনি প্ল্যানার / সীমাবদ্ধ জেনাস / বাদ গৌণ গ্রাফ যুক্ত করতে পারেন; ফলাফল সম্পর্কে আমি সচেতন নীচে রয়েছে। (১) প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে টিএসপি - লিনিয়ার টাইম পিটিএএস ( সিএস.আরউন.ইডু / জনগণ / ক্লেইন / প্রজাতন্ত্র / নন-কন্ট্রাকশন.পিডিএফ ), (২) সীমাবদ্ধ বংশধর / বর্জনিত নাবালিক গ্রাফের টিএসপি - বাদ পড়া অপ্রাপ্তবয়স্কদের সাথে অপ্রকাশিত গ্রাফের জন্য কিউপিটিএস / বাউন্ডেড জেনাস ( cs.emory.edu/~mic/papers/15.pdf ) সহ ভারী গ্রাফ , (3) প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে এটিএসপি - ধ্রুবক ফ্যাক্টর সান্নিধ্য ( স্ট্যানফোর্ড.ইডু / abসাবেরি / অ্যাপসপি 2.পিডিএফ )।

— zotachidil

@ অ্যালেক্স গোলোভেনিভ: বিজার্ক্লুন্ডস অ্যালগরিদম এটিএসপি-র পক্ষে কাজ করে না, এটি গ্রাফের প্রতিসাম্যবদ্ধ হওয়ার উপর নির্ভর করে।

— Andreas Björklund

এরিকসন-সিডিরোপল্লসের ফলাফল এটিএসপি-র জন্য, এটি উপরের তালিকায় পরিষ্কার নয়। অরোড়ার পিটিএএস কোনও নির্দিষ্ট মাত্রার জন্য কাজ করে। আমি "মেট্রিক এটিএসপি" শব্দটি পছন্দ করি না।

— চন্দ্র চেকুরি

Answer 2

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

নিকোলাস বোরিয়া, নিকোলাস বুগেইইস, ব্রুনো এসকফিয়ার, ভ্যাঞ্জেলিস থ। পাসচোস: কিছু গ্রাফ সমস্যার জন্য সূচকীয় আনুমানিক স্কিমার। অনলাইনে উপলব্ধ ।

Answer 3

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(কমপক্ষে ধ্রুবক ফ্যাক্টরের পরিসীমাতে) উপ-তদন্তকারী-সময় দেওয়ার পরেও আনুমানিক অনুপাতের উন্নতি দেখুন। বেশ কয়েকটি সমস্যা রয়েছে যেখানে সর্বাধিক শক্তিশালী ফলাফলটি স্যাট থেকে অকার্যকর হ্রাসের মাধ্যমে জানা যায়, অর্থাত্, কঠোরতার ফলাফলটি অর্ধ-বহুবর্ষের সময় না থাকা এনপি এর মতো একটি দুর্বল অনুমানের অধীনে। এই ধরনের ক্ষেত্রে উপ-তদন্তকারী সময়ে একটি আরও ভাল অনুমানের পেতে পারে। আমি জানি কেবলমাত্র গ্রুপ স্টেইনার ট্রি সমস্যা। সাম্প্রতিক বিখ্যাত ফলাফলটি অনন্য গেমগুলির জন্য একটি উপ-তাত্পর্যমূলক-সময়ের অ্যালগরিদমে অরোরা-বারাক-স্টিয়ারারগুলির মধ্যে একটি: এই ফলাফল থেকে আমরা যে উপসংহারটি নিয়েছি তা হ'ল ইউজিসি যদি সত্য হয় তবে স্যাট থেকে ইউজিসিতে হ্রাস কিছুটা হতে হবে অদক্ষ, অর্থাৎ, স্যাট সূত্র থেকে প্রাপ্ত ইউজিসির উদাহরণের আকারটি একটি নির্দিষ্ট ফ্যাশনে প্যারামিটারগুলির সাথে বাড়তে হয়।

Comments

$2^n$

Answer 4

ওজনযুক্ত সীমাবদ্ধ জেনাস গ্রাফের জন্য সেরা টিএসপি হ'ল http://erikdemaine.org/papers/ContrationTSP_Combinatorica/ ।

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, তবে ক্রিশ্চিয়ান সোমারের নির্দেশিত ডামাইন-হাজিয়াঘায়ে-কাওরবায়াশি ফলাফলের এটি কোনও বিশেষ ঘটনা নয়?

— অ্যালেক্স গোলভনেভ