রেফারির সাথে যোগাযোগের জটিলতা

Question

যোগাযোগের জটিলতার একটি কাঠামো ধরে নিন যেখানে আমাদের দুটি খেলোয়াড় এ (উকুন) এবং বি (ওব) এবং একটি আর (এফারি) রয়েছে। এ এবং বি সরাসরি একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে না। যোগাযোগের প্রতিটি রাউন্ডে সালে তাদের প্রতিটি একটি বার্তা (পাঠায় , আর আর করা) দুটি ফাংশন নির্ণয় এবং এবং তাদের ফলাফল পাঠায়। কাজগুলি স্থির হয়। খেলোয়াড়দের মধ্যে যোগাযোগ সীমাবদ্ধ যে ধারণাটি। তবুও রেফারি বার্তাগুলিতে কিছু প্রক্রিয়াজাত করতে পারে।$m_A$$m_B$$f_A(m_A,m_B)$$f_B(m_A,m_B)$

উদাহরণ:

এ এবং বি দুটি (স্বেচ্ছাসেবী বৃহত) সংখ্যাকে আর, আরে প্রেরণ করে তাদের মধ্যে কোনটি আরও বেশি তা পরীক্ষা করে এবং খেলোয়াড়দের অবহিত করে।

এই কাঠামোর মধ্যে আমরা একটি সাধারণ প্রোটোকল ডিজাইন করতে পারি যা সহজেই একটি একক বৃত্তাকার ব্যবহার করে নিম্নলিখিত ফাংশনটি গণনা করে। A এবং B পাঠান এবং আর করার, আর তাদের উত্তর ফেরৎ, এবং তারা আউটপুট উত্তর।$x$$y$

$$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$$

স্পষ্টতই এটি একটি আকর্ষণীয় ঘটনা নয়, যেহেতু আমরা যে ফাংশনটি কম্পিউটিং করছি তা রেফারি ফাংশনগুলির মতো same আরও আকর্ষণীয় কেসটি হ'ল যখন আমাদের একটি স্থির রৈখিক বৈষম্য থাকে এবং ভেরিয়েবলের মানগুলি প্লেয়ারের মধ্যে বিভক্ত হয় (এ হয়েছে এবং B হয়েছে )। কাজটি হ'ল বৈষম্য সঠিক কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া। এই ক্ষেত্রে প্রোটোকল হ'ল খেলোয়াড়রা তাদের অংশ গণনা করে এবং পরে তাদের রেফারিতে প্রেরণ করে।$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$$\vec{x}$$\vec{y}$

প্রশ্ন:

এই জাতীয় যোগাযোগ জটিলতা অধ্যয়ন করা হয়েছে? যদি হ্যাঁ আমি এই সম্পর্কে আরও কোথায় জানতে পারি?

---

নোট 1: 49 পৃষ্ঠায় কুশিলিভিটস এবং নিসান এমন একটি কাঠামো উল্লেখ করেছেন যা একটি রেফারি জড়িত তবে আমি যা বলছি তার থেকে একেবারেই আলাদা বলে মনে হচ্ছে।

দ্রষ্টব্য 2: আমি নিশ্চিত নই যে আর রেফারিকে কল করা সঠিক জিনিস, যদি আপনার আরও ভাল পরামর্শ থাকে তবে দয়া করে মন্তব্য করুন।

Comments

আপনি যে মডেলটির কথা বলছেন তাকে "যুগপত বার্তা পাসিং" বলা হয়

— মার্কোস ভিলাগ্রা

এই কাগজটি দেখুন ( arxiv.org/abs/quant-ph/0102001 ) এবং এর উল্লেখগুলি check বিশেষত, অ্যামবাইনিস এবং নিউম্যান এবং সেজেগেডি দ্বারা কাগজপত্রগুলি পরীক্ষা করুন।

— মার্কোস ভিলাগ্রা

রাওল জাহিন ieeexplore.ieee.org/xpl/…

— মার্কোস ভিলাগ্রা

@ মারকোসভিলাগ্রা: এসএমপি কাভেহের নোট 1 এর মতো, তাই না?

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

@ মারকোস, ধন্যবাদ, আমি সেগুলি পরীক্ষা করে দেখব, তবে বিমূর্তির উপর ভিত্তি করে আমার কাছে মনে হয় যে এসএমপি আমি বর্ণনা করছি তার থেকে আলাদা। (আমি এটি আরও পরিষ্কার করার জন্য আরও ভালো উদাহরণ আনার চেষ্টা করব যে খেলোয়াড়রা যোগাযোগের জন্য আর ব্যবহার করছেন যা বেশ কয়েক দফা নিতে পারে।) পিএস: আমি মনে করি আপনি এই মন্তব্যগুলি উত্তর হিসাবে পোস্ট করলে আরও ভাল হত।

— কাভেহ

Answer 1

আমি নিশ্চিত যে আপনি নিম্নলিখিত কাগজটি জানেন তবে আমি এটির একটি লিঙ্ক রেখেছি কারণ অন্যান্য পাঠকরা আগ্রহী: গেমস দ্বারা সংক্ষেপণ p

এই কাগজটি প্লেন কাটার জন্য নিম্ন সীমাটি দেখানোর জন্য যোগাযোগ জটিলতার কাঠামোটি ব্যবহার করার একটি প্রচেষ্টা। প্রোটোকলটি অসন্তুষ্টিজনক সিএনএফের জন্য একটি ইন্টারপোল্যান্ট সার্কিট উত্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়:

$$A(x,y)\lor B(x,z).$$

খেলোয়াড় $A$ ইনপুট পায় $a$ এবং $y^a$, প্লেয়ার $B$ পায় $b$ এবং $z^b$। প্লেন কাটতে যদি অগভীর গাছের মতো প্রমাণ থাকে তবে দুই খেলোয়াড়ের কাছে এমন একটি যোগাযোগ প্রোটোকল রয়েছে

• কোনও যোগাযোগ রেফারির মধ্যস্থতা হয়, যা প্রমাণের অসমতার মূল্যায়ন করতে সহায়তা করে;
• যোগাযোগের পরিমাণ কম (গাছ অগভীর);
• দু'জন খেলোয়াড়ই সিদ্ধান্ত নেয় কোনটি $A$ অথবা $B$ মিথ্যা বলা হয়;
• তারা একটি অবস্থান খুঁজে $i$ যা $a_i \not= b_i$।

রেফারি অসমতার জন্য একটি সম্ভাব্য প্রোটোকল রূপান্তরিত হয়। এইভাবে যোগাযোগ জটিলতার কাঠামোতে গাছের মতো প্রব্যাবিলিস্টিক প্রোটোকলগুলির জন্য গাছের মতো কাটার প্লেন প্রুফগুলির জন্য নিম্ন গণ্ডিতে রূপান্তর করা সম্ভব।

যদি আমাদের একটি পিএলএস আকারের যোগাযোগ প্রোটোকলের জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ থাকে, তবে আমরা ড্যাগের মতো কাটার প্লেন প্রমাণগুলির জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ থাকতাম।

লক্ষ্য করুন যে এই কৌশলটি বিমানগুলি কাটার আসল অনুমানের নিয়মের উপর নির্ভর করে না। যদি আমরা অনুমানের নিয়মগুলি (1) ধনাত্মক সংমিশ্রণ (2) মেঝে সহ পূর্ণসংখ্যা বিভাগ হিসাবে ধরে নিই তবে আমরা পাভেল পুডলিক যুক্তি ব্যবহার করে একঘেয়ে ইন্টারপোল্যান্ট সার্কিট তৈরি করতে পারি ।

Comments

প্রকৃতপক্ষে আমি যোগাযোগ জটিলতায় এর চেয়ে সাধারণ কিছু অধ্যয়ন করা হয়েছে কিনা তা বের করার চেষ্টা করছিলাম, তাই আমি প্রমাণ জটিলতা নিম্নবর্ণ এবং সম্ভাব্য দ্বিখণ্ডনের উত্তরগুলি পক্ষপাতিত্ব না করে উল্লেখ করি নি, তবে ধন্যবাদ। :)

— কাভেহ

হ্যাঁ, আমি ভেবেছিলাম। তবে এই ফোরামের অন্যান্য পাঠকরা আগ্রহী হতে পারে এবং প্রমাণ জটিলতায় আগ্রহী হতে পারে।

— ম্যাসিমোলোরিয়া

Answer 2

মাত্র কয়েকটি মন্তব্য। প্রথমত, কেন আমাদের মোটামুটি রেফারি দরকার তা আমি বেশ দেখতে পাচ্ছি না। যদি তার / তার ফাংশন খেলোয়াড়দের জন্য পরিচিত হয় তবে কেন তারা কেবল রেফারি অনুকরণ করতে পারে না? অ্যালিস পাঠায়$m_A$ বব, তিনি (না দেখে) $m_A$) গণনা $m_B$তার পরে, সে গণনা করে $f(m_A,m_B)$এবং ফলাফল এলিসকে বলে tells সম্ভবত আপনি ধরে নিতে পারেন$f_A$হয় না , বব পরিচিত এবং$f_B$ এলিসকে?

দ্বিতীয়ত, লিনিয়ার অসমতার সাথে সম্পর্কিত প্রোটোকলগুলি বিমানের প্রমাণগুলি কাটা প্রসঙ্গে সত্যই আকর্ষণীয়। এই ক্ষেত্রে, প্রোটোকলগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট, যেখানে বার্তাগুলির ফর্মটি খুব সীমিত :

আরও কিছুটা সুনির্দিষ্টভাবে ধরা যাক, ধরুন আমাদের পূর্ণসংখ্য সহগ সহ রৈখিক অসমতার একটি ব্যবস্থা দেওয়া হয়েছে। আমরা জানি যে সিস্টেমটির কোনও নেই$0$-$1$সমাধান। ভেরিয়েবলগুলি কোনওভাবে প্লেয়ারদের মধ্যে বিভক্ত হয় (পঞ্চাশ-পঞ্চাশ পদ্ধতিতে); এটি "সবচেয়ে খারাপ পার্টিশন" পরিস্থিতি: শত্রুরা "সবচেয়ে খারাপ" পার্টিশনটি বেছে নিতে পারে। দেওয়া a$0$-$1$স্ট্রিং, প্লেয়ারদের লক্ষ্য হ'ল একটি অসন্তুষ্ট অসমতা। অর্থাৎ, উত্তরটি এখন একটি বিট নয়, আমাদের সিস্টেমের একটি অসমতার নাম। (এটি কার্চ্মার-উইগডারসন প্রকারের যোগাযোগের খেলা))

এই জাতীয় গেমের জন্য নিম্নলিখিত সীমাবদ্ধ প্রোটোকলগুলি বিবেচনা করুন: (i) রেফারিগুলি যদি ঠিক থাকে তবে function $f(\alpha,\beta)=1$ iff $\alpha \leq \beta$, (ii) খেলোয়াড়দের বার্তাগুলি লিনিয়ারগুলিতে সীমাবদ্ধ : প্রতিটি রাউন্ডে, অ্যালিসকে অবশ্যই ফর্মটির বার্তা পাঠাতে হবে$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$, এবং বব ফর্ম বার্তা $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$।

ইমপাগ্লিয়াজো, পিটাসি এবং উরখার্ট (১৯৯৪) নিম্নলিখিতটি পর্যবেক্ষণ করেছে: কাটিয়া বিমানের প্রমাণগুলিতে ব্যবহৃত সমস্ত সহগগুলি যদি ভেরিয়েবলের সংখ্যায় বহুপদী হয় এবং যদি এই গেমটির প্রয়োজন হয়$t$ যোগাযোগের বিটস, তারপরে প্রদত্ত সিস্টেমের অসন্তুষ্টির প্রতিটি গাছের মতো প্রমাণ অবশ্যই উত্পন্ন করতে হবে $\exp(t/\log n)$অসাম্য। এরপরে তারা যোগাযোগের জটিলতার উপর জ্ঞাত নিম্ন সীমানা ব্যবহার করে তাত্পর্যপূর্ণ আকারের প্রমাণের প্রয়োজন হয় এমন একটি সুস্পষ্ট সিস্টেম দেওয়ার জন্য। এই ফলাফলের অসুবিধাটি হ'ল সিস্টেমটি খুব কৃত্রিম , এটি কোনও "আসল" অপটিমাইজেশন সমস্যার সাথে মিলে যায় না। সুতরাং একটি "আসল" অপটিমাইজেশন সমস্যার জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধতা নিয়ে আসা একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন।

এই জাতীয় সমস্যার মধ্যে একটি গ্রাফের জন্য ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট সমস্যা। একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে $G=(V,E)$ আমরা প্রতিটি ভার্টেক্সের সাথে সংযুক্ত করতে পারি $u$ একটি পরিবর্তনশীল $x_u$ এবং অসমতার সমন্বিত বৈষম্য ব্যবস্থা বিবেচনা করুন $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$, এবং সমস্ত বৈষম্য $x_u+x_v\leq 1$ সমস্ত প্রান্তের জন্য $uv$ এর $G$। যেহেতু প্রতিটি$0$-$1$ এই পরবর্তী বৈষম্যের সাবসিস্টেমের সমাধান একটি স্বতন্ত্র সেট দেয় $G$পুরো সিস্টেমটির কোনও শূন্য ওয়ান সমাধান নেই। এই জাতীয় সিস্টেমগুলির জন্য গেমগুলির যোগাযোগ জটিলতা কী?

আমাদের গ্রাফ যদি $=(L\cup R,E)$ দ্বিপক্ষীয় হয়, তারপরে তার অংশগুলি অনুসারে ভেরিয়েবলগুলি বিভক্ত করা স্বাভাবিক (বিরোধীদের পক্ষে) is এই ক্ষেত্রে, অ্যালিস একটি সাবসেট পেয়েছে$A\subseteq L$, বব একটি উপসেট $B\subseteq R$ যে প্রতিশ্রুতি দিয়ে $|A\cup B|>\alpha(G)$। লক্ষ্যটি হল একটি প্রান্ত খুঁজে পাওয়া $A$ এবং $B$। এখানে$\alpha(G)$ এটি "দ্বিপক্ষীয়" স্বাধীনতা নম্বর: সম্পূর্ণরূপে শুয়ে না থাকা একটি স্বাধীন সেটের সর্বোচ্চ আকার $L$ বা ভিতরে $R$। আমার প্রিয় সমস্যাগুলির মধ্যে একটি: এটি প্রমাণ করুন ve$n\times n$ গ্রাফ প্রয়োজন $\omega(\log^2 n)$যোগাযোগের বিট বিদ্যমান ।

@ কাভেঃ আপনার প্রশ্নের সাথে "উত্তর" দেওয়ার জন্য দুঃখিত।

Comments

আমি প্রমাণ জটিলতায় এর পরিচিত অ্যাপ্লিকেশনগুলির চেয়ে সাধারণ সিসি কাঠামোর প্রতি বেশি আগ্রহী। রেফারি দ্বারা ব্যবহৃত ফাংশনগুলি পরিচিত (তারা যেমনটি বলেছি ঠিক করা হয়েছে)। আমি কেন এই মডেলটিতে আগ্রহী তা নিয়ে বেশ কয়েকটি বিষয় রয়েছে তবে মূল বিষয়টি আমরা কীভাবে যোগাযোগের পরিমাণ পরিমাপ করতে যাচ্ছি সে সম্পর্কে। আমরা যদি কথিত বিটগুলির মোট সংখ্যায় আগ্রহী তবে আপনার প্রোটোকলটি অনুকরণ করা সম্ভব। তবে আমরা যদি রাউন্ডের সংখ্যার মতো জটিলতার আরও কয়েকটি পদক্ষেপ বিবেচনা করতে চাই তবে আমি মনে করি এটি ভিন্ন। উদাহরণস্বরূপ, একটি ক্ষেত্রে যা ব্যবহার করা হয়েছে

— কাভেহ

প্রুফ জটিলতা প্রতিটি খেলোয়াড় রেফারির কাছে একটি আসল নম্বর প্রেরণ করে। একটি আসল সংখ্যা সীমাহীনভাবে অনেকগুলি বিটকে এনকোড করতে পারে, সুতরাং আপনি যদি এটি অনুকরণ করতে চান তবে আমাদের একটি অসীম সংখ্যক বিট প্রেরণ করতে হবে এবং যদি আমরা এটির অনুমতি দিই তবে আমরা কেবল পুরো ইনপুটটি প্রেরণ করতে পারি, তাই এটি উদ্বেগহীন হয়ে ওঠে। তবে একটি রেফারির সাথে ফ্রেমওয়ার্কে রাউন্ডগুলির সংখ্যা গণনা করা আমরা একটি পৃথক পরিমাপ পাই যা কার্যকর হতে পারে (যেমন পাভেল পুডলকের প্রমাণ হিসাবে)।

— কাভেহ

@ কাভেঃ হ্যাঁ, আমরা কোন যোগাযোগকে গণ্য করি এটি বোধগম্য। তবে প্লেন কাটার ফ্রেমের ফ্রেমে আমাদের আসল নম্বর প্রেরণের যত্ন নেওয়া দরকার না । শুধু অনুমান যে সব সহগ হয় পূর্ণসংখ্যার এর$O(\log n)$ বাইনারি আকার ($n$ভেরিয়েবলের সংখ্যা)। এমনকি "রিয়েল" অপটিমাইজেশন সমস্যার (যেমন ইনডিপেন্ডেন্ট সেট) কিছু পেতে চাইলে এই (সীমাবদ্ধ) কেসটিও পরিষ্কার নয়। আমি "দানব সমস্যাগুলির" জন্য নিম্ন সীমানা পাওয়ার কোনও মজাদার নই। প্রুফ জটিলতায় থাকা লোকেরা সাধারণত "দানব" দ্বারা সন্তুষ্ট হন। তবে অপ্টিমাইজেশন তত্ত্বের লোকেরা "বাস্তব" নিম্ন সীমাটি দেখতে চান।

— স্ট্যাসিস

এগুলি একটি পার্শ্ব সমস্যা, যেমনটি আমি বলেছিলাম যে আমি প্রশ্নের মধ্যে বর্ণিত যোগাযোগের জটিলতা সম্পর্কে আরও জানতে চাই এবং ইচ্ছাকৃতভাবে এটিকে প্রমাণ জটিলতা এবং বিরক্তিগুলির সাথে যুক্ত করা এড়িয়ে চলি। আমার প্রশ্নের বিবৃতিতে প্রমাণ জটিলতার সাথে সম্পর্কিত কিছু নেই।

— কাভেহ

@ কাভেঃ যদি রেফারির কার্যকারণ খেলোয়াড়দের কাছে জানা থাকে তবে আমি এই "রেফারি প্রোটোকল" এবং "নো রেফারি প্রোটোকল" এর মধ্যে পার্থক্য দেখতে পাচ্ছি না (যদি আমি যেমন বলেছি, সংখ্যা কম)। পার্থক্যটি ঘটতে পারে যদি আমাদের কেবল এক দফা হয়: খেলোয়াড়রা তাদের বার্তা রেফারির কাছে প্রেরণ করে এবং তিনি চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত নেন। বিটিডব্লিউয়ের ক্ষেত্রে$k>2$খেলোয়াড়গণ, এটি "যুগপত বার্তা যোগাযোগ" হিসাবে পরিচিত as "দানব সমস্যা" সম্পর্কে। এখানে আমি সার্কিট জটিলতা নিয়ে নয়, বরং অপটিমাইজেশন থিওরির যে সমস্যাগুলির মুখোমুখি হয়েছে সেগুলি নিয়ে ভাবছি।

— স্ট্যাসিস