সমস্যাটি কমপক্ষে এনপি-হার্ড, 3-স্যাট থেকে হ্রাস দ্বারা।
প্রথমে নিম্নলিখিত দিকনির্দেশিত গ্রাফের প্রারম্ভ থেকে প্রস্থান পর্যন্ত কোনও সন্ধানের পথটি নিষেধাজ্ঞার সাথে বিবেচনা করুন যে কোনও পাথ কোনও ধারাটির তিনটি (বর্গ) নোড দেখতে না পারে:
( এক্স1 ∨ এক্স2 ∨ এক্স3 ) ∧ ( এক্স1 ∨ ¬ এক্স2 ∨ এক্স4 )
আমরা এই গ্রাফগুলিকে একটি সুইচ নেটওয়ার্কে রূপান্তর করি। এর জন্য আমরা তিনটি গ্যাজেট ব্যবহার করি:
- প্রতিটি বৃত্ত নোড এবং দ্বি নির্দেশমূলক প্রান্তটি একটি তারে পরিণত হয় , যা সুইচের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে।
- প্রতিটি নির্দেশিত প্রান্তটি একক স্যুইচ সমন্বিত একমুখী গ্যাজেটে পরিণত হয় (নীচে দেখুন)।
- প্রতিটি বর্গ নোড একটি ক্লজ গ্যাজেটের অংশ ( তিনটি নীচে দেখুন) যে তিনটি সুইচের একটির প্রতিনিধিত্ব করে ।
নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে, স্যুইচগুলি দুটি আগত তীর হিসাবে আঁকা হয়, যার একটি ড্যাশযুক্ত (অক্ষম)। লক্ষ্য দিকটি একটি কালো বৃত্ত দিয়ে অঙ্কিত হয় (যেমন শক্ত তীরটি শেষ পর্যন্ত বৃত্তের পাশে হওয়া উচিত)।
মন্তব্য: আমরা গ্যাজেটগুলির প্রস্থান থেকে গ্রাফের প্রস্থানটি আলাদা করতে বোল্ডফেস ব্যবহার করব ।
একজনবিবিএকজনএক্স1এক্স2এক্স3এক্স1'এক্স2'এক্স3'
মনে রাখবেন যে আসল গ্রাফের জন্য, এমন একটি পথ খুঁজে পাওয়া যা প্রস্থান করতে পরিচালিত করেছিল এবং কোনও ধারাটির তিনটি বর্গ নোড ঘুরে দেখেনি NP- সম্পূর্ণ ছিল। এখন স্যুইচগুলির টার্গেট পজিশনের বিষয়ে চিন্তা না করে রূপান্তরিত গ্রাফের প্রস্থানটি পৌঁছানোর সমস্যাটি বিবেচনা করুন ।
মূল গ্রাফ সমস্যার সমাধান যে কোনও পথই রূপান্তরিত গ্রাফের সমাধান। সুতরাং ধরুন যে রূপান্তরিত গ্রাফের জন্য কোনও পাথ মূল গ্রাফের সমাধান নয়। এটি দুটি ক্ষেত্রে ঘটতে পারে:
- বিএকজন
- কোনও পাথ কিছু ক্লজ গ্যাজেটের তিনটি পথকেই অনুসরণ করে ।
প্রথম ক্ষেত্রে, ওয়ান-ওয়ে গ্যাজেটটি অবশ্যই প্রথমে অভিপ্রায়িত দিকে যেতে হবে, সেক্ষেত্রে পথটি প্রথমে এটি অনুসরণ করা এড়াতে পারে।
সুতরাং দ্বিতীয় কেসটি বিবেচনা করুন যেখানে পথটি কয়েকটি ক্লজ গ্যাজেটের তিনটি সুইচকেই অনুসরণ করে । তারপরে সেই গ্যাজেটের তিনটি স্যুইচই উল্টে যাবে (নীচে দেখুন)। আমরা এখানে লক্ষ্য অবস্থানগুলি ব্যবহার করি। লক্ষ্য করুন ধূসর যে মেরুদন্ড এর ধারা গ্যাজেট আর পৌঁছে যাবে, যার মানে হল সুইচ আর লক্ষ্যে অবস্থানের নির্দেশ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে এই ক্লজ গ্যাজেটটি পুনরুদ্ধারযোগ্য।
এটি এখনও দেখানো যায় যে মূল গ্রাফ সমস্যার যে কোনও সমাধানের জন্য, রুপান্তরিত গ্রাফের স্যুইচগুলি তাদের লক্ষ্য স্থিতিতে স্থাপন করা যেতে পারে। এর জন্য, আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করি যে প্রস্থানটি কেবল তখনই পৌঁছতে পারে যখন কোনও সমাধান হয়, বা কিছু ক্লজ গ্যাজেটটি অপরিবর্তনযোগ্য হয়।
স্যুইচগুলি তাদের লক্ষ্য স্থানে রাখতে, আমরা এখন প্রতিটি বিদ্যমান ওয়ান-ওয়ে গ্যাজেটের প্রবেশদ্বারে প্রস্থান তার থেকে অতিরিক্ত ওয়ান-ওয়ে গ্যাজেটগুলি পাশাপাশি সমস্ত ক্লজ গ্যাজেটের তিনটি প্রস্থান তারকে যুক্ত করতে পারি । তারপরে, টোকেনটি প্রস্থানটি পৌঁছানোর পরে সমস্ত অতিরিক্ত ওয়ান-ওয়ে গ্যাজেটগুলি ট্র্যাভার করা যাবে (এবং এর ফলে তাদের লক্ষ্য স্থিতিতে রাখা হবে) এবং অবশিষ্ট স্যুইচগুলি তাদের লক্ষ্য অবস্থানে (এমনকি যদি একটি অপরিবর্তনযোগ্য ধারা না থাকে) রেখে দিতে পারে। অবশেষে, টোকেন প্রস্থানটিতে ফিরে আসতে পারে এবং ধাঁধাটি সমাধান হয়ে যায়।
আমাদের মন্তব্য করা উচিত যে ক্লোজ গ্যাজেটগুলি কেবল যখন একটি নিরীক্ষণযোগ্য প্রস্থান থেকে প্রবেশ করার সময় পুনরুদ্ধার করা যায়; এবং ক্লোজ গ্যাজেট এবং পরবর্তী ভেরিয়েবলের মধ্যে স্থাপন করা ওয়ান-ওয়ে গ্যাজেটগুলির কারণে , প্রস্থান তারের না পৌঁছানো পর্যন্ত এটি ঘটতে পারে না ।
সুতরাং, স্যুইচ নেটওয়ার্কের সমস্যাটি এনপি-হার্ড।
সমস্যাটি এনপি বা পিএসপিএসিই-তে রয়েছে কিনা তা এখনও স্পষ্ট নয়। পরিকল্পনাকারী স্যুইচ নেটওয়ার্ক নির্মাণে একটি এনপি-কঠোরতা হ্রাস, সোকোবানের সীমিত রূপগুলির জন্য দুর্দান্ত প্রভাব ফেলবে, কারণ সমস্ত স্যুইচগুলি নীচের সোকোবান গ্যাজেটের সমতুল্য।
