প্রায় একটি লিনিয়ার ডায়োফান্তাইন সমীকরণ সমাধান করা

Question

নিম্নলিখিত সমস্যা বিবেচনা করুন:

ইনপুট : একটি হাইপারপ্লেন $H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$ , মানক বাইনারি উপস্থাপনায় ভেক্টর $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$ এবং b ∈ Z দ্বারা প্রদত্ত $b \in \mathbb{Z}$।

$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

উপরে স্বরলিপি জন্য এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় , অর্থাৎ এটি পয়েন্টের সেট এবং একক বিন্দুর মধ্যে প্রাকৃতিক ইউক্যালিডিয়ান দূরত্ব ।d ( x , S ) x ∈ R n S ⊆ R n d ( x , S ) = মিনিট y ∈ S ‖ x - y ‖ $d(\mathbf{x}, S)$$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$S \subseteq \mathbb{R}^n$$d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$

কথায় কথায়, আমাদের একটি হাইপারপ্লেন দেওয়া হয়েছে এবং আমরা হাইপারপ্লেনের সবচেয়ে কাছের নিকটতম সংখ্যার জালির পয়েন্টটি সন্ধান করছি।

প্রশ্ন হচ্ছে:

এই সমস্যাটির জটিলতা কী?

নোট করুন যে এখানে বহুবর্ষের সময়টির অর্থ ইনপুটটির বিটসাইজে বহুবচন হবে। আমি যতদূর দেখতে পাচ্ছি সমস্যাটি দুটি মাত্রার মধ্যেও আকর্ষণীয়। তারপরে এটি দেখা শক্ত নয় যে কেবল দিয়ে কেবল সেগুলি সমাধানগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট তবে এটি অতিপরিচয়গতভাবে অনেকগুলি বিকল্প রয়েছে।( x 1 , x 2 ) 0 ≤ x 1 ≤ | a 1 | / জি সি ডি ( একটি 1 , একটি 2$(x_1, x_2)$$0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$

একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সমস্যা হ'ল লিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধান করা, অর্থাত্ যেমন বা এটি নির্ধারণ করে যে বিদ্যমান। সুতরাং, আমি লিনিয়ার ডায়োফান্তাইন সমীকরণটি সমাধান করাই এটি নির্ধারণের সমতুল্য যে আমি উপরে সংজ্ঞায়িত সমস্যাটির মান 0 এর সমাধান রয়েছে কিনা তা নির্ধারণের সমান। বহুবর্ষীয় সময়ে একটি লিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধান করা যেতে পারে; বাস্তবে এমনকি লিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণগুলির সিস্টেমগুলি ম্যাট্রিক্স of এর স্মিথের সাধারণ রূপকে গণনা করে বহুবচনীয় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে । বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে যা একটি পূর্ণসংখ্যার ম্যাট্রিক্সের স্মিথের সাধারণ রূপকে গণনা করে, প্রথমটি দিয়েছিলx ∈ Z n a T x = b x $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$$\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$$\mathbf{x}$$\mathbf{A}$কান্নান ও বাচেম ।

লিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি পেতে আমরা দুটি মাত্রিক ক্ষেত্রে আবার বিবেচনা করতে পারি। স্পষ্টতই, যদি ভাগ না করে তবে এর কোনও সঠিক সমাধান নেই । যদি এটি ভাগ করে দেয় , তবে আপনি দুটি সংখ্যার এবং পেতে বর্ধিত জিসিডি অ্যালগরিদমটি চালিয়ে যেতে পারেন যেমন এবং এবং । এখন আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে আনুমানিক সংস্করণটি কীভাবে পৃথক: যখন বিভাজন করে না , আমরা কীভাবে পূর্ণসংখ্যা পাই$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$b$$s$$t$$a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$x2=tb/gcd(a1,a 2 ) g c d ( a 1 , a 2 ) b x 1 , x 2 ( x 1 , x 2 ) a 1 x 1 + a 2 x 2 = $x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$x_1, x_2$যেমন এবং লাইন হ্রাস করা যায়?$(x_1, x_2)$$a_1x_1 + a_2x_2 =b$

আমার কাছে সমস্যাটি জালাগুলির নিকটতম ভেক্টর সমস্যার মতো কিছুটা মনে হচ্ছে তবে আমি অন্য কোনও সমস্যা থেকে অন্যটিতে স্পষ্টভাবে হ্রাস পাচ্ছি না।

Comments

নেই approximating গুড যুগপত Diophantine অনুমান প্রায় দ্বারা NP-হার্ড , সি Rössner এবং জেপি Seiffert, MFCS 96 আপনার প্রশ্নের উত্তর?

— কাই

না এটি করে না: ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ হ'ল ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধান করা থেকে আলাদা সমস্যা। একটি diophantine পড়তা সমস্যা আপনি দেওয়া করছি এন বাস্তব সংখ্যা এবং আপনি তাদের গুন করতে চান সমস্ত একটি একক দ্বারা পূর্ণসংখ্যা প্রশ্ন যাতে তাদের সব মধ্যে রয়েছে ε কিছু পূর্ণসংখ্যা থেকে। ইস্যু সেখানে মাপ মধ্যে অনুকূল ট্রেড বন্ধ খোঁজার হয় প্রশ্নঃ এবং ε । আমি আমার সমস্যা এবং এইটির মধ্যে কোনও সম্পর্ক দেখতে পাচ্ছি না। $n$$Q$$\epsilon$$Q$$\epsilon$

— সাশো নিকোলভ

আপনার ইনপুট ফর্ম্যাট কি? মনে হচ্ছে যেন কোন দুটি তুল্য যদি মান একটি বেখাপ হয় তখন প্রশ্ন ন্যূনতম শূন্য (উপযুক্ত 2-মাত্রিক সমতল ছেদ হয় ফর্মের একটি সমীকরণ পেতে গুলি এক্স + + T Y = W সঙ্গে গুলি এবং টন অসমানুপাতিক, অর্থাত্ । ≡ $\mathbf{a}$$sx+ty=w$$s$$t$t অযৌক্তিক, এবং তারপর মান ফলাফল ব্যবহার{এনα$\alpha \equiv \frac{s}{t}$( মোড1 ) এটি দেখানোর জন্য যে লাইনটি জাল পয়েন্টগুলির কাছে নির্বিচারে পাস করে। $\left\{n\alpha\right\}\pmod 1$

— স্টিভেন স্টাডনিকি

বিশেষত, এর অর্থ হ'ল আপনার 'মিনিট' একটি 'ইনফ' হওয়া উচিত (আপনি এটি একেবারে অনেকগুলি পয়েন্ট ধরে নিয়ে যাচ্ছেন) এবং i n f d ( x , H ) = 0  এর সমস্যাটি প্রশ্ন থেকে আলাদা is ডি ( x , এইচ ) = 0 দিয়ে কিছু এক্স রয়েছে কিনা তা সম্পর্কে । এই উপায়ে কোফিসিয়েন্টস একটি সমস্যা nontrivial সমাধান আছে করার জন্য মূলদ সংখ্যার হতে হবে, এবং তারপর সমস্যা একটি খুব ইউক্লিডিয় ফর্ম, ঘনিষ্ঠভাবে বহুমাত্রিক GCD অ্যালগোরিদম মিলিত নিতে বলে মনে হয়। আমি কিছু অনুপস্থিত করছি? $\mathrm{inf}\ d(\mathbf{x},H)=0$$\mathbf{x}$$d(\mathbf{x},H)=0$$\mathbf{a}$

— স্টিভেন স্টাডনিকি

পছন্দ করুন আপনি একটি ∈ Z n এবং b ∈ Z ধরে নিতে পারেন (আমি এটি প্রশ্নের সাথে যোগ করব, আমি অবশ্যই এটি মিস করেছি)। ইনপুটটি স্ট্যান্ডার্ড বাইনারি উপস্থাপনায় দেওয়া হয়। এন = 2 থাকা সত্ত্বেও প্রশ্নটি আকর্ষণীয় । তারপর, এটা সব সম্ভাব্য সমাধান বিবেচনা করতে যথেষ্ট ( এক্স 1 , x এর 2 ) সঙ্গে এক্স 1 ≤ | a 1 | / জি সি ডি ( একটি 1 , একটি 2$\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$$b \in \mathbb{Z}$$n = 2$$(x_1, x_2)$$x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$কিন্তু bruteforce অনুসন্ধানের বাইনারি প্রতিনিধিত্ব superpolynomial হতে হবে একটি 1 , একটি 2 । $a_1, a_2$

— সাশো নিকোলভ

Answer 1

ঠিক আছে, এ সম্পর্কে আরও চিন্তা করে আমি বিশ্বাস করি যে এই সমস্যা থেকে প্রসারিত জিসিডিতে আমার স্পষ্ট হ্রাস আছে; আমি n = 2 ক্ষেত্রে এটি ব্যাখ্যা করব , তবে আমি বিশ্বাস করি যে এটি নির্বিচারে এন পর্যন্ত প্রসারিত । নোট যে এই খুঁজে বের করে একটি এক্স যে ছোট hyperplane দূরত্ব, কিন্তু না অগত্যা ক্ষুদ্রতম এক্স (সেখানে অসীম অনেক মান যে একই ন্যূনতম দূরত্ব সাধা আসলে হয়) - আমি বিশ্বাস করি পরেরটির সমস্যা এছাড়াও সম্ভবপর হয়, কিন্তু না দেওয়া আছে এটি এখনও কোন বাস্তব চিন্তা। অ্যালগোরিদম কয়েকটি সাধারণ নীতি ভিত্তিক:$n=2$$n$ $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$

• যদি g = G C D ( a 1 , a 2 ) , তবে একটি ⋅ x = a 1 x 1 + a 2 x 2 দ্বারা গৃহীত মানগুলির সেটটি যথাযথভাবে { 0 , ± g , ± 2 g , ± 3 g , … } ; উপরন্তু, মান x 1 এবং x 2 সঙ্গে একটি 1 এক্স $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$$\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$$x_1$$x_2$+ a 2 x 2 = g দক্ষতার সাথে পাওয়া যাবে (এটি হ'ল প্রসারিত ইউক্লিডিয়ান অ্যালগোরিদম)।$a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
• হাইপারপ্লেন থেকে জালির বিন্দুতে ন্যূনতম দূরত্ব হ'ল জালির উপরের বিন্দু থেকে হাইপারপ্লেনের সর্বনিম্ন দূরত্ব (স্পষ্টতই, তবে সমস্যার একটি কার্যকর বিপরীতে)।
• হাইপারপ্লেন a ⋅ y = b এর প্রদত্ত বিন্দু x থেকে দূরত্বটি আনুপাতিক | a ⋅ x - বি | (বিশেষত, এটি 1 / | a | এই মানটির চেয়ে বহুগুণ বেশি) তবে যেহেতু এই মান দ্বারা সমস্ত দূরত্বকে গুণিত করে ন্যূনতমের অবস্থানের উপর কোনও প্রভাব পড়ে না, তাই আমরা স্বাভাবিককরণের কারণটিকে উপেক্ষা করতে পারি)।$\mathbf{x}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$$1/|\mathbf{a}|$

এটি নিম্নলিখিত পদ্ধতির পরামর্শ দেয়:

• কম্পিউট ছ = জি সি ডি ( একটি 1 , একটি 2 ) , সহ এক্স 0 1 , x 0 2 যেমন যে একটি 1 এক্স 0 1 + + একটি 2 এক্স 0 2 = ছ ।$g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$$x^0_1, x^0_2$$a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
• গণনা r = ⌊ খg ⌋এবং গণনাd=মিনিট(খ-আরজি,(আর+1)জি-বি); ডিহ'ল হাইপারপ্লেন থেকে জাল থেকে নূন্যতম দূরত্ব (স্কেলড)। যাকগুলিপারেন হতেদবাদ+ +1(=⌈$r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$$d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$$d$$s$$r$$r+1$ছ ⌉, যদি নাখএর গুণিতক হয়ছ) কোনটি লাভ ন্যূনতম দূরত্ব উপর নির্ভর করে।$=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$$b$$g$
• গণনা x 1 = s x 0 1 এবং x 2 = s x 0 2 ; তারপরে a ⋅ x = s g হল g থেকে b এর নিকটতম একাধিক এবং এইভাবে | a ⋅ x - বি | সমস্ত জাল পয়েন্টের মধ্যে এই দূরত্বের সর্বনিম্ন অর্জন করে।$x_1 = sx^0_1$$x_2 = s x^0_2$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$$g$$b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

যতদূর আমি জানি, সঠিক একই পদ্ধতিটি নির্বিচারে মাত্রায় সঠিকভাবে কাজ করা উচিত; কী যে হয় এন -dimensional GCD এখনো সন্তুষ্ট Bezout পরিচয়, এবং তাই একটি জাফরি বিন্দু আপনি শুধুমাত্র নিকটতম গুণিতক খুঁজতে আছে ন্যূনতম দূরত্ব এটি ছ থেকে খ ।$n$$g$$b$