সর্বনিম্ন প্রত্যাশিত l2 আদর্শ সহ উত্তল বডি

উত্স এবং প্রতিসাম্হিক কেন্দ্রীভূত একটি উত্তল দেহ বিবেচনা করুন $K$ (যেমন যদি $x\in K$ তখন $-x\in K$ )। আমি একটি ভিন্ন উত্তল দেহ $L$ যা $K\subseteq L$ এবং নীচের পরিমাপটি হ্রাস করা হয়:

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , যেখানে $x$ একটি বিন্দু L. থেকে এলোমেলোভাবে অবিশেষে মনোনীত হয়

আমি পরিমাপের ধ্রুবক ফ্যাক্টর অনুমানের সাথে ঠিক আছি।

কিছু নোট - প্রথম স্বজ্ঞাত অনুমান যে $K$ নিজেই উত্তরটি ভুল। উদাহরণস্বরূপ $K$ খুব উচ্চ মাত্রায় একটি পাতলা সিলিন্ডার হিসাবে বিবেচনা করুন । তারপর আমরা পেতে পারেন $L$ যেমন যে $f(L)<f(K)$ লেট করে $L$ উৎপত্তি আরো ভলিউম ঘনিষ্ঠ আছে।

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— অশ্বিনীকুমার বিভি
সূত্র

এটির মূল্যহীন কিছুই নয়, সমস্যাটি কঠিন দেখায়। এমনকি 3 ডি-তে এটি কীভাবে সমাধান করা যায় তা স্পষ্ট নয়।

— সারিল হার-পিল্ড

এটি কীভাবে 2 ডি-তে অনুকূলভাবে করা যায় তা সুস্পষ্ট? অবশ্যই 2 ডি-তে একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর আনুমানিক হয় te

— অশ্বিনীকুমার বিভি

এটা আমার কাছে সুস্পষ্ট নয়। একটি উপবৃত্তাকার www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf দ্বারা আকারটি প্রায় অনুমান করে ধ্রুবক ফ্যাক্টরের আনুমানিকতা কোনও মাত্রায় সুস্পষ্ট। ধ্রুবক মাত্রা উপর নির্ভর করবে।

— সারিল হার-পিল্ড

ধ্রুবক মাত্রার উপর নির্ভর করে না যেখানে আমি ধ্রুবক ফ্যাক্টর আনুমানিককরণে আরও আগ্রহী।

— অশ্বিনীকুমার বিভি

স্বাভাবিকভাবে. তবে আমাকে এটি আবার নিতে দাও - এমনকি এলিপসয়েডের ঘটনাটিও সুস্পষ্ট নয়। আপনি যদি এই সমস্যাটিতে আক্রমণ করতে চান তবে এটি তদন্তের প্রথম সংস্করণ হবে। স্বজ্ঞাতভাবে, আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে কোন মাত্রা উপেক্ষা করবেন এবং কোন মাত্রা প্রসারিত হবে। দেখে মনে হচ্ছে প্রাকৃতিক সমাধান হ'ল এলিপসয়েডের মিলনের উত্তোলন হোল যা অন্য এলিপসয়েডের সাথে মিলিত হয়, যেখানে নতুন উপবৃত্তের অক্ষগুলি হয় কিছু প্যারামিটার আর এর সমান বা অন্য উপবৃত্তাকার সমান হয়।

— সারিল হার-পিল্ড

উত্তর:

যদি আমরা এবং উভয়ই উপবৃত্তীয় হিসাবে সীমাবদ্ধ রাখি তবে আপনার সমস্যাটি কোনও এসডিপি দিয়ে যে কোনও নির্ভুলতার জন্য সমাধান করা যেতে পারে। আমি জানি আপনি এটি মূলত যা চেয়েছিলেন তা নয়, তবে মনে হয় এই সীমাবদ্ধ মামলার জন্য আমাদের কোনও সমাধান নেই, এবং সম্ভবত এটি সাধারণভাবে সহায়তা করতে পারে। $K$ $L$

সুতরাং আসুন ধরা যাক হ'ল ইনপুট উপবৃত্তাকার এবং আমরা একটি অনুকূল এনক্লোজিং উপবৃত্তাকার । একটি লিনিয়ার মানচিত্র st এবং একটি মানচিত্র st , যেখানে ইউনিট বল is তারপরে $E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ । এছাড়াও, যেখানেহয়পোলার শরীরএর। সুবিধাজনকভাবে,এবং $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ । এটা অনুসরণ করে যে (এবং ) যদি এবং কেবল যদি একটি ইতিবাচক semidefinite ম্যাট্রিক্স হয়। $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

সুতরাং আভ্যন্তরীন উৎপাদন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়: একটি প্রতিসম পিএসডি ম্যাট্রিক্স দেওয়া , একটি প্রতিসম পিএসডি ম্যাট্রিক্স এটি ম পিএসডি এবং মিনিমাইজ করা হয়। এসডিপি সমাধানের মাধ্যমে পাওয়া যাবে এবং তারপরে একটি এসভিডি অক্ষ এবং অক্ষগুলির দৈর্ঘ্য দেবে । $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

(মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, নীচের পদ্ধতিটি কার্যকর হয় না The প্রাপ্ত বস্তু উত্তল নয় It এটি নূন্যতম প্রত্যাশিত দূরত্ব সহ একটি "তারা-আকৃতির" বস্তুর বৈশিষ্ট্যযুক্ত))

আমি মনে করি অনুকূল অবজেক্টটি এবং মূলত কিছু বল কেন্দ্রিক একটি ইউনিয়ন হবে । এখানে আমার চিন্তা। আপনার সংজ্ঞা দ্বারা , $K$ $f(L)$ যেখানেপৃষ্ঠতলের মূল থেকে দূরত্বএকটি নির্দিষ্ট অভিমুখ বরাবর। আমি ব্যবহৃত= পরিবর্তে, কারণ আমি কিছু ধ্রুবক ছেড়ে দিয়েছিলেন। এখন আমরা কমান চানসীমাবদ্ধতার অধীনে যেকোন দিক বরাবর। লক্ষ্য করুন যেকিছু দিক বরাবরযদিচেয়ে ছোট হয়

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$

r_{K}

$r_K$

, তারপরে আমরা এটিকে কিছুটা বড় করে তুলতে পারি, বলুন

ছোটকরতেএটি

বাড়িয়ে নিন। কারণ আমরা

গুণক বাড়িয়েছি, একটি ফ্যাক্টর

চেয়ে কম

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$ ডিনোমিনেটর বৃদ্ধি। অতএব, আমরা ধীরে ধীরে "কে বিকৃত" মনে করতে পারেন

(বারবার বস্তুর সামান্য ক্রমবর্ধমান দ্বারা, এবং আপডেট

) তার করতে

মান ছোট করা হয়েছে। যাক

শেষ উত্তল অবজেক্ট হতে। এর পরে, যে কোনো স্থানে

দূরত্ব এ

মূল থেকে, অর্থাত্,

ইউনিয়নের

এবং ব্যাসার্ধ সঙ্গে একটি বল

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

।

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

নিশ্চয় বিবেচনা আরেকটি উত্তল বস্তুর যেমন যে । তারপর , যেহেতু অন্যথায় আমরা অংশ বৃদ্ধি করতে পারেন ভিতরে করতে ছোট করা হয়েছে। অন্যদিকে, , কারণ অন্যথায়, একই ধারণা মাধ্যমে আমরা অংশ সঙ্কুচিত করতে পারেন বাহিরে $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ করতে ছোট করা হয়েছে। সুতরাং একটি অনন্য অনুকূল সমাধান আছে। $g(K')$

— user7852
সূত্র

হতে পারে আমি কিছু মিস করছি, তবে কেন এই উপায়ে উত্পন্ন জিনিসটি?

— mjqxxxx

@ এমজেকিএক্সএক্সএক্সএক্সএক্স আমি কীভাবে এটি মিস করেছি ...

— ব্যবহারকারীর 7858

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

আমি সম্মত হই যে এল যদি উত্তল দেহে সীমাবদ্ধ না থাকে তবে এটি কে এবং একটি বলের মিল।

— অশ্বিনীকুমার বিভি

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

নিম্নলিখিত অনুমানটি এই অনুমান / অনুমানের উপর ভিত্তি করে [প্রমাণিত হতে]:

$\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

$K,K'$

$K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$

— মার্কো
সূত্র

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$