ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস টাইপ করা ফাংশনগুলি গণনা করতে পারে না

12

আমি কেবল ফাংশনগুলির কয়েকটি উদাহরণ জানতে চাই যা টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলিয়াস দ্বারা টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলিয়াস দ্বারা গণনা করা যায়।

যেহেতু আমি একজন শিক্ষানবিস, পটভূমি তথ্যের কিছু পুনরাবৃত্তি প্রশংসা করা হবে।

ধন্যবাদ।

সম্পাদনা করুন: টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলি দ্বারা, আমি সিস্টেম এফ এবং কেবল-টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস সম্পর্কে জানতে চাইছিলাম। ফাংশন দ্বারা, আমি কোনও টিউরিং-কম্পিউটেবল ফাংশন বলতে চাই।

— টিমোথি জ্যাকারি
সূত্র

অনেক টাইপিং নিয়মানুবর্তিতা জন্য বিদ্যমান

-calculi, এবং আপনার অনুরোধ উত্তর টাইপিং শৃঙ্খলা যা পছন্দ আপনি মনের মধ্যে রয়েছে আংশিকভাবে নির্ভর করে। এটি আপনাকে ফাংশন বলতে কী বোঝায় তার উপরও নির্ভর করে। পার্থক্যের একটি উদাহরণ হ'ল সিস্টেম এফের মতো টাইপিং শৃঙ্খলাগুলি কেবলমাত্র নরমালাইজিং প্রোগ্রামগুলি টাইপ করতে পারে, অন্যদিকে টাইপযুক্ত

-ক্যালকুলাসে নন-নরমালিং পদ থাকে।

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— মার্টিন বার্গার

আমি সিস্টেম এফ এবং সাধারণ টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস সম্পর্কে ভাবছিলাম। ফাংশন দ্বারা, আমি টিউরিং-গণনাযোগ্য ফাংশন বলতে চাই।

— টিমোথি জ্যাকারি

15

গডিলাইজেশন দ্বারা একটি দুর্দান্ত উদাহরণ দেওয়া হয়েছে: ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে, কোনও ফাংশনটি দিয়ে আপনি কেবলমাত্র এটিই করতে পারেন এটি প্রয়োগ করা। ফলস্বরূপ, কোন উপায় ধরনের একটি বদ্ধ ফাংশন লিখতে হয় , যা একটি ফাংশন যুক্তি লাগে এবং এটির জন্য একটি গোডেলের কোড ফেরৎ। $(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

এটিকে হিটিং গাণিতিকের একটি অক্ষ হিসাবে যুক্ত করার জন্য সাধারণত "গঠনমূলক চার্চ থিসিস" নামে পরিচিত, এবং এটি একটি দৃ strongly়-শাস্ত্রীয় বিরোধী অক্ষরূপ। যথা, এটি এএএ-তে যুক্ত করার জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে পানো পাথের গাণিতিকের সাথে নয়! (মূলত, এটি একটি ধ্রুপদী সত্য যে প্রতিটি টিউরিং মেশিন বন্ধ হয়ে যায় বা না, এবং এমন কোনও গণনীয় কার্য নেই যা এই সত্যটি প্রত্যক্ষ করতে পারে))

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

আমি বুঝতে পারি না এটি কীভাবে একটি এক্সটেনশনাল তত্ত্বের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ: f এবং g এক্সটেনশনালি সমান রাখুন, তবে বিভিন্ন বাস্তবায়ন এবং তাই বিভিন্ন গডেল কোড সহ। আপনার ফাংশন এফ এবং জি এর জন্য একই সংখ্যাটি ফেরত দেয়?

— કોડি

3

এটি এক্সটেনশনেটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়! যাইহোক, মধ্যে ha

এবং

যৌক্তিক connectives না ফাংশন / রেকর্ড আছে। সুতরাং সেগুলি উপলব্ধিযোগ্য হতে হবে তবে তাদের আদায়কারীদের এক্সটেনশনাল হতে হবে না। আন্দ্রেজ বাউয়ার এই স্টাফের বিশেষজ্ঞ, তাই আপনি যদি কোনও প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেন তবে আপনি একটি ভাল উত্তর পেতে নিশ্চিত।

\forall

$\forall$

\exists

$\exists$

— নীল কৃষ্ণস্বামী 20'12

11

সবচেয়ে সহজ উত্তরটি এই সত্য দ্বারা দেওয়া হয় যে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলি লজিকগুলির সাথে সামঞ্জস্য করে (কেবল টাইপড ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস -> প্রিডিকেট লজিক; সিস্টেম এফ -> দ্বিতীয়-আদেশ যুক্তি) এবং ধারাবাহিক লজিকগুলি তাদের নিজস্ব ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে না।

সুতরাং আসুন আমরা বলি যে আপনার টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসে আপনার কাছে প্রাকৃতিক সংখ্যা (বা প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির একটি চার্চ এনকোডিং) রয়েছে। সিস্টেম এফের প্রতিটি শব্দকে একটি অনন্য প্রাকৃতিক সংখ্যায় নির্ধারণ করে এমন একটি জিডেল নম্বর করা সম্ভব। এর পরে, সেখানে একটি ফাংশন যে কোনো প্রাকৃতিক নম্বর (যে সিস্টেম এফ একটি সুন্দরভাবে-টাইপ করা শব্দ সাথে সঙ্গতিপূর্ণ) অন্য প্রাকৃতিক নম্বরে (যে যা সঠিকভাবে টাইপ সিস্টেম এফ মেয়াদের স্বাভাবিক ফর্ম সাথে সঙ্গতিপূর্ণ) জন্য নেয় এবং অন্য কিছু না যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা যা সিস্টেম এফ-তে একটি ভাল-টাইপ শব্দটির সাথে সামঞ্জস্য করে না (বলুন, এটি শূন্য ফিরে আসে)। ফাংশন গণনাযোগ্য, সুতরাং এটি টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস দ্বারা গণনা করা যায় তবে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস নয় (কারণ পরবর্তীটি দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তির সুসংগততার প্রমাণ হিসাবে পরিগণিত হবে ) $f$ $f$ দ্বিতীয়-অর্ডার যুক্তি, যা বোঝায় যে দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তিটি অসঙ্গত)।

সতর্কীকরণ 1: যদি দ্বিতীয়-অর্ডার যুক্তিবিজ্ঞান হয় অসঙ্গত, এটা হতে পারে লেখার করা সম্ভব হতে সিস্টেম এফ করুন ... এবং / অথবা এটা হতে পারে লেখার করা সম্ভব নাও হতে untyped ল্যামডা ক্যালকুলাস - আপনি কিছু লিখতে পারে, কিন্তু এটা না পারে সর্বদা অবসান করুন, যা "গণনাযোগ্য" এর মানদণ্ড। $f$ $f$

ক্যাভেট ২: কখনও কখনও "কেবল টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস" দ্বারা লোকেরা বোঝায় "একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট অপারেটর বা পুনরাবৃত্ত ফাংশন সহ কেবল টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস।" এটি আরও কম-বেশি পিসিএফ হবে , যা কোনও টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসের মতো কোনও গণনাযোগ্য ফাংশন গণনা করতে পারে।

— রব সিমন্স
সূত্র

10

Untyped -calculus posseses আকারে সাধারণ পুনরাবৃত্তির combinator। কেবল-টাইপ করা -ক্যালকুলাস না। সুতরাং, সাধারণ পুনরাবৃত্তি প্রয়োজন যে কোনও ফাংশন হ'ল প্রার্থী, উদাহরণস্বরূপ অ্যাকারম্যান ফাংশন। (প্রতিটি সিস্টেমে আমরা কীভাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করি সে সম্পর্কে কিছু বিশদটি এড়িয়ে যাচ্ছি তবে মূলত যে কোনও যুক্তিসঙ্গত পদ্ধতিই তা করবে)) $\lambda$ $Y$ $\lambda$

অবশ্যই, আপনি সবসময় প্রসারিত করতে পারেন কেবল টাইপ -calculus শক্তি মেলে , কিন্তু তারপর আপনি খেলার নিয়ম পরিবর্তন করছি। $\lambda$ $Y$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

কোনও কারণে আমার মাথায় এটি ছিল যে আপনি সিস্টেম এফ-এ একারম্যান করতে পারবেন ...

— রব সিমন্স

@ রব, যেমনটি আমি বুঝতে পেরেছি, আন্দ্রেজ বলে না যে এটি ঘটেনি।

— কাভেহ

1

আমি অনুমান আমি বললাম Ackermann ফাংশন untyped মধ্যে প্রোগ্রাম করা যেতে পারে

-calculus (কারণ যে গণনীয় কাজ করতে পারে), কিন্তু কোন কেবল টাইপ

-calculus। আমি সিস্টেম এফ সম্পর্কে কিছুই বলিনি

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— আন্দ্রেজ বাউর

ওহ, ঠিক আছে, আমি কেবল বোবা হয়ে যাচ্ছিলাম। (যেহেতু প্রশ্নটি সিস্টেম এফ সম্পর্কে কথা বলা এবং এসটিএলসি সম্পর্কে কথা বলার মধ্যে বেশ অস্পষ্ট ছিল, তাই আমি আরও শক্তিশালী সিস্টেমটি বেছে নিয়েছিলাম এবং সহজ প্রশ্নটি ভুলে গিয়েছি))

— রব সিমন্স

মধ্যে Ackermann ফাংশন

-calculus হয়

। আমি এই সেমিস্টারটি তৈরি করেছি এমন একটি টাইপ ইনফেরেন্সার অনুসারে এর সরল প্রকার রয়েছে:

λ

$\lambda$

λ m . m (λ f n . n f (f \underline{1})) s u c

$\lambda m.m(\lambda f n.n f(f \underline{1}))~\mathsf{suc}$

, যা নৃশংস, কিন্তু সম্ভবত সঠিক । এসটিএসের সমস্যাটি অ্যাকারম্যান নয় - এটি উদাহরণস্বরূপ, একটি টুরিং মেশিনের অনুকরণ করে।

সংযুক্তকারীছাড়া আপনি কেবল এটি করতে পারবেন না।

(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)

$(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)$

\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d

$\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d$

Y

$Y$

— ফ্রান্সিসকো মোটা

6

সাধারণভাবে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসটি আশ্চর্যজনকভাবে দুর্বল। উদাহরণস্বরূপ, এটি নিয়মিত ভাষা চিনতে পারে না । যদিও এসটিএলসি সনাক্ত করতে পারে এমন ভাষার সেটের একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য আমি পাইনি। $\mathtt{a}^*$

— স্যাম টোবিন-হচস্টাড্ট
সূত্র

5

(p \to p) \to p \to p

$(p \to p) \to p \to p$

p

$p$

2

$\lambda$

@ মার্টিং: ধন্যবাদ! আমি এখন জার্মানিতে বাস করছি, তাই আমার জার্মান অনুশীলনের জন্য এটি একটি দুর্দান্ত অতিরিক্ত উত্সাহ। :)

— নীল কৃষ্ণস্বামী

4

আমি পছন্দ করি ক্যালকুলি দৃ strongly়ভাবে স্বাভাবিক করার সীমাগুলির এক দৃষ্টিপাত হ'ল সংযোগযোগ্যতা কোণ। দৃ simply়ভাবে সাধারণ টাইপ করা ক্যালকুলাসের মতো, যেমন কোর সহজভাবে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস, সিস্টেম এফ, বা কনস্ট্রাকশনসের ক্যালকুলাস, আপনার কাছে একটি প্রমাণ রয়েছে যে সমস্ত পদ অবশেষে শেষ হয়ে যায়।

যদি এই প্রমাণটি গঠনমূলক হয় তবে আপনি গণনার সময় গ্যারান্টিযুক্ত উপরের-আবদ্ধ সমস্ত শর্তাদি মূল্যায়নের জন্য একটি নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম পান। অথবা আপনি (অগত্যা নয়-গঠনমূলক) প্রমাণও অধ্যয়ন করতে পারেন এবং এ থেকে একটি উপরের-আবদ্ধটি বের করতে পারেন - যা সম্ভবত বিশাল হতে পারে , কারণ এই ক্যালকুলি ভাব প্রকাশ করে।

এই সীমা আপনাকে ফাংশনের "প্রাকৃতিক" উদাহরণ দেয় যা এই নির্দিষ্ট ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাসে টাইপ করা যায় না: সমস্ত পাটিগণিত ফাংশন যা এই সীমাটির চেয়ে asyptotically উচ্চতর।

যদ্দুর মনে পড়ে, কেবল টাইপ ল্যামডা-ক্যালকুলাস টাইপ পদ সূচকীয় এর টাওয়ার মূল্যায়ন করা যেতে পারে: O(2^(2^(...(2^n)..); এই ধরনের সমস্ত টাওয়ারের চেয়ে দ্রুত বাড়ছে একটি ফাংশন এই ক্যালকুলিতে প্রকাশযোগ্য হবে না। সিস্টেম এফ অন্তর্দৃষ্টিবিদ দ্বিতীয়-আদেশ যুক্তির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, তাই কম্পিউটিবেটি শক্তি কেবল বিশাল। আরও বেশি শক্তিশালী তত্ত্বগুলির কম্পিউটারের শক্তি গ্রহণ করার জন্য আমরা সাধারণত কম্পিউটার তত্ত্বের পরিবর্তে সেট থিওরি এবং মডেল তত্ত্ব (উদাহরণস্বরূপ কী অর্ডিনালগুলি তৈরি করা যেতে পারে) এর ক্ষেত্রে বিবেচনা করি।

— gasche
সূত্র

0

$\Delta = \lambda x. x x$ $\Delta \Delta \to_\beta ~\Delta \Delta$ $\Delta$ $A$ $A = A \to A$

— চার্লস
সূত্র

λ

$\lambda$

A

$A$

A \equiv A \to A

$A\equiv A \to A$

হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন, তবে আমি ভেবেছিলাম (সম্ভবত আমি ভুল) যে কেবলমাত্র টাইপ করা ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস বা সিস্টেম এফ এ জাতীয় ধরণ সম্ভব নয়, যা উভয়ই দৃ strongly়তর করে তোলে izing

— চার্লস

Δ Δ

$\Delta\Delta$

Δ Δ

$\Delta\Delta$

@Kaveh কেন একটি টাইপ হচ্ছে না Aযেমন যে A \ident A \rightarrow Aঅদ্ভুত না? এটা আমার কাছে অযৌক্তিক মনে হচ্ছে, আমি কী উপেক্ষা করছি?

— মার্টিজন

আপনি সম্ভবত সেগুলি এবং সেগুলির উপরে ফাংশন স্পেস সম্পর্কে ক্লাসিকভাবে চিন্তা করছেন। উদাহরণস্বরূপ তাদের উপর সসীম বাইনারি স্ট্রিং এবং গণনীয় ফাংশন সম্পর্কে ভাবেন।

— কাভেহ