অপ্টিমাইজেশন সমস্যা সেট করুন - এটি এনপি-সম্পূর্ণ?

সেট $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ দেওয়া হয়। প্রতিটি উপাদান $e_i$ আমাদের ওজন $w_i>0$ এবং দাম $c_i>0$ । লক্ষ্যটি হ'ল আকারের এর সাবসেট যা নীচের উদ্দেশ্যমূলক কার্যটি সর্বাধিক করে তোলে : $M$ $k$

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin M} w_{i} c_{i}}{\sum_{e_{i} \notin M} c_{i}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$ ।

সমস্যা কি এনপি-হার্ড?

যেহেতু উদ্দেশ্য ফাংশনটি অদ্ভুত বলে মনে হয়, তাই এটি উদ্দেশ্য কার্যকারিতার কোনও প্রয়োগ ব্যাখ্যা করতে সহায়ক explain

ধরুন আমরা আছে এন আইটেম $e_1$ থেকে $e_n$ এবং আছে $c_i$ প্রতিটি বস্তুর কপি $e_i$ আমাদের জায় হবে। আমাদের কিছু গ্রাহক রয়েছে এবং তারা তাদের ওজন সাথে অনুপাতের সাথে এই বিষয়গুলিতে আগ্রহী $w_i$ , যার অর্থ বৃহত্তর সহ বস্তুটি $w_i$ আরও জনপ্রিয়। আমাদের একটি অনলাইন বিক্রয় ব্যবস্থা রয়েছে এবং আমাদের গ্রাহকের অনুরোধগুলির সঠিক উত্তর দিতে হবে। আমরা তাদের আকারগুলি দ্বারা বস্তুগুলি সনাক্ত করতে পারি না (তারা সকলেই একরকম দেখাচ্ছে!)। তবে আমাদের এটির জন্য কিছু শ্রেণিবদ্ধ রয়েছে। প্রতিটি শ্রেণিবদ্ধকারী কোনও সামগ্রীর অনুলিপি সনাক্ত করতে ব্যবহার করতে পারেন। আমাদের গ্রাহকের সন্তুষ্টি বাড়ানোর জন্য আমরা কে ক্লাসিফায়ার চালানোর লক্ষ্য রেখেছি।

দ্রষ্টব্য: এটা যদি আমার মনে হয় উপযোগী হতে পারে যে সকলের জন্য ; তবে, আমি নিশ্চিত নই। [ আমি এই সম্পর্কে ভুল ছিলাম! এটি এই ধারণার মাধ্যমে পি তে রয়েছে ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— Nasooh
সূত্র

সঠিক শব্দটি এম-তে নয় এমন কোনও উপাদানের বৃহত্তম ওজনের তুলনায় কম বা সমান So সুতরাং আপনার যদি একটি বড় ওজনযুক্ত একটি উপাদান থাকে তবে এটি এম নষ্ট করার পরিবর্তে এটি এমতে রাখা ভাল। সুতরাং এম এর সবচেয়ে বড় ওজনের উপাদানগুলির সমন্বিত হওয়া উচিত। রাইট?

— zotachidil

এটি সঠিক নয়, কারণ ব্যয়গুলি পাশাপাশি গুরুত্বপূর্ণ। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:

— নাসোহ

ডাব্লু 1 = 50, সি 1 = 80 - ডাব্লু 2 = 40, সি 2 = 15 - ডব্লু 3 = 10, সি 3 = 5। K এর জন্য 1 সমান ই 2 পছন্দ করা ই 1 এর চেয়ে বেশি উপকারী।

— নাসোহ

তুমি ঠিক বলছো. হুম ...

— জোটাচিডিল

অনুপ্রেরণা ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। দুর্ভাগ্যক্রমে, আপনার ব্যাখ্যা এবং প্রশ্নের উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের মধ্যে সংযোগটি এখনও আমার কাছে সম্পূর্ণ অস্পষ্ট, তবে আমি অনুমান করি যে প্রশ্নটি যুক্তিসঙ্গত দৈর্ঘ্যের মধ্যে রাখার জন্য আমার বর্তমান ব্যাখ্যায় সন্তুষ্ট থাকতে হবে।

— সোসোশি ইটো

উত্তর:

নীচের উত্তরটি পর্যবেক্ষণ করেছে যে বহুবিধ সময়ে সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধান করা যায়। এটি পোস্টে প্রশ্নের পুরোপুরি উত্তর দেয় না, তবে এনপি-কঠোরতার প্রমাণের জন্য কী প্রয়োজন হতে পারে এবং কিছুটা পোস্টে আরও আগ্রহী হতে পারে সে সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে ...

পর্যবেক্ষণ। পোস্টটিতে সমস্যাটির একটি অ্যালগরিদম রয়েছে, যেখানে প্রতিটি একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে দেওয়া হয়, সময়সূচীটি এবং এ সময়কাল বহন করে । $c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

প্রুফ স্কেচ কোনো ইনপুট ত্রুটিমুক্ত যেখানে এবং (WLOG) । সমস্যাটিকে সামান্য পুনরায় প্রেরণে লক্ষ্যটি হ'ল আকারের সর্বাধিক $(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ । $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

নিম্নলিখিত গতিশীল প্রোগ্রাম বিবেচনা করুন। কোন পূর্ণসংখ্যার জন্য সঙ্গে , , এবং , নির্ধারণ $(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$ পছন্দসই সমাধান।

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\sum_{i \in M} w_{i} (c_{i} / d_{1} - 1) : M \subseteq [m], | M | = k, \sum_{i \in M} c_{i} = d_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

এর সম্ভাব্য সমাধানগুলিকে এবং যেগুলি ধারণ করে না তার মধ্যে ভাগ করে, আমরা পুনরাবৃত্তি আমরা বাউন্ডারি কেসগুলি অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দিই। $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\begin{cases} ϕ (d_{1}, d_{2} - c_{m}, k - 1, m - 1) + w_{m} (c_{m} / d_{1} - 1) \\ ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

সাব-প্রব্লেমগুলির সংখ্যা হ'ল , এবং প্রতিটিটির জন্য পুনরাবৃত্তির ডান হাতটি ধ্রুবক সময়ে মূল্যায়ন করা যায়, সুতরাং অ্যালগরিদম এবং তে সময়ের বহুবর্ষে চলে । $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

সম্পুরক। পি = দ্বারা NP যদি কোন দেখাচ্ছে দ্বারা NP-কঠোরতা হ্রাস দৃষ্টান্ত যেখানে কমবে মধ্যে বহুপদী নয় । $D$ $n$

লক্ষ্য। আমার ভুল না হলে পোস্টে সমস্যাটির জন্য একটি পিটিএএসও রয়েছে, এর তত্কালীন গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহারের ভিত্তিতে । তবে পোস্টটিতে বলা হয়েছে, সমস্যাটি এনপি-হার্ড কিনা পিটিএএস-এর অস্তিত্বের সরাসরি প্রভাব নেই। $w_i$

আমিও কৌতূহলী --- (প্রতিটি ) পলি-টাইম অ্যালগরিদম থাকলে বিশেষ কেস কিনা তা কি কেউ জানেন ? (সম্পাদনা: এটি করে, উইলার্ড জাানের মন্তব্য অনুযায়ী এটি সর্বাধিক বড় উপাদানগুলি রাখার জন্য গ্রহণ করে অনুকূলিত হয়েছে বলে মনে হয় )) $w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— নিল ইয়ং
সূত্র

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

@ উইলার্ডজান, হ্যাঁ, এটা ঠিক মনে হচ্ছে।

— নিল ইয়ং

-6

আপনি কোনও সীমাবদ্ধতা ছাড়াই কোনও ফাংশন সর্বাধিককরণের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছেন?

এটা সত্যিই সহজ। এম যদি সবচেয়ে বড় সেট হয় তবে এটি সর্বোত্তম সমাধান। কিছু গণনা করার দরকার নেই।

এই সমস্যাটি ন্যাপস্যাক সমস্যার মতো বলে মনে হচ্ছে, যা এনপি is

— গুইলারমো।
সূত্র

প্রশ্নটি বলছে, "আকারের কে উপসেট এম।"

— Tsuyoshi Ito