কিছু সমস্যাগুলি যেখানে আমরা জানি যে আমাদের একটি অনুকূল অ্যালগরিদম রয়েছে?

Question

কিছু অ-তুচ্ছ সমস্যা যেখানে আমাদের বর্তমান অ্যালগরিদমটি রয়েছে তা অ্যাসেম্পোটোটিকভাবে অনুকূল সমস্যাটি কী? (ট্যুরিং মেশিনের জন্য)

এবং এটি কীভাবে প্রমাণিত হয়?

Comments

একটি টিউরিং মেশিন নিম্ন সীমানার জন্য একটি জটিল মডেল। ডিএফএন পরিবর্তন করা চলমান সময়ে বহুপদী পরিবর্তন করতে পারে, তাই আপনার আরও কিছুটা সুনির্দিষ্ট হওয়া দরকার।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আপনি অ-তুচ্ছ সংজ্ঞায়িত কিভাবে?

— ফানকস্টার

সুরেশ যেমন বলেছেন, আপনি যে ধরণের টিএম ব্যবহার করেন তার একটি প্রভাব রয়েছে। আমি অনুমান করি যে প্যালিনড্রোমগুলির ভাষার জন্য (যে শব্দগুলি আপনি পিছনের দিকে পড়তে পারেন), আমাদের কাছে একটি অনুকূল 1-টেপ টিএম রয়েছে যা ভাষাটি নির্ধারণ করতে পদক্ষেপ নেয়। এবং 2-টেপ টিএম-এর ক্ষেত্রে এটি লিনিয়ার সময়ে নির্ধারিত হয়, সুতরাং এটি বেশ সুন্দরও। $\mathcal O(n^2)$

— ব্রুনো

ম্যাথওভারফ্লো.নেট

— সেকশনস /

Answer 1

যে কোনও অ্যালগরিদম যা লিনিয়ার সময় নেয় এবং এর পুরো ইনপুটটি পড়তে হয় তা অবশ্যই asympotically অনুকূল হতে হবে। একইভাবে, রাফেল মন্তব্য হিসাবে, যে কোনও অ্যালগরিদম যার রানটাইম আউটপুট আকার হিসাবে একই ক্রম হয় অনুকূল।

Comments

একইভাবে, যে কোনও অ্যালগরিদম যার রানটাইম একই আদেশের আউটপুট আকার হিসাবে অনুকূল।

— রাফেল

আমি বিশ্বাস করি যে এই উত্তর এবং এর পরে দেওয়া মন্তব্যটি শিল্পের সম্পূর্ণ অবস্থা।

— জেফি

আচ্ছা এটি

— বিরক্তিকর

রেকর্ডের জন্য, জে ff ই এর মন্তব্য নীচে শিরের উত্তর উল্লেখ করেছে।

— আন্দ্রেস সালামন

আমি শিরের নয় , ম্যাক্সের উত্তর এবং ম্যাক্সের উত্তর সম্পর্কে রাফেলের মন্তব্যে উল্লেখ করছি ।

— জেফি

Answer 2

আপনি যে জটিলতা পরিমাপের বিষয়টি বিবেচনা করছেন তা যদি ক্যোয়ারী জটিলতা হয়, অর্থাত, কোনও নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের জন্য মেশিনটিকে যতবার ইনপুটটি দেখতে হবে, তারপরে এমন অনেকগুলি সমস্যা রয়েছে যার জন্য আমাদের অনুকূল এলগরিদম রয়েছে। এর কারণ হ'ল বিরোধী পদ্ধতি সহ কয়েকটি জনপ্রিয় কৌশলকে ধন্যবাদ, জিজ্ঞাসা জটিলতার জন্য নিম্ন সীমানা সময় বা স্থান জটিলতার জন্য নিম্ন সীমাগুলির চেয়ে অর্জন করা সহজ ।

নেতিবাচক দিকটি হ'ল এই জটিলতা পরিমাপটি কোয়ান্টাম ইনফরমেশন প্রসেসিংয়ে প্রায় অলৌকিকভাবে ব্যবহৃত হয় কারণ এটি কোয়ান্টাম এবং শাস্ত্রীয় গণনা শক্তির মধ্যে ফাঁক প্রমাণ করার একটি সহজ উপায় সরবরাহ করে। এই কাঠামোর মধ্যে সবচেয়ে কুখ্যাত কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম হ'ল গ্রোভারের অ্যালগরিদম । একটি বাইনারি স্ট্রিং হয়েছে যার জন্য এমন একক আমি উপস্থিত রয়েছি যেমন x i = n , আপনাকে i সন্ধান করতে হবে । ধ্রুপদীভাবে (কোয়ান্টাম কম্পিউটার ব্যতীত), সবচেয়ে তুচ্ছ আলগোরিদিমটি সর্বোত্তম: অনুসন্ধান করার জন্য আপনাকে এই স্ট্রিংটি গড়ে n / 2 বার জিজ্ঞাসা করতে হবে$x_1,\dots ,x_n$$i$$x_i=n$$i$$n/2$ । গ্রোভার একটি কোয়ান্টাম অ্যালগোরিদম সরবরাহ করেছে যা ও ( √ ) তে করে $i$স্ট্রিংয়ের প্রশ্নগুলি। এটি সর্বোত্তম প্রমাণিতও হয়েছে।$O(\sqrt n)$

Comments

আসলে, ক্যোয়ারী জটিলতা হ'ল ম্যাক্সের উত্তরের অন্তর্নিহিত ভিত্তি basis বেশিরভাগ সমস্যার জন্য, কোনও অ্যালগরিদমকে "পুরো ইনপুটটি পড়তে হবে" বা ইনপুটটির কমপক্ষে একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ।

— জেফি

Answer 3

• আপনি যদি নিজের মডেলটি পরিবর্তন করতে ইচ্ছুক হন তবে ডেটা স্ট্রাকচারের বেশ কয়েকটি নিম্ন সীমানা শক্ত। দেখুন ডেটা কাঠামো জন্য নিম্ন কোট ডাটা স্ট্রাকচার কম সীমার জন্য ভাল রেফারেন্স পয়েন্টার জন্য।
• থেকে তুলনা মডেল যে কিছু লোক এখানে উল্লেখ করেছি, আপনি যদি যেখানে ইনপুটের গ্রাফ বরাবর পয়েন্ট গঠিত হয় বিবেচনা করে একটি অনুরূপ উত্তল জাহাজের কাঠাম সমস্যার জন্য আবদ্ধ প্রাপ্ত করতে পারেন বাছাইয়ের জন্য আবদ্ধ বিমানের প্রথম চতুর্থাংশে একটি বর্ধমান ক্রিয়াকলাপ।$\Omega(n log n)$

Comments

ডেটা স্ট্রাকচার উল্লেখ করার জন্য +1। তবে আমি মনে করি না বাছাইয়ের জন্য তুলনা লোয়ার সীমাগুলির মাধ্যমে উত্তল হালগুলির জন্য একটি দরকারী নিম্ন সীমাটি পাওয়া সম্ভব। কারণটি হল যে তুলনা মডেল মোটামুটি উত্তল হালগুলি গণনা করার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী নয়। এর পরিবর্তে যা কাজ করে তা হ'ল আরও শক্তিশালী মডেল যেমন বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছগুলির মধ্যে হুলগুলি গণনা করা যায়, এবং তারপরে আরও শক্তিশালী মডেলের জন্য বাছাইয়ের জন্য নিম্ন সীমাটি মানিয়ে নেওয়া use

— ডেভিড এপস্টিন 21

উপলব্ধি করে, স্পষ্টতার জন্য ধন্যবাদ!

— আবেল মোলিনা

Answer 4

1. তুলনা ব্যবহার করে তুলনা বাছাই করা (একত্রিত করার জন্য সারণি , এক নাম) প্রমাণটি কেবল এন দিয়ে একটি গাছের উচ্চতা গণনা করে জড়িত ! পাতার।$O (n \log n)$$n!$

2. অনন্য গেমসের অনুমানকে ধরে নিয়েই, খোট, কিন্ডলার, মোসেল এবং ওডনেল দেখিয়েছেন যে এটি গেমেন্স এবং উইলিয়ামসনের অ্যালগরিদমের চেয়ে আনুমানিক ম্যাক্স-কাটের কাছে এনপি-সম্পূর্ণ। সুতরাং সেই অর্থে জি অ্যান্ডডাব্লু অনুকূল (এটিও অনুমান করে যে )।$P\neq NP$

3. কিছু বিতরণকৃত অ্যালগরিদমগুলি কিছু শর্ত (যেমন, অ্যাডভারসিয়াল প্রসেসরের অনুপাত) এর সাথে সম্মানজনকভাবে সর্বোত্তম হতে দেখানো যেতে পারে, তবে যেহেতু আপনি টুরিং মেশিনগুলির উল্লেখ করেছেন, আমি অনুমান করি যে এটি যে ধরণের উদাহরণগুলি আপনি খুঁজছেন তা নয়।

Comments

আইটেম 2 প্রশ্নের উত্তর দেয় কি না তা নির্ভর করে প্রশ্নকারী "অনুকূল" বলতে কী বোঝায় তার উপর নির্ভর করে যদিও আমি সন্দেহ করি যে প্রশ্নকারী সেই অর্থে জিজ্ঞাসা করছে (অন্যথায় অনেকগুলি, অনেকগুলি দৃ tight় আনুমানিকতার ফলাফল রয়েছে যার জন্য এমনকি ইউজিসির প্রয়োজন হয় না)। তদুপরি, আমি মনে করি না যে 1 বা 3 আইটেমই প্রশ্নের উত্তর দেয়।

— Tsuyoshi Ito

@ শ্যুওশিআইটোতে, এটি জিজ্ঞাসা করা ঠিক কি জিজ্ঞাসা করা হয়েছে তা অনুমান করা শক্ত, যা তাকে / তার জন্য দরকারী কিছু আঘাতের আশায় আমাকে বিভিন্ন দিক থেকে উত্তরগুলি চেষ্টা করে। আপনাকে কী বলে যে (1) কোনও বৈধ উত্তর নয়, যাইহোক?

— শির

প্রশ্নকারী বিশেষভাবে ট্যুরিং মেশিনের জন্য একটি অ্যালগরিদম অনুকূল জিজ্ঞাসা করেন ।

— Tsuyoshi Ito

"তুলনা বাছাই" আসলে "সমস্যা"? বা এটি কোনও সমস্যা এবং গণনার মডেলটিতে কোনও বিধিনিষেধ?

— জেফি 22'12

Answer 5

ধরুন আপনি ইনপুট দেওয়া হয় এবং যদি র্যাম মেশিন সিদ্ধান্ত নিতে বলা হয় এম ইনপুট বন্ধ এক্স পর টি ধাপ। সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্য দ্বারা, এটি নির্ধারণ করার জন্য সর্বোত্তম অ্যালগরিদম হ'ল টি পদক্ষেপের জন্য এম ( এক্স ) এর সম্পাদনকে সিমুলেট করা , যা ও ( টি ) সময়ে করা যায় ।$w = \langle M, x, t \rangle$$M$$x$$t$$M(x)$$t$$O(t)$

(দ্রষ্টব্য: টুরিং মেশিনের জন্য, সঞ্চালনের simulating লাগে হে ( T লগ টি ) পদক্ষেপ; আমরা কেবল একটি নিম্ন বাউন্ড জানেন Ω ( T ) সুতরাং, এই বেশ অনুকূল টুরিং মেশিনের জন্য নয় বিশেষভাবে।)।$M$$O(t \log t)$$\Omega(t)$

আরও কিছু সমস্যা রয়েছে যা সাব-কেস হিসাবে থামানো সমস্যার সংস্করণ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সিদ্ধান্ত নেওয়ার একটি বাক্য কিনা WS1S ফলত লাগে সময় 2 ↑ ↑ হে ( | θ | ) এবং এই অনুকূল নয়।$\theta$$2 \uparrow \uparrow O(|\theta|)$

Answer 6

"অ-তুচ্ছ" আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই, তবে এটি কীভাবে। । এই ভাষাটি নিয়মিত নয়, কোনও টিএম সিদ্ধান্ত নিচ্ছে যে এটি অবশ্যই Ω ( n লগ এন ) এ চালানো উচিত । সাধারণ অ্যালগরিদম (প্রতিটি অন্যান্য 0 টি অতিক্রম করে) অনুকূল।$L = \{0^{2^k} | k \geq 0\}$$\Omega(n \log n)$

Answer 7

আপনি যদি গতিশীল ডেটা স্ট্রাকচার সমস্যাগুলির অনুমতি দেন তবে আমরা কিছু সুপার-লিনিয়ার সময় অনুকূল অ্যালগরিদম জানি। এটি সেল প্রোব মডেলটিতে রয়েছে যা র‌্যাম শব্দের মতোই শক্তিশালী, অর্থাত্ এটি বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছের মতো কোনও সীমাবদ্ধ মডেল নয় ।

একটি উদাহরণ গতিশীল আপডেটের অধীনে উপসর্গ যোগ করা হয় । আমরা সংখ্যার একটি অ্যারে দিয়ে শুরু করি এবং লক্ষ্যটি এমন একটি ডেটা কাঠামো রাখা হয় যা নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলির অনুমতি দেয়:$A[1], \ldots, A[n]$

• যোগ থেকে একটি [ আমি ] দেওয়া আমি এবং $\Delta$$A[i]$$i$$\Delta$
• উপসর্গের যোগফল গণনা করুন , i দেওয়া$\sum_{j = 1}^i{A[i]}$$i$

পাতাগুলিতে A [ i ] সহ একটি বর্ধিত বাইনারি গাছের উপর ভিত্তি করে ডেটা স্ট্রাকচারের সাহায্যে আপনি সময় উভয় অপারেশনকে সহজেই সমর্থন করতে পারেন । প্যাট্রাস্কু এবং ড্যামাইন এটি সর্বোত্তম: দেখায় যে কোনও ডেটা স্ট্রাকচারের জন্য এন সংযোজন এবং উপসর্গের যোগক্রমগুলির ক্রম রয়েছে যা অবশ্যই Ω ( n লগ এন ) সময় মোট নিতে হবে।$O(\log n)$$A[i]$$n$$\Omega(n\log n)$

$\{1, \ldots n\}$

• $i$$j$$i$$j$
• $i$$i$

$O(\alpha(n))$$\alpha$$n$$\Omega(n\alpha(n))$ time.

Answer 8

Many streaming algorithms have upper bounds matching their lower bounds.

Answer 9

there are two somewhat similar search algorithms that [my understanding is] are optimal based on a particular constraints on the input ordering/distribution. however presentations of the algorithms do not typically emphasize this optimality.

• golden section search for finding the maximum or minimum (extremum) of a unimodal function. assumes input is a unimodal function. finds it in logarithmic time on average. as I recall there may have been a proof of optimality in the book Structure & Interpretation of computer programs by abelson & sussman.

• binary search finds a point in logarithmic time on average in a sorted list, but requires input to be sorted.

^{am citing wikipedia above but it does not have the proofs that they are optimal, maybe some other references that prove optimality can be found by the audience.}

Answer 10

Many sublinear time algorithms have upper bounds matching their lower bounds.

Comments

Flagged as a duplicate.

— Jeffε

Sublinear time algorithm and streaming algorithm are different areas.

— Bin Fu

That's true, but you should combine the answers into one.

— Suresh Venkat

Some examples of optimal sublinear time algorithms can be

— Bin Fu

it is also not clear why this is not a duplicate of the query complexity answer.

— Artem Kaznatcheev