ঝুঁকিপূর্ণ নিরপেক্ষ এজেন্ট সহ নৈতিক বিপত্তি

আমাদের গোপন ক্রিয়াকলাপ সহ একটি প্রিন্সিপাল-এজেন্ট মডেল রয়েছে যাতে প্রিন্সিপাল ঝুঁকি বিপরীত এবং এজেন্ট ঝুঁকি নিরপেক্ষ; ধরুন আউটপুট দুটি স্তর আছে, $x$ এবং $x'$ (সঙ্গে $x'>x$ ) এবং দুটি ক্রিয়া $a,a'$ । নির্ধারণ করা $p(a),p(a')$ সম্ভাবনা $x'$ পদক্ষেপে $a,a'$ যথাক্রমে। এছাড়াও, এজেন্ট কর্ম থেকে বিরক্তি $a'$ হয় $-1$ । মজুরি সম্পর্কিত $x,x'$ হয় $w,w'$ যথাক্রমে।

আমার সমস্যাটি হ'ল আমি নিশ্চিত নই যে কীভাবে দেখাতে পারি যে সর্বোত্তম চুক্তির প্রয়োজন $x'-w' =x-w$ , অর্থাৎ এজেন্ট, ঝুঁকিপূর্ণ নিরপেক্ষ হয়ে প্রকল্পের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত পরিবর্তনশীলতা গ্রহণ করে।

আমি সমস্যাটি আনুষ্ঠানিক করি (ধরুন অধ্যক্ষ প্ররোচিত করতে চান $a'$ , অন্যথায় আমার প্রশ্নটি তুচ্ছ)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

বিশেষত, যখন আমি "স্ট্যান্ডার্ড" স্বতন্ত্র যৌক্তিকতা ( গুণক সহ) এবং উত্সাহমূলক সামঞ্জস্যতা ( গুণক সহ) সীমাবদ্ধতার অধীনে মূল প্রত্যাশিত বেতনটি সর্বাধিক করে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করি (আমি ধরে নিই যে প্রিন্সিপাল আরও আগ্রহী ব্যয়বহুল অ্যাকশন ) আমি দুটি সমীকরণের সাথে শেষ করছি যা পূর্বোক্ত ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। নির্দিষ্টভাবে: $\lambda$ $\mu$ $a'$

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

এটা স্পষ্ট যে iff ধারণ করে যা এই সমস্যাটির ক্ষেত্রে নয় (এখানে আমাদের কাছে ) রয়েছে। আর একটি সম্ভাবনা হ'ল ধারণা করা হবে যে উত্সাহমূলক সামঞ্জস্যের সীমাবদ্ধতাটি শিথিল (তাই ); তবে আমি বুঝতে পারি না কেন এটি রাখা উচিত, যখন অধ্যক্ষ সবচেয়ে ব্যয়বহুল ক্রিয়াকলাপ প্ররোচিত করতে চান (এখানে সহায়তা করুন) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

আমি অনলাইনে পড়েছি যে অন্য পদ্ধতির ধারণা ধরে নেওয়া হবে যে প্রিন্সিপাল এজেন্ট এবং এজেন্টের কাছে প্রকল্পটি "বিক্রয়" করে, কোন স্তরের প্রয়াস তার প্রত্যাশিত ইউটিলিটি সর্বাধিক করে তোলে তা বেছে নেওয়ার পরে অধ্যক্ষকে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ ফেরত দেয় (কল করুন ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

সুতরাং আমাদের মতো কিছু হবে:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ যদি এজেন্ট উচ্চ প্রচেষ্টা গ্রহণ এবং অন্যথায়। $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

তবে সেখান থেকে কীভাবে যাব? এজেন্ট কীভাবে ক্রিয়াটি বেছে নিতে চলেছে তা নিশ্চিত করতে হবে ? কিভাবে স্থির পরিমাণ নির্ধারণ করা হয়? কেন তারা সর্বোত্তম? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
সূত্র

একটি ইঙ্গিত: আপনার সেটআপ দেওয়া, অগত্যা দক্ষ ক্রিয়া নয়, এবং তাই অধ্যক্ষ অগত্যা এটি প্ররোচিত করতে চান না। আপনি কি চান যে লোকেরা এটি ধরে নিয়েছে?

a^{'}

$a^\prime$

— শেন

@ শানে এই প্রশ্নের বিবৃতিতে বলা হয়েছে: "ধরে নিন প্রিন্সিপাল প্ররোচিত করতে চান "

a^{'}

$a'$

— গিসকার্ড

তা সত্য @denesp, কিন্তু এটি এখনও জানা থাকুক বা না থাকুক গুরুত্বপূর্ণ আসলে দক্ষ হয়, কারণ ঝুঁকি নিরপেক্ষ এজেন্ট দেওয়া, প্রতিনিধি প্রকল্প বিক্রি কোন ব্যাপার কি অনুকূল হবে, কিন্তু শুধুমাত্র রাজি করানো হবে যদি এটি দক্ষ হয়। যদি দক্ষ না হয় তবে অধ্যক্ষ নির্বিশেষে এটিকে প্ররোচিত করতে চান, তবে সর্বোত্তম চুক্তির পুরো ধারণাটি ঝাপসা হয়ে যায় - আমরা চুক্তির একটি সেট থেকে অনুকূল চুক্তিটি সন্ধান করব যা একটি সাবমোটিমাল পছন্দকে প্ররোচিত করে।

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— শেন

অধ্যক্ষ কেবল এই 'ক্রিয়াকলাপ থেকে প্রিন্সিপালটি যে কোনও ইউটিলিটি গ্রহণ করেন তার উপর ভিত্তি করে একটি পরিমাণ' প্ররোচিত করতে অর্থ প্রদান করতে পারেন।

— ডিজে সিমস

"মজুরি" নেতিবাচক বা শূন্য হতে পারে?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

উত্তর:

এই উত্তরটি তিনটি জিনিস দেখায়:

আপনার সর্বাধিক সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের ল্যাঙ্গরজিয়ান পদ্ধতির দরকার নেই।
আমাদের হয় এমন অনুমানের দরকার নেই । $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
শর্ত অনুকূল চুক্তির জন্য অগত্যা সন্তুষ্ট নয়। $x'-w'=x-w$

সত্যই পেমেন্ট । সমস্যা লেখা যেতে পারে সীমাবদ্ধতার প্রদত্ত is এটি স্পষ্ট যে প্রিন্সিপালটির আগ্রহ এই ন্যূনতম সেটটি প্রদত্ত জন্য সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান নির্ধারণ করার আগ্রহ রয়েছে , যেহেতু ডাব্লুতে উদ্দেশ্যগত ক্রিয়া হ্রাস । অতএব তিনি $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

@ অ্যালোকোস_প্যাপাডোপ্লোস যেমন করেছিলেন, তেমনি ধরে নেওয়া বোধগম্য হয় যে এজেন্টটি সীমাবদ্ধ দায়বদ্ধতা দ্বারা সুরক্ষিত, অর্থাত্ তার অর্থ প্রদানগুলি অবৈধ। তা না হলে সমস্যা অগত্যা একটি সমাধান নেই: প্রধান সবসময় কমছে থেকে উপকৃত হতে পারে এবং ক্রমবর্ধমান তাই হিসাবে পৃথক যৌক্তিকতা বাধ্যতা সন্তুষ্ট রাখা। তবে চুক্তি অবশ্যই সন্তোষজনক সমাধান নয়। অতএব আমি যে ক্ষেত্রে এবং মনোযোগ সীমাবদ্ধ করি । $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

শর্ত ইঙ্গিত করে এবং তাই $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

এই সমীকরণটি উদ্দেশ্যমূলক কার্যে প্লাগ করা, অধ্যক্ষের সমস্যা হয়ে ওঠে

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ objective এই উদ্দেশ্য ফাংশন ডাব্লুতে হ্রাস । অতএব তিনি সহজভাবে সেট এবং । উপসংহার হিসাবে, সন্তুষ্ট হওয়ার কোনও কারণ নেই যদি না ধরে নেওয়া হয় যে , অর্থাৎ এই পরবর্তী সমীকরণ মানে যে ফলে সামাজিক উদ্বৃত্ত উদ্বৃত্ত ফলে সমান

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : এটি একটি খুব বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে অধ্যক্ষের জন্য প্রত্যাশিত আউটপুট বৃদ্ধি দ্বারা এজেন্টের জন্য প্রচেষ্টা ব্যয় হ্রাস করা হয়। অন্যান্য সমস্ত ক্ষেত্রে, আমাদের ।

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

আমি মনে করি যে এজেন্ট সমস্ত ঝুঁকি না নেওয়ার কারণ হ'ল তার কাজগুলি পর্যবেক্ষণযোগ্য নয়, এবং তাই এটি সংকোচনযোগ্য নয়। এই সম্পত্তিটি নিয়ন্ত্রিত বরাদ্দের সাথে ঝুঁকি-ভাগীকরণের অর্থনীতিতে সত্য হবে। তবে বরাদ্দটি এজেন্টকে একটি উচ্চ প্রচেষ্টা চালানোর জন্য উত্সাহিত করার প্রয়োজনের দ্বারা বিকৃত হয়।

— Oliv
সূত্র

(+1) এটি একটি ভাল পদ্ধতির, আমি সাধারণ সমস্যাগুলির সাথে কেবল আনুষ্ঠানিক হতে চাই। ওপি'র সেট আপের সাথে একটি চূড়ান্ত সমস্যা: যেহেতু নির্বিচারে, তাই nothing কোনও কিছুই গ্যারান্টি দেয় না ।

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— অ্যালেকোস পাপাদোপলোক

আমি মনে করি না "প্রধান সবসময় কমছে থেকে উপকৃত হতে পারে এবং ক্রমবর্ধমান তাই হিসাবে পৃথক যৌক্তিকতা বাধ্যতা সন্তুষ্ট রাখা।" সত্য. আমি বোঝাতে চাইছি এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে আপনি উভয়ই উপকার করতে পারবেন না এবং অংশীদারিত্বের প্রতিবন্ধকতা সন্তুষ্ট রাখতে পারবেন না।

w

$w$

w^{'}

$w'$

— গিসকার্ড

@denesp আমার মনে হয় এটা true.Take হয় নেতিবাচক এবং ছোট যথেষ্ট, এবং অর্ডার উভয় সীমাবদ্ধতার সন্তুষ্ট হবে। অধ্যক্ষের উদ্দেশ্যগত ক্রিয়াটি হ'ল এবং এই ফাংশন কঠোরভাবে মধ্যে হ্রাস পাচ্ছে যখন ছোট যথেষ্ট। অতএব প্রধান সবসময় কমিয়ে দ্বারা ভালো কিছু করতে পারি এবং সেটিং : কোন সসীম soution অনুকূল নয়।

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— অলিভ

@ অ্যালোকোস পাপাদোপল্লোস আপনাকে ধন্যবাদ। আপনি কেন এই guarantee গ্যারান্টি দিতে চান ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— অলিভ

@ অলিভ যদি , তবে সংঘটিত হলে অধ্যক্ষের নিট আয়ের পরিমাণ নেতিবাচক হয়, আর ঘটে থাকলে এটি ইতিবাচক হয় ( )। প্রকৃতপক্ষে হলেও, আমরা এমন পরিস্থিতিতে আছি যেখানে প্রিন্সিপাল পদক্ষেপকে প্ররোচিত করতে চায় , যদিও শর্তাধীন ইউটিলিটি কম থাকলে দেখা দেয়। এখানে প্রকৃতপক্ষে সর্বোত্তম কী তা নির্ধারণ করতে এটির আরও ব্যাপক চিকিত্সা প্রয়োজন। অবশ্যই, আমরা সমস্যাটিকে যেমন হ'ল সমস্ত অনুমান হিসাবে গৃহীত হিসাবে গ্রহণ করতে পারি, তবে আমি এমন সমস্যাগুলি পছন্দ করি যেগুলি অন্তর্দৃষ্টি সম্পর্কে কেবল তখনই শেষ হয়, কেন তারা আলোকিতভাবে ব্যাখ্যা করতে পারে।

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস

যে জিনিসটি আমাকে এখানে বিরক্ত করে তা নিম্নরূপ: উদ্দীপক সামঞ্জস্যের সীমাবদ্ধতা

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... যেহেতু অনুমান দ্বারা । আমাদের বলা হয়েছে যে আমাদের সর্বোত্তমভাবে, $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

এবং সংমিশ্রণ , যদি প্রকৃতপক্ষে প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার অধীনে এটি সর্বোত্তম হয় তবে আমাদের অবশ্যই থাকতে হবে $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

তবে এটি অগ্রাধিকারের দৈর্ঘ্যের উপর অতিরিক্ত, প্রয়োজনীয় সীমাবদ্ধতা, এটি যদি পোস্টুলেটেড অনুকূল সমাধানটি গ্রহণযোগ্য হতে হয় তবে অবশ্যই তা রাখা উচিত। এমনকি যদি সত্যিই এইরকম সীমাবদ্ধতা ধরে নেওয়া হয় তবে যে কোনও ক্ষেত্রে এটি সমস্যার সাধারণতাটি দৃশ্যমানভাবে হ্রাস করে (কোন কিছু সাধারণ দেখানোর পরিকল্পনা করে, অর্থাৎ এজেন্টের ঝুঁকি-নিরপেক্ষতা কীভাবে সমাধানটিকে প্রভাবিত করে)।

যাইহোক, আসুন এটি আরও কিছুটা আনুষ্ঠানিকভাবে কাজ করুন। আমি ধরে নেব যে শূন্য হতে পারে তবে নেতিবাচক নয়। এটি অসমতার সীমাবদ্ধতা, অ-নেতিবাচক সিদ্ধান্তের ভেরিয়েবল এবং অ-নেতিবাচক গুণক সহ সাধারণ আকারে একটি সর্বাধিক সমস্যা। সমস্যাটির সম্পূর্ণ ল্যাংরেঞ্জান হ'ল (আমি একটি সুস্পষ্ট উপায়ে সংক্ষিপ্ত বিবরণটি লিখব), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

প্রয়োজনীয় প্রথম ক্রমের শর্তগুলি

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

এবং ডাব্লু জন্য analogously । এই ফলাফল $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

প্রথম দ্রষ্টব্য যে উভয়ই মজুরি শূন্য নয়, কারণ সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করা হবে। এটি প্রদত্ত, বাধ্যতামূলক হওয়ার সম্ভাবনাটি বিবেচনা করুন (সুতরাং )। যদি এটি বাধ্যতামূলক হয়, তবে উভয়ই বেতন শূন্য নয়, সীমাবদ্ধতা অগত্যা লঙ্ঘন করা হবে। সুতরাং আমরা যে উপসংহার $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

এবং প্রথম অর্ডার শর্ত এখন পরিণত হয়

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

এখন নোট করুন যে যদি (অর্থাত্ ) হয় তবে সমতা হিসাবে এবং শেষ পদের সাথে শূন্যের সমান ডানদিকে থাকা উচিত। তবে এর জন্য নেতিবাচক প্রান্তিক ইউটিলিটি প্রয়োজন যা অগ্রহণযোগ্য। আমরা আরও জানি যে উভয়ই মজুরি শূন্য হতে পারে না। সুতরাং আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে আমাদের অবশ্যই আছে $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

এবং পরিস্থিতি এখন হয়ে ওঠে

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

EQ। বোঝায় যে , একটি সাধারণ ইউটিলিটি ফাংশন স্পেসিফিকেশনের আওতায়, যা অনন্ত ব্যতীত শূন্য প্রান্তিক ইউটিলিটি দেয় না। এর পরিবর্তে সীমাবদ্ধতার সমতা হিসাবে থাকা উচিত। প্রদত্ত যে এটি দেয় $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

এটি একটি ঘণ্টা বাজানো উচিত, কারণ এর ডান হাতের দিকটি এবং এর ডান-হাতের সমান । $(6)$ $(1)$ $(3)$

যেমন, যদি আমরা অবরোহমার্গী যে অভিমানী হয় , তারপর সমাধান আমরা যাচাই এ আগত আছে দাবি $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

এই অতিরিক্ত অনুমানের অধীনে, আমরাও পাই

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

সংমিশ্রণ, আমরা প্রাপ্ত

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

এটি গ্রহণযোগ্য । সুতরাং under এর অধীনে , আমরা সমাধানটি পাই $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র