সিইএস ইউটিলিটি ফাংশনে কোব-ডগলাস ইউটিলিটি ফাংশনটি পাওয়ার জন্য প্যারামিটারগুলিতে unityক্যবদ্ধ হওয়া দরকার?

উত্তর:

হ্যাঁ.

লেখা

\begin{matrix} (1) & U (x, y) = (a x^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}} = \exp {\frac{- 1}{c} \ln (a x^{- c} + b y^{- c})} \end{matrix}

$U(x,y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}} = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)\right\} \tag{1}$

$a+b=1$ $c\rightarrow 0$

\begin{matrix} (2) & \frac{\ln (a x^{- c} + b y^{- c})}{- c} \end{matrix}

$\frac {\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)}{-c} \tag{2}$

$0/0$

\frac{1}{- c} \cdot \frac{- a x^{- c} \ln x + b y^{- c} \ln y}{a x^{- c} - b y^{- c}} \to \frac{a}{a + b} \ln x + \frac{b}{a + b} \ln y, c \to 0

$\frac {1}{-c}\cdot \frac {-ax^{-c}\ln x + by^{-c}\ln y}{ax^{-c} - by^{-c}} \rightarrow \frac {a}{a+b}\ln x + \frac {b}{a+b}\ln y,\;\;\; c\rightarrow 0$

$a+b=1$

সুতরাং (সূচকীয় ফাংশনের অভিন্ন ধারাবাহিকতায়)

c \to 0, U (x, y) = \exp {\frac{- 1}{c} \ln (a x^{- c} + b y^{- c})} \to \exp {a \ln x + b \ln y} = x^{a} y^{b}

$c\rightarrow 0,\;\;\; U(x,y) = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c} \right) \right\} \rightarrow \exp\left\{a\ln x + b\ln y \right \} = x^ay^b$

$a+b\neq 1$ $c\rightarrow 0$ $(2)$ $(2)$ $a+b=1$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র