অনুকূল র্যান্ডম বিড

এই প্রশ্নটি এই ওয়েবসাইট থেকে আসে যা আমি প্রায়শই অনুধাবন করি।

দু'জন খেলোয়াড় একটি নতুন নতুন গেম শোতে যান "উচ্চতর নম্বর জয়" called দু'জন পৃথক বুথে যায় এবং প্রতিটি একটি বোতাম টিপায় এবং শূন্য থেকে একটির মধ্যে একটি এলোমেলো একটি নম্বর স্ক্রিনে উপস্থিত হয়। (এই মুহুর্তে, অন্যটির নাম্বার কেউই জানে না, তবে তারা জানে যে সংখ্যাগুলি একটি সাধারণ ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে বেছে নেওয়া হয়েছে)) তারা প্রথম নম্বরটি রাখতে বা প্রথম বোতামটি ফেলে রেখে আবার বোতামটি চাপতে এবং দ্বিতীয় নম্বর পেতে বাছাই করতে পারে এলোমেলো নম্বর, যা তারা অবশ্যই রাখবে। তারপরে, তারা তাদের বুথ থেকে বেরিয়ে আসে এবং প্রাচীরের প্রতিটি খেলোয়াড়ের চূড়ান্ত নম্বরটি দেখে। ল্যাভিশ গ্র্যান্ড প্রাইজ - সোনার বুলিয়ান পূর্ণ একটি কেস - উচ্চতর নম্বর রাখা খেলোয়াড়কে ভূষিত করা হয়। কোন নম্বরটি খেলোয়াড়দের জন্য তাদের প্রথম সংখ্যাটি বাতিল করতে এবং অন্যটি বেছে নেওয়ার জন্য সর্বোত্তম কাট অফ? আর একটি উপায় রাখুন, তারা প্রথম সংখ্যাটি রাখার জন্য কোন সীমার মধ্যে বেছে নেবে,

এটি হয় প্রতিসম খেলোয়াড়দের সাথে খুব অদ্ভুত নিলামের সমস্যা (আমি ধরে নিই প্লেয়াররা ঝুঁকি-নিরপেক্ষ) বা খুব অদ্ভুত লটারি / গেম-থিওরি গেম।

আপনি এই প্রশ্নের গাণিতিকভাবে কীভাবে কথা বলবেন এবং এর উত্তর আপনি কী পাবেন? সাইটের ধাঁধার সঠিক উত্তর পাওয়ার জন্য আমার জন্য কোনও পুরষ্কার নেই , আমি কেবল কৌতূহলী। আমার অন্তর্নিহিততা আমাকে বলেছে যে সর্বোত্তম কাট অফটি 0.5 since, যেহেতু আপনার প্রতিপক্ষের সংখ্যার চেয়ে বেশি বা কম হওয়ার আপনার 50-50 সম্ভাবনা রয়েছে, সে তার র্যান্ডম সংখ্যাটি অনুলিপি করুক না কেন, তবে আমি নিশ্চিত নই।

microeconomics game-theory auctions

— কিটসুন অশ্বারোহী
সূত্র

আমি মনে করি না ঝুঁকির নিরপেক্ষতা এর সাথে কিছু করার আছে, খেলোয়াড়রা কেবল তাদের জয়ের সম্ভাবনা বাড়ানোর চেষ্টা করে to পেওফগুলি বাইনারি, কোনও নিরাপদ গড় ফলাফল নেই।

— গিস্কার্ড

@ এডেনএসপি আপনি এই অর্থে ঝুঁকিপূর্ণ হতে পারেন যে আপনি যদি 0.46 বলে আঁকেন তবে আপনি আরও খারাপ সংখ্যার চেয়ে আরও ভাল নম্বর পাওয়ার সম্ভাবনা থাকলেও আপনি পুনরায় চিত্র আঁকতে চাইবেন না।

— কিটসুন অশ্বারোহী

@ কিটসুনক্যালোরি আমি যা বলছি তা আমি দেখতে পাচ্ছি, তবে এটি চূড়ান্ত ফলাফলের পরিবর্তে একটি অন্তর্বর্তীকালীন পদক্ষেপে সংজ্ঞায়িত হওয়ায় এটি ঝুঁকি এড়ানোর কিছু "আচরণগত" ধারণা হবে।

— শেন

@ শানে শিওর, আমি শুনছি এবং যাইহোক আমি এটি নিয়ে খুব বেশি চিন্তিত নই।

— কিটসুন অশ্বারোহী

উত্তর:

প্রথমে আমি দেখাব যে 0.5 (বা।) $\frac{1}{2}$ ) কাট-অফ পয়েন্টটি প্রতিসাম্য ভারসাম্য হিসাবে কাজ করে না, তবে আপনি যদি সমস্যাটি সম্পর্কে ভাবতে চান বা পুরো উত্তরটি পড়তে চান তবে আপনি নিজেরাই সিদ্ধান্ত নিতে পারেন।

আসুন কাট-অফ পয়েন্টগুলি দ্বারা চিহ্নিত করা যাক $c_x,c_y$ । মনে করুন উভয় খেলোয়াড়ই কৌশলটি ব্যবহার করেন $c = \frac{1}{2}$ । আসুন প্লেয়ারের সংখ্যা বোঝাতে দিন $x$ এবং $y$ যথাক্রমে $x_1$ এবং $y_1$ এবং তাদের সম্ভাব্য দ্বিতীয় নম্বর দ্বারা $x_2$ এবং $y_2$ । অনুমান করা $x_1 = \frac{2}{3}$ । এই সম্ভাবনা রেখে যে খেলোয়াড় $x$ জয় হয়

P (\frac{1}{2} \leq y_{1} < \frac{2}{3}) + P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (y_{2} < \frac{2}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} .

$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$ এর অর্থও এটি

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ হয় এই ডিস্ট্রিবিউশন মধ্যমা ।

এখন ধরুন $x_1 = \frac{1}{2}$ । এই সম্ভাবনা রেখে যে খেলোয়াড় $x$ জয় হয়

পি (Y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot পি (Y_{2} < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ তবে সে যদি ফেলে দেয়

x_{1} = \frac{1}{2}

$x_1 = \frac{1}{2}$ তার সম্ভাবনা আছে

পি (Y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot পি ({এক্স}_{2} > Y_{2}) + + পি (Y_{1} \geq \frac{1}{2}) \cdot পি ({এক্স}_{2} > Y_{1}) = \frac{3}{8}

$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$ জয়ের।

\frac{3}{8} > \frac{1}{4}

$\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$ তাই পালন

x_{1} = \frac{1}{2}

$x_1 = \frac{1}{2}$ (এবং এর পরিবেশগুলি) অনুকূল নয় তাই এটি ভারসাম্যপূর্ণ পদক্ষেপ হতে পারে না।

ভক্ষক সতর্কতা

খেলোয়াড় হলে $y$ একটি কাটা বন্ধ আছে $c_y$ এবং প্লেয়ার $x$ স্বপক্ষে $x_1 = c_y$ এবং এটি সেই খেলোয়াড়ের সম্ভাবনা রাখে $x$ জয় হয়

পি (Y_{1} < গ_{Y}) \cdot পি (Y_{2} < গ_{Y}) = গ_{Y} \cdot গ_{Y} = গ_{Y}^{2} ।

$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$ খেলোয়াড় হলে

x

$x$ কোথায় ফেলে দিতে হবে

x_{1}

$x_1$ সম্ভাব্যতা যে সে জিতেছে

\begin{array}{rcl} P (y_{1} \geq c_{y}) \cdot P (x_{2} > y_{1}) + P (y_{1} < c_{y}) \cdot P (x_{2} > y_{2}) & = & (1 - c_{y}) \cdot (1 - \frac{1 + c_{y}}{2}) + c_{y} \cdot \frac{1}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ধরুন এখানে একটি প্রতিসাম্য ভারসাম্য আছে, তা

c_{x} = c_{y} = c

$c_x = c_y = c$ ।
(আমি মনে করি না যে অন্যান্য ভারসাম্যহীনতার অস্তিত্ব রয়েছে তবে আমি এটি প্রমাণ করি নি।)
যেহেতু জয়ের সম্ভাবনাটি মানটির ক্ষেত্রে অবিচ্ছিন্ন

x_{1}

$x_1$ , কাট অফ মান

c

$c$ এমন যে যদি

x_{1} = c

$x_1 = c$ তারপরে জয়ের সম্ভাবনা সমান হয়

x_{1}

$x_1$ রাখা হয় এবং যখন এটি বাতিল করা হয়। এই যে মানে

\begin{array}{rcl} P (y_{1} < c) \cdot P (y_{2} < c) & = & P (y_{1} \geq c) \cdot P (x_{2} > y_{1}) + P (y_{1} < c) \cdot P (x_{2} > y_{2}) \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot (1 - \frac{1 + c}{2}) + c \cdot \frac{1}{2} \\ c^{2} & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot c^{2} + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$

— Giskard
সূত্র

কেউ আপনার মতো অনুরূপ বিকাশ করেছিল এবং ডাবল চেক করার জন্য এই ওল্ফ্রাম গণনাটি করেছে: tinyurl.com/j9xey5t সুতরাং আমি এগিয়ে যাচ্ছি এবং এটি সঠিক দেখাচ্ছে বলে বলছি। এখন আপনি যদি এই গেমটির সাধারণ ফর্মটি সমাধান করেন, আমি আপনাকে সেরা উত্তর দেব: পি কিডিং ~ (যদিও খেলাটি পুনরায় নামার সম্ভাবনাগুলির সাথে কীভাবে পরিবর্তন ঘটে তা দেখতে আকর্ষণীয় হবে)) আপনার সম্পাদিত কাটঅফটির অর্থ উভয় খেলোয়াড়েরই 50 রয়েছে? জয়ের%, বা আপনি এখনও মনে করেন যে আপনার উত্তরে কোনও ভুল আছে?

— কিটসুন অশ্বারোহী

@ কিটসুনক্যাভালরি আমি মনে করি এটি গ্রহণ করা কিছুটা অকাল আগে থেকেই হয়েছিল তবে ভাগ্যক্রমে গণনাটি সঠিক এবং 50% সম্পর্কে আমার যুক্তি ভুল ছিল। কাট অফটি এত বেশি যে এটি অঙ্কনটি 'ভাগ্যবান' এবং এর ফলে এটি আঁকলে আপনার জয়ের আরও ভাল 50% সম্ভাবনা রয়েছে। ড্রয়ের আগে আপনার ঠিক 50% আছে।

— গিসকার্ড

যদি এটি কোনও কিছুর জন্য গণনা করা হয়, যে সাইটটি প্রশ্ন দিয়েছে সে উত্তর দিয়েছে the আপনি টাকায় পেয়েছেন। আজ একটি বিজয়ীর মত মনে হয়। আপনি এটি অর্জন করেছেন খ)

— কিটসুন ক্যাভালারি

ধরুন, ব্যক্তি 1 একটি কাট অফ বেছে নেয় $c_1$ এবং ব্যক্তি 2 একটি কাট অফ বেছে নেয় $c_2$ , সঙ্গে $c_2\ge c_1$ । দিন $p_1(x)$ সম্ভাব্যতা হ'ল সেই ব্যক্তির চূড়ান্ত সংখ্যাটি এর চেয়ে বড় নয় $x$ । $p_1(x)$ সমান $c_1x$ যদি $x<c_1$ এবং $c_1x+x-c_1$ অন্যথায়। নির্ধারণ করা $p_2(x)$ একভাবে। এখন প্লট $p_2(x)$ বিরুদ্ধে $p_1(x)$ জন্য একটি প্যারাম্যাট্রিক প্লট $0\le x\le1$ । ফল তিনটি লাইন বিভাগ:

একটি থেকে $(0,0)$ প্রতি $(c_1^2,c_1c_2)$ , সংশ্লিষ্ট $0\le x\le c_1$ ;
একটি থেকে $(c_1^2,c_1c_2)$ প্রতি $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ , সংশ্লিষ্ট $c_1\le x\le c_2$ ;
একটি থেকে $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ প্রতি $(1,1)$ , সংশ্লিষ্ট $c_2\le x\le1$ ।

এই তিনটি লাইনের বিভাগগুলি ইউনিট বর্গক্ষেত্রকে দুটি ভাগে ভাগ করে। গ্রাফের নীচে অংশের ক্ষেত্রটি হ'ল সম্ভাব্যতা যে ব্যক্তি 1 এর উচ্চতর সংখ্যা রয়েছে। কিছু জ্যামিতি দেখায় যে এই অঞ্চলটি $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$ । স্থিতিশীল ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য এর উভয় আংশিক ডেরাইভেটিভ অবশ্যই শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ

1 - c_{2} - 2 c_{1} c_{2} + c_{2}^{2} = 0 - 1 - c_{1} + 2 c_{2} - c_{1}^{2} + 2 c_{1} c_{2} = 0

$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$

সমীকরণ যুক্ত করা দেখায় যে $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$ যা কেবল যদি সম্ভব হয় $c_1=c_2$ । সমীকরণগুলির একটিতে ফিরে আসা, $1-c_1-c_1^2=0$ সুতরাং একমাত্র স্থিতিশীল ভারসাম্য রইল $c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ।

— চ ''
সূত্র

এটি দুর্দান্ত উত্তর তবে কেন আপনি ভারসাম্যটিকে একটি স্থিতিশীল ভারসাম্য বলে?

— গিসকার্ড

@ এডেস্প আমি অনুমান করি যে এটি অপ্রয়োজনীয়।

— f ''