নিওক্লাসিক্যাল গ্রোথ মডেলে ট্রান্সভারসিলিটি শর্ত

নব্য-শাস্ত্রীয় বৃদ্ধির মডেলটিতে নিম্নলিখিত ট্রান্সভারসিলিটি শর্ত রয়েছে:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ কোথায়

k_{t + 1}

$k_{t+1}$ পর্যায়ক্রমে রাজধানী হয়

t

$t$ ।

আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

কীভাবে আমরা এই অবস্থাটি উদ্ভব করি?
আমরা যদি debtণ জমা না দিয়ে পথটি বাতিল করতে চাই তবে কেন আমাদের এটির প্রয়োজন?
ল্যাঞ্জরেঞ্জের গুণকগুলি কেন $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ মূলধনের বর্তমান মূল্য ছাড়?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
সূত্র

মধ্যে পার্থক্য জন্য উত্তরগুলি দেখুন transversality optimality শর্ত এবং সচ্ছলতা exogenous বাধ্যতা , economics.stackexchange.com/a/13681/61 এবং economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos

আমি এই পোস্টে ট্রান্সভারসালিটির অবস্থার পিছনে অন্তর্নিহিতের একটি অ-গাণিতিক, সরল-ভাষা বর্ণনা দেওয়ার চেষ্টা করেছি: मध्यम.com / @alexenderdouglas/ … আমি কোনও সামষ্টিক অর্থনীতিবিদ নই, তবে আমি অবশ্যই এটি ভুল পেয়েছি। যদি তা হয় তবে আমি আশা করি কিছু উত্তর শীঘ্রই উপস্থিত হবে।

— আলেকজান্ডার ডগলাস

এটি একটি মন্তব্য হওয়া উচিত, যেহেতু আপনি কেবল বাহ্যিক সামগ্রীর লিঙ্ক সরবরাহ করেন। এছাড়াও, ট্রান্সস্লোসিলিটি শর্তটি প্রত্যাশা গঠনের বিষয়ে কোনও অনুমানের উপর নির্ভর করে না, কারণ এটি এমন একটি শর্ত যা এমনকি নির্বিচার মডেলগুলিতেও আরোপিত যেখানে অনিশ্চয়তা অনুপস্থিত। এবং এটি বিশেষত সরকারী debtণের সাথে সম্পর্কিত নয়, তবে সাধারণভাবে যে কোনও সম্পদের সাথে সম্পর্কিত। মূল বিষয়টি হ'ল: কোন দোহাই উদ্দেশ্য (আমরা আমাদের বংশ বা সমাজের যত্ন নিই না) ধরে নিই, অবিকৃত ধন-সম্পদকে "পিছনে ফেলে" রাখা অবচেতন। এখানেই শেষ এটা পেতে ওখানে যাও.

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

সীমাবদ্ধ এটি একটি সীমাবদ্ধ দিগন্তের সাথে মোটামুটি সোজা, এবং যথারীতি যেমন দিগন্তটি "অনির্দিষ্ট" হয়ে যায় তখন এটি কিছুটা সোজা হয়ে যায় এবং স্ব-স্পষ্ট হয়ে যায়।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

উত্তর:

সীমাবদ্ধ দিগন্তের কোনও সমস্যা থেকে শুরু করে দিলে ট্রান্সভারসালিটির অবস্থাটি আরও সহজেই বোঝা যায়।

মানক সংস্করণে, আমাদের উদ্দেশ্য হল

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$ বিষযে

\begin{aligned} f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (resource/budget constraint) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (non-negativity constraint) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$ সঙ্গে

k_{0}

$k_0$ দেওয়া। সম্পর্কিত ল্যাঙ্গরজিয়ান (গুণক সহ)

λ_{t}

$\lambda_t$ ,

μ_{t}

$\mu_t$ , এবং

ω_{t}

$\omega_t$ ) হয়

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$ FOCs হয়

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ কুহন-টকার পরিপূরক স্লোনেস শর্ত সহ: জন্য for

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$ ,

\begin{aligned} λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$ যেহেতু সমস্ত পিরিয়ডে অর্থনীতির সীমাবদ্ধতা আবশ্যক, যেমন ie

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$ সবার জন্য

t

$t$ এটি শেষ সময়কালে অনুসরণ করে

T

$T$ ,

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$ যার ফলস্বরূপ বোঝায়

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$ ।

সাধারণত আমরা ধরে নিই $c_t>0$ সবার জন্য $t$ (ইনডা শর্ত), এবং এটি সূচিত করে $\mu_t=0$ সবার জন্য $t$ । সুতরাং গ্রাহক এফওসি হয়ে যায়

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

শর্তের দিকে তাকিয়ে $(1)$ $(2)$ এবং $(3)$ শেষ সময়কালে $T$ , আমরা পেতে

β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$ এটি অসীম দিগন্তে প্রসারিত করার সাথে সাথে আমরা ট্রান্সভারসিটির শর্তটি পাই

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

ট্রান্সভারসালিটির অবস্থার অন্তর্নিহিততা আংশিক যে "শেষ সময়ের কোনও সঞ্চয় নেই" is তবে অসীম দিগন্তের পরিবেশে কোনও "শেষ সময়" নেই বলে সময় অসীমের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে আমরা সীমাটি নিয়ে যাই।

— হের কে।
সূত্র

আমার মতে, সর্বোত্তম ব্যয়টি যুক্তি দ্বারা। এটি এইভাবে চিন্তা করুন: যদি আমরা পরিবারের কাছে কেবলমাত্র এটিই বলে থাকি যে তার উপযোগটি সর্বাধিক করা, সর্বোত্তম আচরণটি তখন কেবল অসীম debtণ গ্রহণ করে এবং অসীমভাবে গ্রাস করে। এটি কোনও বোধগম্য সমাধান নয়। তাই আমাদের আরও একটি অনুকূল শর্ত প্রয়োজন need এটি প্রশ্নের 2 উত্তর দেওয়া উচিত।

একটি সীমাবদ্ধ দিগন্তের সেটিংয়ে, শেষ সময়ের মধ্যে debtণ পরিশোধের পরে সম্ভাব্যতা অর্জন করা হবে। অসীম দিগন্তের সেটিংসে এটি সম্ভব নয়। যাইহোক, "accumণ জমা হওয়ার বিষয়টি অস্বীকার করা" আপনার পরামর্শ অনুসারে অত্যন্ত কঠোর একটি শর্ত (ট্রান্সভার্সালিটি শর্ত debtণ মঞ্জুর করে!)।

প্রশ্ন 3 এর উত্তর দিতে, আসুন শব্দটি দেখুন look $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ । এটি স্থানান্তরের (প্রান্তিক) ইউটিলিটি লাভ (বর্তমান-মানের ব্যবহারগুলিতে) এর জন্য দাঁড়িয়েছে $k_{t+1}$ মূলধনের ইউনিট পিরিয়ড টি এবং সেগুলি গ্রাস করে। এই ইউটিলিটি লাভ যদি অসীমের দিকে ইতিবাচক হয় তবে আমরা "পিরিয়ড ইনফিনিটি" এ আরও বেশি পরিমাণ গ্রাস করে সামগ্রিক ইউটিলিটি বাড়াতে পারি, সুতরাং আমাদের মূলধন পথটি অনুকূল হবে না।

প্রশ্ন 1: এই শর্তটি উত্পন্ন করার জন্য, আপনি হয় কেবলমাত্র আমি যুক্তিযুক্ত যুক্তিটি তৈরি করতে পারেন যা দেখিয়েছে যে ট্রান্সভার্সালিটির শর্তটি ব্যতীত মূলধন পথটি অনুকূল নয়, বা গাণিতিক প্রমাণের জন্য আপনি পরীক্ষা করে দেখতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, প্রতি ক্রুসেলের নোটগুলি (যদিও এটি উপলব্ধি করা বরং কঠিন)

— ক্রিস টাই
সূত্র