ওভারল্যাপিং প্রজন্মের মডেলের জন্য স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য স্থিতিশীলতা

Question

ডারন এসমোগ্লু থেকে আধুনিক অর্থনৈতিক বৃদ্ধির ভূমিকা থেকে, প্রস্তাব 9.4 হল:

দুই-মেয়াদের সঙ্গে overlapping প্রজন্মের মডেল বসবাস   পরিবারের, কোব-ডগলাস প্রযুক্তি এবং সিআরআরএ পছন্দগুলি, রাজধানী-শ্রম অনুপাত কে * (9.15) এবং যতক্ষন $ \ theta \ geq 1 $ দিয়ে প্রদত্ত একটি অনন্য স্থিতিশীল-রাষ্ট্র সামঞ্জস্য বিদ্যমান, এই স্থিতিশীল-রাষ্ট্র সামঞ্জস্য বিশ্বব্যাপী সব k (0) & gt; জন্য স্থিতিশীল 0।

যেখানে (9.15) হয়: $$ (1 + N) [1+ \ বিটা ^ {- অর্থাত \ frac {1} {\ থেটা}} (\ আলফা (ট ^ *) ^ {\ আলফা -1}) ^ {অর্থাত \ frac {\ থেটা-1 } {\ theta}}] = (1- \ alpha) (কে ^ *) ^ {\ alpha - 1} $$

আমার প্রশ্ন হচ্ছে স্থিতিশীল-রাষ্ট্রের স্থিতিশীলতার জন্য $ \ theta $ 1 এর চেয়ে বড় বা সমান হতে হবে কেন বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল হতে?

পাঠ্যপুস্তক হিসাবে আবির্ভূত হয় (9.17): $$ ট (টি + 1 টি) = অর্থাত \ frac {(1- \ আলফা নয়) ট (টি) ^ \ আলফা} {(1 + N) [1+ \ বিটা ^ {- অর্থাত \ frac {1} {\ থেটা}} (\ alpha k (t + 1) ^ {\ alpha-1}) ^ {\ frac {\ theta-1} {\ theta}}]} $$

আমরা পেতে পুনর্বিন্যাস করতে পারেন: $$ \ শুরু {সারিবদ্ধ} K (টি) & amp; = \ বড় [\ frac {1 + n} {1- \ alpha} [k (t + 1) + \ beta ^ {- \ frac {1} {\ theta}} \ alpha ^ { \ frac {\ theta-1} {\ theta}} k (t + 1) ^ {(\ alpha-1) (1- \ frac {1} {\ theta}) + 1}] \ big] ^ \ frac {1} {\ alpha} \ text {..... (1)} \ শেষ {সারিবদ্ধ} $$

$ N = 0.01 $, $ \ alpha = 0.25 $, $ \ beta = 0.75 $ যাক।

যদি $ \ theta = 1 $, আমরা গ্রাফটি চক্রান্ত করতে পারি:

নীল লাইন সমীকরণ (1) যেখানে $ \ theta = 1 $ এবং লাল লাইন 45-ডিগ্রি লাইন। এটা দেখা যায় যে সকল কে & gt; 0, কে স্থিতিশীল রাষ্ট্র K * একত্রিত হবে। স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল।

মামলা $ \ theta & gt; 1 ডলার, যা স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল।

যদি $ \ theta & lt; $ 1, $ \ theta = 0.5 $ মত, আমরা অনুরূপ গ্রাফটি চক্রান্ত করতে পারি:

গ্রাফটি সেই ক্ষেত্রে জন্য গ্রাফের মতো যা $ \ theta \ geq 1 $। স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য এখনও বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল।

আমি একটি কেস খুঁজে পাচ্ছি না যেখানে $ \ theta & lt; 1 ডলার, কিন্তু স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল নয়। মনে হচ্ছে যে $ \ frac {1} {\ alpha} & gt; $ \ Alpha \ এর জন্য $ 1 (0,1) $ সমীকরণ (1) এর আকৃতি নির্ধারণ করে, যা বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল-স্থিতিশীল স্থিতিশীলতাকে স্থির করে। কেউ যদি আমাকে একটি পাল্টা উদাহরণ দেখাতে পারে যেখানে $ \ theta & lt; 1 ডলার, কিন্তু স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল নয়। কেউ যদি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রপোজিশন 9.4 প্রমাণ করতে পারে, তাহলে এটি ভাল হবে।

স্বীকারোক্তি: গ্রাফগুলি উলফরামালফার দ্বারা তৈরি করা হয়েছে।

সম্পাদনা করুন (19 এপ্রিল, ২017) : কেস $ \ theta = 0 $: নোট করুন যে যখন পাঠ্যপুস্তকটি আবির্ভূত হয় (9.17), এটি অনুমান করে যে $ \ theta \ neq 0 $ (পাঠ্যপুস্তক 200 9 এর সংস্করণে P.333 তে ব্যবহারের জন্য ইউলার সমীকরণের উদ্ভাবনের জন্য)। যখন $ \ theta = 0 $, সমীকরণ (1) আর প্রযোজ্য হয় না। $ \ Theta = 0 $ দিয়ে ইউটিলিটি সর্বাধিক সমস্যাতে ফিরে আসছে:

$$ \ text {max} u (t) = c_1 (t) + \ beta (c_2 (t + 1)) \ text {such}} c_1 (t) + \ frac {c_2 (t + 1)} {R (t +1)} = w (t) \\ \ Leftrightarrow \ text {max} U (t) = c_1 (t) + \ beta (w (t) - c_1 (t)) R (t + 1) = c_1 (t) (1 - \ beta R (t + 1) ) + \ Beta R (t + 1) w (t) \\ \ text {... গ্রাহকের নিজস্ব অপ্টিমাইজেশান সমস্যা হিসাবে দেওয়া R (টি +1) ব্যবহার করা উচিত} $$

s (t) $ k (t + 1) = \ frac {s (t)} {1 + n} $ এবং k (t + 1) অ-নেতিবাচক জন্য অ-ঋণাত্মক হতে হবে। $$ c_1 (t) ^ * = \ start {cases} w (t) \ text {, for} \ beta R (t + 1) & lt; 1 \\ [0, w (t)] \ text {, for} \ beta R (t + 1) = 1 \\ 0 \ পাঠ্য {,}} বিটা আর (টি + 1) & gt; 1 \\ \ শেষ {ক্ষেত্রে} $$ $$ গুলি (টি) ^ * = \ শুরু {ক্ষেত্রে} 0 \ পাঠ্য {,}} বিটা আর (টি + 1) & lt; 1 \\ w (t) - c_1 (t) ^ * \ in [0, w (t)] \ text {, for} \ beta R (t + 1) = 1 \\ w (t) \ text {, for} \ beta R (t + 1) & gt; 1 \\ \ শেষ {ক্ষেত্রে} $$ $ R (t + 1) = f '(k (t + 1)) = \ alpha k (t + 1) ^ {\ alpha - 1} $, $$ k (t + 1) = \ frac {s (t)} {1 + n} = \ begin {cases} 0 \ পাঠ্য {,}} \ বিটা আর (টি + 1) & lt; 1 \ বাম তীরচিহ্ন ক (টি + 1) & lt; (\ alpha \ beta) ^ {\ frac {1} {1 - \ alpha}} \\ \ frac {w (t) - c_1 (t)} {1 + n} \ in [0, \ frac {w (t)} {1 + n}] \ text {, for} \ beta R (t +1 ) = 1 \ বামাইটাররো ক (টি + 1) = (\ আলফা \ বিটা) ^ {\ frac {1} {1 - \ alpha}} \\ \ frac {w (t)} {1 + n} = \ frac {k (t) ^ \ alpha-k (t) \ alpha k (t) ^ {\ alpha -1}} {1 + n} = \ frac {1- \ alpha} {1 + n} k (t) ^ \ alpha \ text {, অন্যথায়} \ leftrightarrow k (t) & gt; [\ frac {1 + n} {1 - \ alpha} (\ alpha \ beta) ^ {\ frac {1} {1 - \ alpha}}] ^ {\ frac {1} {\ alpha}} \\ \ শেষ {ক্ষেত্রে} $$

মামলা:
কেস 1: $ \ বিটা আর (টি + 1) & lt; 1 \ Leftrightarrow R (t + 1) & lt; অর্থাত \ frac {1} {\ বিটা} $: উৎপাদন ফাংশন $ f (k) $ কোব-ডগলাস হিসাবে, এটি ইনডাদা শর্তটি সন্তুষ্ট করে: $ lim_ {k (t) \ to 0} f '(k (t)) = \ infty $। কিন্তু $ f '(k (t)) = R (t) $, $ lim_ {k (t) \ to 0} R (টি) & lt; $ র $ (টি) & lt; \ frac {1} {\ beta} & lt; \ ইনফিড $ $ $ বিটা \ ইন (0,1) $, ইনড অবস্থাটি লঙ্ঘন করছে। এই দ্বন্দ্ব মানে এই ক্ষেত্রে অসম্ভব।

কেস 2: $ \ বিটা আর (টি + 1) = 1 \ বামাইটাররো \ বিটা \ আলফা কে (টি + 1) ^ {\ alpha-1} = 1 \ বামাইটাররো ক (টি + 1) ^ {\ alpha-1} = \ frac {1} {\ alpha \ beta} \ leftrightarrow k (t + 1) ^ {1- \ alpha} = \ alpha \ beta $: $ \ Mathcal {S} (t) = \ frac {s (t)} {w (t)} $ টি হিসাবে টিতে সংরক্ষণের হার উল্লেখ করুন। $ k (t + 1) = \ frac {s (t)} {1 + n} = \ frac {\ mathcal {S} (t) w (t)} {1 + n} = \ frac {\ mathcal { এস} (T) (1- \ আলফা নয়) ট (টি) ^ \ আলফা} {1 + N} $। স্থিতিশীল অবস্থায়, $ k ^ * = \ frac {\ mathcal {S} ^ * (1- \ alpha) {k ^ *} ^ \ alpha} {1 + n} $, অর্থাত $ \ mathcal {S} ^ * = \ frac {1 + n} {1- \ alpha} {k ^ *} ^ {1- \ alpha} = \ frac {1 + n} {1- \ alpha} \ alpha \ বিটা $। $ \ Mathcal {S} ^ * & gt; জন্য 1 \ Leftrightarrow (1 + n) \ alpha \ বিটা & gt; 1 - \ alpha \ leftrightarrow \ বিটা & gt; \ frac {1 - \ alpha} {\ alpha (1 + n)} $, যা সম্ভব। সংরক্ষণের হার 1 এর চেয়ে বড় হতে পারে না, এই দ্বন্দ্ব মানে এই ক্ষেত্রে অসম্ভব।

কেস 3: $ \ বিটা আর (টি + 1) & gt; 1 $: এই ক্ষেত্রে সম্ভব। $$ k (t + 1) = \ frac {1- \ alpha} {1 + n} k (t) ^ \ alpha $$ আমরা গ্রাফ আঁকতে পারি:
লাল লাইন 45 ডিগ্রী লাইন। নীল লাইনটি $ k (t + 1) = \ frac {1- \ alpha} {1 + n} k (t) ^ \ alpha $ যেখানে $ 0 & lt; \ alpha & lt; 1 $। সব k (0) & gt; 0, কে স্থিতিশীল অবস্থায় একত্রিত হবে $ k ^ * = \ frac {1- \ alpha} {1 + n} {k ^ *} ^ \ alpha \ leftrightarrow k ^ * = [\ frac {1- \ alpha} { 1 + N}] ^ {অর্থাত \ frac {1} {1- \ আলফা}} $। স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল।

Answer 1

পি। বইয়ের 334 (২009 সংস্করণ), আমি পড়েছি:

প্রস্তাব 9.4 দুই-মেয়াদের বাসিন্দাদের সাথে ওভারল্যাপিং-প্রজন্মের মডেলগুলিতে, কোব-ডগলাস প্রযুক্তি এবং সিআরআরএ   পছন্দ, সঙ্গে একটি অনন্য স্থায়ী-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিদ্যমান আছে   মূলধন-শ্রম অনুপাত $ কে ^ * $ (9.15) এবং দেওয়া যেকোনো $ \ theta & gt; $ 0 জন্য এই স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিশ্বব্যাপী   সব k (0) & gt; জন্য স্থিতিশীল 0।

... এটা "... যতক্ষণ $ \ theta \ geq 1 $" বলে না।

যোগসূত্র: কেস $ \ theta = 0 $

OP $ $ theta = 0 $ ক্ষেত্রে বিবৃত। সুতরাং এর সমাধান করার চেষ্টা করি।

এখানে, intertemporal ইউটিলিটি খরচ রৈখিক হয়ে। এছাড়াও, আমরা ব্যবহারকে শূন্য হতে দেব-অনুমান করুন যে এখানে একটি বহিরাগত অবসন্নতা রয়েছে যা ব্যক্তিদের জৈবিক চাহিদাগুলির যত্ন নেয় এবং অন্য কোনো উদ্দেশ্যে ব্যবহার করা যায় না, তাই খরচ পছন্দটি বেঁচে থাকা সম্পর্কে নয়। তবুও, আমরা অর্থনৈতিকভাবে আকর্ষণীয় ক্ষেত্রে আগ্রহী, তাই আমরা কেস $ c_2 = 0 $ বাদ দিয়েছি কারণ এর অর্থ হবে যে মূলধন স্টক শূন্য হবে, এবং অর্থনীতি বন্ধ হবে। সুতরাং আমরা শুধুমাত্র $ c_1 = 0 $ জন্য অনুমতি দেয়। তারপর, আমরা সমাধান মূল উদ্দেশ্য মধ্যে সমতা সীমাবদ্ধতা অন্তর্ভুক্ত

$$ \ max U = c_1 (t) + \ beta R (t + 1) [w (t) -c_1 (t)] \; \; \; s.t \;। \; 0 \ leq c_1 (t) & lt; W (টি) $$

তাই Lagrangian হয়

$$ \ Lambda = c_1 (t) + \ beta আর (t + 1) [w (t) -c_1 (t)] + \ lambda c_1 (t) $$

এবং f.oc.c. হয়

$$ 1 - \ Beta R (t + 1) + \ lambda \ leq 0, \; \; \; \; (1 - \ বিটা আর (টি + 1) + \ lambda) \ cdot c_1 (t) = 0 $$

আমি সর্বাধিক জন্য দ্বিতীয় ক্রম অবস্থার বিষয় উপেক্ষা করা হবে।

মামলা 1. ধরে $$ c_1 ^ * (টি)> 0 \ বোঝা \ lambda = 0 \ বোঝায় 1 = \ বিটা R (t + 1) $$

$$ \ implies 1 = \ beta ak (t + 1) ^ {a-1} \ implies k (t + 1) = (একটি \ beta) ^ {1 / (1-a)} $$

কিন্তু এই জন্য রাখা আবশ্যক সব সময়কাল, তাই এটি শুধুমাত্র প্রাথমিক মূলধন বন্ধের একটি নির্দিষ্ট মূল্যের জন্য রাখা যেতে পারে এবং সমস্ত $ কে (0)> 0 ডলারের জন্য নয়। তাই ইতিমধ্যে, আমরা দেখি যে এই মামলাটি শর্ত 9.4 বলেছে এমন শর্ত পূরণ করে না।

কেস 2। ধরে $$ c_1 ^ * (টি) = 0 \ বোঝা \ lambda> 0 \ বোঝায় 1 - \ বিটা আর (টি + 1) + \ lambda \ leq 0 \ বোঝায় \ বিটা আর (টি + 1) & gt; 1 $$

$$ \ implies \ beta ak (t + 1) ^ {a-1} & gt; 1 \ বোঝায় k (t + 1) & lt; (একটি \ বিটা) ^ {1 / (1-এ)} $$

এখানে মূলধন স্টক সব সময়ে নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট মাত্রা নীচে থাকা আবশ্যক। আবার, এটি প্রাথমিক মূলধনের স্টক $ কে (0) $ এর মানের উপর বাধা দেয়।

সুতরাং উভয় ক্ষেত্রে, যদি একটি স্থিতিশীল-রাষ্ট্র ভারসাম্য বিদ্যমান, এটি " বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল, জন্য সব $ ট (0) করুন & gt; 0 $ "।

Comments

মনে হচ্ছে বইয়ের 2007 সংস্করণটি পড়ছি, যা খসড়া সংস্করণ। কিন্তু, যদি $ \ theta = 0 $, সমীকরণ 1 $ কে (টি) = [\ frac {1 + n} {1- \ alpha} k (t + 1)] ^ {\ frac {1} {\ আলফা}} $, সমীকরণ 1 এবং 45-ডিগ্রী লাইনের গ্রাফ আমার পোস্টে দেখানো একই রকম হবে, স্থিতিশীল-রাষ্ট্রের ভারসাম্য এখনও বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল হবে। আমি কি সঠিক?

— Chris Cheung

@ChrisCheung আমি এই ইউটিলিটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা শুরুতে ফিরে যেতে এবং $ \ theta = 0 $ দিয়ে এটি সমাধান করার প্রস্তাব দিচ্ছি, এটি সঞ্চয়ের হারের কী হবে তাও দেখে।

— Alecos Papadopoulos

আমি নিম্নলিখিত গণনাটি করেছি: $$ \ text {max} U (t) = c_1 (t) + \ beta (w (t) - c_1 (t)) R (t + 1) \\ = w (t) - s (t) + \ frac {\ alpha \ beta} {(1 + n) ^ {\ alpha - 1}} s (t) ^ \ alpha $$ $ s (t) $ এর সাপেক্ষে প্রথম অর্ডার শর্ত দেয় : $ s (t) ^ * = (1 + n) (\ alpha ^ 2 \ beta) ^ {\ frac {1} {1 - \ alpha}} $ তারপর $ k (t + 1) = \ frac { গুলি (টি)} {1 + n} = (\ alpha ^ 2 \ beta) ^ {\ frac {1} {1 - \ alpha}} \ text {, একটি ধ্রুবক} $। এর অর্থ হল স্টেডি-স্টেট ভারসাম্য যেখানে $ k ^ * = (\ alpha ^ 2 \ beta) ^ {\ frac {1} {1 - \ alpha}} $ বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল, এমনকি k কে $ কে ^ * $ থেকেও বিচ্যুত করে এক সময়ের জন্য, পরের সময়ের K কে স্থির অবস্থায় ফিরে যাবে ^ ^ *। আমি কি সঠিক?

— Chris Cheung

@ChrisCheung $ \ theta = 0 $ ক্ষেত্রে সমস্যাটি ইউটিলিটি রৈখিক ব্যবহার করে তোলে (উভয় সমসাময়িক এবং আন্তঃপ্রাচ্যগত), যা অনন্যতার বিষয়গুলি উপস্থাপন করে। এছাড়াও আমি মনে করি যে আপনি সঞ্চয় সম্পর্কে গ্রস সুদের হারের পার্থক্য করেছেন, কিন্তু এটি "কেন্দ্রীয় পরিকল্পক" সমাধান, প্রতিযোগিতামূলক এক নয় যেখানে ব্যক্তিদের দ্বারা ফ্যাক্টর পুরষ্কারগুলির দ্বারা বাজার-নির্ধারিত এবং এতগুলি নির্জন তাদের অপ্টিমাইজেশান সমস্যা।

— Alecos Papadopoulos

এই একটি কেন্দ্রীয় পরিকল্পনাকারী সমস্যা নয় মনে করিয়ে দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি আমার প্রশ্নের নীচে $ \ theta = 0 $ ক্ষেত্রে আমার ডেরিভেশন যোগ করেছি। কিন্তু, আমি এই ক্ষেত্রে অনন্যতা বিষয় প্রবর্তন দেখতে না। আমার মনে হয় $ \ theta = 0 $ স্থিতিশীল-রাষ্ট্র সমান্তরাল বিশ্বব্যাপী স্থিতিশীল যেখানে অবস্থা হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। আপনি $ ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন $ $ theta = 0 $ স্বতন্ত্রতা সমস্যা উপস্থাপন করে?

— Chris Cheung