যখন অনুকূল নিয়ন্ত্রণ ব্যর্থ হয় (?)

"আমার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে" প্রথমে আমাকে একটি মডেল সমাধান করতে হবে। আমি কিছু পদক্ষেপ বাদ হবে কিন্তু এখনও, এই অনিবার্য পোস্টটি করতে হবে খুব দীর্ঘ -so এটাও দেখতে এই সম্প্রদায় প্রশ্ন ধরনের লেগেছে কিনা একটি পরীক্ষা।

শুরু করার আগে, আমি পরিষ্কার করে দিয়েছি যে এটি সম্পূর্ণরূপে অবিচ্ছিন্ন সময়ে একটি আদর্শ নিওক্লাসিক্যাল গ্রোথ মডেলের মতো দেখতে পারে তবে এটি নয় : এটি একটি একক ব্যক্তির সাথে সম্পর্কিত, যা তার চারপাশের অর্থনীতিতে অন্য কাউকে "প্রতিনিধিত্ব" করে না, এমন একটি অর্থনীতি যা মডেল করা হয় না। এখানে কাঠামোটি হ'ল "একক ব্যক্তির সর্বাধিক সমস্যার ক্ষেত্রে অনুকূল নিয়ন্ত্রণের প্রয়োগ"। এটি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমাধান কাঠামো এবং নিজেই পদ্ধতি সম্পর্কে।

তিনি একটি নিখরচায় ব্যবসায়ীর মূলধনের মালিক যে ছোট ব্যবসায়ীের আন্তঃকালীন ইউটিলিটি সর্বাধিকীকরণ সমস্যাটি সমাধান করি, যখন তিনি নিখুঁত প্রতিযোগিতামূলক শ্রমবাজারে শ্রম পরিষেবাদি ক্রয় করেন এবং তিনি তার পণ্যটি (টাটকা ডোনাটস) পুরোপুরি প্রতিযোগিতামূলক পণ্য বাজারে বিক্রি করেন। আমরা অনিশ্চয়তা ছাড়াই ধারাবাহিক সময়ে মডেলটি সেট করি (আর্থসামাজিক অবস্থার অবিচল থাকে) এবং অসীম দিগন্ত সহ (ব্যবসায়ীটি তার একাধিক ভবিষ্যতের অনুলিপি কল্পনা করে):

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

যেখানে $c$ ব্যবসায়ীের ব্যবহার, consumption $\ln c$ হ'ল ব্যবহারের তাত্ক্ষণিক ইউটিলিটি, $\rho>0$ খাঁটি সময়ের পছন্দের হার, $k$ ফার্মের মূলধন, $\delta$ মূলধন হ্রাসের হার এবং $f(k,\ell)$ ব্যবসায়ের উত্পাদন ফাংশন। প্রাথমিক স্তর মূলধন দেওয়া হয়, $k_0$ । ব্যবসায়ের সাথে ব্যবসায়ীটির নিজস্ব পেশা মূলধন হিসাবে অন্তর্ভুক্ত হয়। উত্পাদনের কাজটি হ'ল স্ট্যান্ডার্ড নিউওক্লাসিক্যাল (স্কেল থেকে ধ্রুবক রিটার্ন, ধনাত্মক প্রান্তিক পণ্য, নেতিবাচক দ্বিতীয় পার্টিয়াল, ইনডা শর্ত)। সীমাবদ্ধতা হ'ল মূলধনের গতির আইন এবং বর্তমান মান গুণক ব্যবহার করে ট্রান্সভারসালিটি শর্ত।

বর্তমান মান হ্যামিলটনিয়ান সেট আপ করা হচ্ছে

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

আমরা প্রথম-ক্রমের শর্তগুলি গণনা করি

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

এবং তাদের একত্রিত করে আমরা আমাদের ব্যবসায়ীের ব্যবহারের বিবর্তনের আইন পেয়েছি,

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

শ্রম চাহিদার সর্বোত্তম নিয়ম থেকে From (স্থিতিশীল) এবং স্কেল জড়িত স্থির প্রত্যাবর্তন ( ) আমরা । আমরা প্রাপ্ত মূলধনের গতির আইনে এটি প্রবেশ করানো $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

সমীকরণ এবং ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠন করে। ব্যবহারের জন্য স্থির-রাষ্ট্রীয় মান এবং ব্যবসায়ীর মূলধন হয় $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*}, k^{*} : f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... যা একটি খুব পরিচিত অভিব্যক্তি।

$k^*$ কে কখনও কখনও মূলধনের "পরিবর্তিত সোনার নিয়ম" স্তর বলা হয়। অবিচলিত রাষ্ট্রীয় মানগুলিতে মূল্যায়ন করা সিস্টেমের জ্যাকবিয়ান মডেল পরামিতিগুলির যে কোনও মানের জন্য একটি নেতিবাচক নির্ধারক রয়েছে , যা সিস্টেমের জন্য স্যাডল-পাথ স্থায়িত্ব প্রদর্শনের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত।

সর্বাধিক লোকাস বিন্দুতে, (কখনও কখনও "স্বর্ণের নিয়ম" মূলধনের স্তর হিসাবে পরিচিত) $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

মান একটি মাত্রাবিশিষ্ট হিসাবে গুরুত্বপূর্ণ: এটা মূলধনের স্তর যেখানে এবং একটি এ সর্বাধিক (না অনুকূল বা স্থির অবস্থা )। $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

loci অবিচলিত-রাজ্যের রাজধানী পর্যায়ে ফেজ ডায়াগ্রাম এর অনুভূমিক অক্ষ (যে ব্যবস্থা মূলধন) অতিক্রম করে । $\dot c=0$ $k^*$

যদি , যার জন্য নেতিবাচক দ্বিতীয় কারণে প্রয়োজন হয়, আমাদের "মূলধনের বেশি পরিমাণে জমা" (অনেক বেশি ডোনাট) থাকবে: ব্যবসায়ী আরও স্থির- উপভোগ করতে পারত মূলধনের নিম্ন স্তরের সাথে রাষ্ট্রীয় ব্যবহার। ব্যবহার এবং আমরা আছে $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} (\tilde{k}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

বৈষম্য হ'ল মূলধনের উপ-অনুকূল স্থির-রাষ্ট্রীয় স্তরের শর্ত। এবং বিষয়টি হ'ল আমরা এটিকে বাতিল করতে পারি না । এটি কেবল প্রয়োজন যে ব্যবসায়ীকে "পর্যাপ্ত ধৈর্যশীল", যথেষ্ট পরিমাণে খাঁটি সময়ের পছন্দ সহ, তবে এখনও ইতিবাচক। $(5)$

এখানে সমস্যাটি শুরু হয়: মূলধনের অত্যধিক সঙ্কলন কার্যকরভাবে প্রতিনিধি এজেন্টের মডেলটিতে বাদ দেওয়া হয়। প্রজন্মের মডেলগুলির ওভারল্যাপিংয়ে এটি সম্ভব, তবে ম্যাক্রো অর্থনৈতিক স্তরে একটি অযৌক্তিক পরিণতি হিসাবে ম্যাক্রো-অর্থনীতিটি মাইক্রো-প্রতিষ্ঠিত হতে পারে এবং এখনও মাইক্রো-ওয়ার্ল্ডের চেয়ে আলাদা আচরণ করে।

তবে আমাদের মডেলটি কোনও বিভাগে আসে না: এটি স্পষ্টত ভিন্ন ভিন্ন পরিবেশে একক এজেন্টের আংশিক ভারসাম্যপূর্ণ মডেল here এবং সাধারণ ভারসাম্য এখানে ফলাফলগুলি পরিবর্তন করতে পারে না: এই ব্যক্তিটি কেবল নিজের প্রতিনিধিত্ব করেন। সুতরাং সমস্যাটি হ'ল যদি ধরে, তবে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমাধান অবশ্যই উপ-অনুকূল হবে , কারণ এখানে আমাদের একক ব্যক্তি, একক ইচ্ছা, একটি মন আছে: সমাধানটি দেখে আমাদের ব্যবসায়ী বলবেন, " আরে, এই পদ্ধতিটি মূল্যহীন, যদি আমি তার পরামর্শ অনুসরণ করি তবে আমি উপ-অনুকূল উচ্চ স্তরের মূলধনটি শেষ করব "। $(5)$

এবং আমি কেবল "ভাল, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ এই সমস্যার জন্য উপযুক্ত নয়, অন্য একটি পদ্ধতি চেষ্টা করুন" বলতে সন্তুষ্ট নই, কারণ কেন আমাদের এটি অনুপযুক্ত মনে করা উচিত তা আমি দেখতে পাচ্ছি না । কিন্তু যদি উপযুক্ত হয়, তাহলে পদ্ধতি সংকেত উচিত যে কিছু ভুল, এটা কিছু সময়ে উচিত প্রয়োজন যে নেই না অর্ডার একটি সমাধান (অফার পাবে রাখা, যদি এমন হয় যে তার না হোল্ড, সবকিছু ফুলে উঠছে বলে মনে হচ্ছে)। $(5)$ $(5)$

কেউ ভাবতে পারেন " ধরে রাখলে ট্রান্সভারসালিটি শর্তটি লঙ্ঘিত হতে পারে ?" -কিন্তু এটি দেখে মনে হচ্ছে না যেহেতু , যা ইতিবাচক ধ্রুবক পর্যন্ত যায়, যখন to এ যায় শূন্য, কেবলমাত্র এটি প্রয়োজন । $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

আমার প্রশ্নগুলো:

1) কেউ এখানে কিছু অন্তর্দৃষ্টি প্রস্তাব করতে পারেন?

2) যদি কেউ ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে এটি সমাধান করে এবং ফলাফলগুলি জানায় তবে আমি কৃতজ্ঞ হব।

সংযোজন
একটি দেখুন গাণিতিক বিন্দু থেকে, এই মডেলের গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল যে অনুকূল মূলধনের গতি, EQ আইন। স্ট্যান্ডার্ড মডেলের মতো পুরো আউটপুট অন্তর্ভুক্ত করে না , তবে কেবল ক্যাপিটাল । এবং এটি ঘটে কারণ আমরা আউটপুটটির উপরে সম্পত্তি অধিকারগুলি পৃথক করেছি, যা "স্বতন্ত্র ব্যবসায় সর্বাধিক সমস্যা" কাঠামোর মধ্যে প্রত্যাশিত। $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আপনি "kdot = 0 লোক্সের সর্বাধিক" বললে আপনার অর্থ কী তা আমি নিশ্চিত নই। সর্বাধিক? এছাড়াও, আপনি যখন (4) গণনা করেন, তখন কি আপনার সম্পূর্ণ পৃথকীকরণ করা উচিত নয় (2) - অর্থাৎ আপনি কে সি পরিবর্তন করার পরেও কেডিট = 0 নিশ্চিত করার জন্য প্রয়োজনীয় সি এর পরিবর্তনের গণনা করা উচিত নয়?

— সর্বব্যাপী

@ সর্বনিম্ন মূলধন সম্পর্কিত সম্মান। ঠিক ঠিক এইভাবেই ফেজ ডায়াগ্রামগুলি অঙ্কিত হয় তবে আমি এখানে এই গণনাগুলিও অন্তর্ভুক্ত করতে পারি না। দ্বিতীয় প্রশ্ন জন্য: সেটিং থেকে আসে মধ্যে এবং রাজধানী এর কার্যকারিতা হিসেবে খরচ প্রকাশ ( না স্থির অবস্থা মূল্য এ মূল্যায়ন)। এই লোকসের আকৃতিটি পেতে, আমরা মূলধনের সাথে এটি আলাদা করে থাকি।

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— আলেকোস পাপাদোপল্লো

আমি পুরো জিনিসটি পরীক্ষা করে দেখিনি, তবে একটি সমস্যা আমি দেখতে পাচ্ছি যে শ্রমের অনুকূলতা শর্তটি (সিআরএসের অধীনে) মূলধন / শ্রম অনুপাত নির্ধারণ করবে, যা পরিবর্তিতভাবে মূলধনের প্রান্তিক পণ্য নির্ধারণ করে, যা সর্বোত্তম পথ ধরে ধ্রুবক হবে। মডেলটি তখন বহিরাগত সুদের হারের সাথে স্ট্যান্ডার্ড খরচ-সংরক্ষণের সমস্যার সমতুল্য, সুতরাং এমপিকে - ডেল্টা> আরহো যদি এজেন্টের ব্যবহার স্থির হারে বৃদ্ধি পাবে (অর্থাত্ কোনও স্থিতিশীল অবস্থা নেই)।

— ivansML

@ivansml। অবদান রাখার জন্য ধন্যবাদ। তবে সমাধানটি বলে দেয় না । স্থির অবস্থা হয় যেখানে এ , EQ। । এই অবিচলিত রাষ্ট্রটি মূলধনের কোন স্তরের সাথে সামঞ্জস্য হয় এবং এটি "সোনার নিয়ম" স্তরের উপরে বা নীচে থাকবে কিনা তা সমস্যা । ।

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

কেবলমাত্র আমি এখনই লক্ষ্য করেছি যে এই প্রশ্নটি বরং পুরানো ... আশা করি তাতে কিছু যায় আসে না। বিষয়ে ফিরে যান - অবশ্যই শ্রম FOC দ্বারা নির্ধারিত হতে হবে। অবস্থায় কেবল তখনই অস্তিত্ব থাকবে যদি এই মানটি সমান হয় , অর্থাৎ কাকতালীয়ভাবে (বা কিছু সাধারণ ভারসাম্য বিবেচনা)। যদি এটি বেশি হয় তবে এজেন্ট অনির্দিষ্টকালের জন্য মূলধন সংগ্রহ করবে এবং তার ব্যবহার বাড়বে, যদি এটি কম হয় তবে সে মূলধনকে হ্রাস করবে এবং তার ব্যবহার হ্রাস পাবে। এটা সত্যিই সব সিআরএস ধৃষ্টতা কারণে এর - "রাজস্ব" ফাংশন হয় রৈখিক মধ্যে একবার দৃঢ় সেরা অনুকূল রূপ শ্রম উপর, তাই প্রবৃদ্ধি সম্ভব।

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansML

উত্তর:

আমি বিশ্বাস করি যে সমস্যাটি হ'ল স্থির রাষ্ট্রের অস্তিত্ব থাকতে পারে এবং সিস্টেমটি পরিবর্তে স্থির বৃদ্ধি (পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে) প্রদর্শন করে ex

কারণটি হ'ল মডেলটি বহিরাগত এবং ধ্রুব সুদের হারের সাথে স্ট্যান্ডার্ড খরচ-সঞ্চয় সমস্যার সমতুল্য। দেখতে, প্রথমে শ্রম পছন্দ জন্য প্রথম আদেশ শর্ত বিবেচনা (এখানে, আংশিক ডেরিভেটিভ হয় wrt। তম যুক্তি)। ধ্রুবক রিটার্নের সংজ্ঞা ব্যবহার করে শ্রমের প্রান্তিক পণ্য হ'ল যা কেবলমাত্র মূলধন-শ্রম অনুপাতের একটি ক্রিয়া function যদি মজুরি স্থির থাকে তবে শ্রম FOC সর্বোত্তম অনন্যভাবে নির্ধারণ করে $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ মজুরি এবং অন্যান্য পরামিতিগুলির ফাংশন হিসাবে অনুপাত । যেহেতু মূলধনের প্রান্তিক পণ্য এছাড়াও উপর নির্ভর করে , এটি সর্বোত্তম পথে বরাবর স্থির থাকবে। প্রান্তিক পণ্যের এর এই মানটি চিহ্নিত করুন এবং অবমূল্যায়নকে । মূলধন এবং গতিশীলতার জন্য সমীকরণ (1) - (2) তারপরে এবং ট্রান্সভার্সবিলিটি শর্তটি পূরণ করে এমন নির্দিষ্ট সমাধানটি হওয়া উচিত

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = (r - ρ) c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ কে- দেওয়া, অর্থাত্ ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে প্রতি মুহুর্তে হয়হারে উভয় রাজধানী ও খরচ হত্তয়া , তাই কোন স্থির অবস্থা যদি না রাজধানী ফিরে (যা এখানে exogenous মজুরি হারের উপর নির্ভর করে ) সময় পছন্দের হার সমান।

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ivansml
সূত্র

(+1) ধন্যবাদ আমি এখন এটি আমার উত্তরের দিকে নিয়ে যাচ্ছি।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

দুর্দান্ত উত্তর মূলত, শ্রমকে সর্বোত্তমভাবে বেছে নেওয়া হলে মুনাফার কাজটি মূলধনে রৈখিক হয়ে যায় - যাতে এই মডেলটি একে একে উন্নত হয়, যার বৈশিষ্ট্য (স্থির রাষ্ট্রীয় বৃদ্ধি সহ) ভালভাবে বোঝা যায়।

— নামমাত্র অনমনীয়

@ সাধারণভাবে গ্রিড তবে কেবলমাত্র যদি আমরা ধরে নিই যে মজুরি স্থির থাকে । মনে রাখবেন এটি সাধারণ ভারসাম্য নয়, অর্থনীতির মহাসাগরে কেবল একটি স্বল্প স্বতন্ত্র সাঁতার।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

আমি এটি একটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করছি, কারণ এটি ব্যবহারকারী @ivansML উত্তরে অব্যাহত রয়েছে ... যা এখানেই ধরা পড়াকে চিহ্নিত করেছে, আমি যে ক্যাপচারটি অনায়াসেই অগ্রাহ্য করেছি (যদিও এটি একটি সরু কেস, যদিও আকর্ষণীয় অংশটি পরে আসে)। তবুও, এটি মোকাবেলা করা উচিত ছিল)।

প্রকৃতপক্ষে, বহিরাগত মজুরি হার, এবং শ্রমের চাহিদা সম্পর্কে পুরোপুরি প্রতিযোগিতামূলক অপ্টিমাইজেশনের সাথে, মূলধনের প্রান্তিক পণ্য কেবলমাত্র মডেলের পরামিতি এবং মজুরির হার দ্বারা নির্ধারিত হয়। সরল ক্ষেত্রে যেখানে আমরা ধরে নিই যে মজুরির হার স্থিরভাবে @ivansML বিশ্লেষণ করে: মডেলটি অন্তঃসত্ত্বা বৃদ্ধির এক হয়ে যায় : মূলধনের প্রান্তিক পণ্য স্থির থাকে, যা অন্তঃসত্ত্বা বৃদ্ধির জন্য প্রয়োজন, যেখানে কোনও স্থির থাকে না is রাষ্ট্র মাত্রা ।

বাচক এবং , সমীকরণ এবং ওপি এর লেখা যেতে পারে $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

যেহেতু ধ্রুবক, বৃদ্ধির হার ধ্রুবক - শূন্য, ধনাত্মক বা নেতিবাচক, পরামিতি এবং মজুরির উপর নির্ভর করে। অন্যদিকে সময় পাওয়ার সাথে আলাদা করে $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{c}) \cdot (c / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

এবং এটি সুস্পষ্ট যে অবিচলিত রাষ্ট্রবিরোধী বৃদ্ধির জন্য আমরা চাই , যা, থেকে শুধুমাত্র যদি প্রাপ্ত হয় । এটি যাচাই করা সহজ, যেহেতু , একমাত্র যেভাবে ট্রান্সসভারসিটির শর্তটি হ'ল তা হ'ল যদি ব্যবহার এবং মূলধন একই হারে বৃদ্ধি পায় বা সঙ্কুচিত হয় (বা স্থির থাকে)। $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

অন্তঃসত্ত্বা বৃদ্ধির মডেলগুলিতে যথাযথ যেখানে আমরা পুরো অর্থনীতির পরীক্ষা করি , আমরা কেবল ধরে নিই যে মডেলের পরামিতিগুলি এমন যে একটি ইতিবাচক বৃদ্ধির হার রয়েছে, কারণ এটিই আমরা বাস্তব বিশ্বে পর্যবেক্ষণ করি। তবে এখানে, আমাদের কেবল একজন ব্যক্তি রয়েছে। তো, আমরা আমাদের ব্যবসায়ীকে কী বলব?

যদি , তবে বৃদ্ধির হার ইতিবাচক এবং তার ব্যবহার এবং মূলধন উভয়ই "চিরতরে" বৃদ্ধি পেতে হবে, একটি ধ্রুবক অনুপাত বজায় রেখে। যদি তবে বৃদ্ধির হার শূন্য এবং উভয় পরিবর্তনশীল চিরকাল স্থায়ী থাকে। যদি , তবে বৃদ্ধির হার নেতিবাচক, এবং আমাদের হ্রাস হওয়া খরচ এবং মূলধনের (সর্বদা সম্পর্ককে বজায় রাখা ) একটি নিম্নগামী সর্পরে প্রবেশ করা উচিত । $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

এটিতে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে, অনুকূল নিয়ন্ত্রণের অ্যাপ্লিকেশনটির যথাযথতা যাচাই করে: অন্য প্যারামিটারগুলি এবং মজুরির হার দিলে "অধৈর্যতা" তত বেশি (বৃহত্তর )) তত বেশি সম্ভব হয়ে পারে যে ব্যক্তিটি গ্রহণের মাত্রা হ্রাস পাবে, কারণ ভবিষ্যত, এবং তাই বিনিয়োগ, তার পছন্দ খুব বেশি নয়। অবশ্যই, একঘেয়েমি নিম্নগামী সর্পিল একটি সমাধান হিসাবে খুব বাস্তববাদী নাও লাগতে পারে - তবে এটি একটি খুব স্টাইলাইজড মডেল, এটি প্রয়োজনীয়ভাবে অত্যন্ত আনুষ্ঠানিক গাণিতিক ভাষায় সাধারণ প্রবণতা সরবরাহ করে। $\rho$

সত্যিই আকর্ষণীয় অংশ যদি শুরু হবে আমরা একটি পরিবর্তনশীল মজুরি বিবেচনা । এটি আমাদের ছোট ব্যবসায়ী এবং তার গ্রাহক-বিনিয়োগের সিদ্ধান্তের জন্য সব ধরণের আকর্ষণীয় এবং জটিল গতিবিদ্যা তৈরি করতে পারে।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আমি মনে করি যে এই ফার্মটি অর্থনীতির একমাত্র ফার্ম কিনা। যদি এটি হয় তবে হিসাবে নেওয়া তার পক্ষে আর সঠিক নয় যেমন তার নিজস্ব মূলধন সংগ্রহের সিদ্ধান্তের দ্বারা প্রভাবিত হবে। এই ক্ষেত্রে হ্যামিলটোনীয় স্থাপনের সময় আপনার সমীকরণের আগে আপনি যে বিকল্পগুলি তৈরি করেছিলেন সেগুলি তৈরি করা উচিত। অন্যদিকে এটি যদি অনেক সংস্থার মধ্যে একটি হয়, যাতে মজুরির হার বহির্মুখী হয়, তবে eq এর আগে বিকল্পগুলি। (2) বৈধ নয়। আমি তোমাদের সাবধানে big- মাঝে পার্থক্যটা উল্লেখ করা প্রয়োজন মনে করি , অর্থনীতিতে সমষ্টিগত রাজধানী এবং little- রাজধানী এই সিদ্ধান্ত সৃষ্টিকর্তা দ্বারা নির্বাচিত। $w$ $w$ $k$ $k$

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য
সূত্র

আমি দৃ single়ভাবে একটি একক ফার্মের দিকে নজর দিচ্ছি যা সামগ্রিকভাবে প্রভাবিত করতে খুব ছোট থাকে। সুতরাং আপনার দ্বিতীয় মন্তব্য প্রাসঙ্গিক, যেখানে আপনি "সমীকরণের পূর্বে বিকল্পগুলি (2) বৈধ নয়" বলছেন। কেন দেখছি না। আপনি কি দয়া করে এটি (বিস্তারিতভাবে আনুষ্ঠানিকভাবে) বিস্তারিত বলতে পারেন? ধন্যবাদ.

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

@ অ্যালোকোসপ্যাপাডোপ্লোস আমি মনে করি সমস্যাটি গাণিতিক নয় বরং একটি ব্যাখ্যার একটি। যদি আমার দৃ influence় অর্থনীতিতে প্রভাব ফেলতে খুব ছোট হয় তবে কেন আমি যে

নির্বাচন করি তা নির্বিশেষে আমার ফার্মের জন্য

বা

হওয়া উচিত , যা আপনি পূর্বে তৈরি বিকল্পগুলির মধ্যে অনুমিত বলে মনে হয় seems (2) এবং তাহলে RHS পার্থক্যকারী

থেকে সম্মান সঙ্গে সমীকরণ

।

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য

@ জ্যোতির্ময়ভট্টাচার্য এটি প্রতিযোগিতামূলক বাজার ধরে নিয়ে স্ট্যান্ডার্ড ফলাফল।

— FooBar

@FooBar একটি প্রতিযোগিতামূলক বাজারে আপনি নির্বাচন

এবং

করতে

এবং

। শর্তগুলি স্বেচ্ছাচারী

এবং

এ ধারণ করে না ।

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য

ঠিক আছে, আমাকে হ্যামিল্টোনীয় লিখতে হবে, এবং আরও দীর্ঘতর করতে হবে।

— আলেকোস পাপাদোপল্লো