কুইন এবং স্লেম্রোড-এ লিফলেট থিওরেম (2017)

Question

এই প্রশ্নটি স্লেমনড এবং কীন (2017) এর "অপ্টিমেল ট্যাক্স অ্যাডমিনিস্ট্রেশন" পত্রের সাথে সম্পর্কিত। এসএমআরএন-তে আইএমএফ কার্যকরী কাগজটি অবাধে পাওয়া যায়, তবে প্রশ্নটি বোঝার জন্য কাগজটি জানা প্রয়োজন হয় না।

আমি কাজ কাগজ সংস্করণ সমীকরণ (5) এ পৌঁছাতে কিভাবে বিভ্রান্ত।

একটি কল্যাণ ফাংশন আছে ধরুন:

$ W (টি, \ আলফা) = wl - tz (t, \ alpha) -c (ই, \ alpha) - \ psi (l) + v (tz (t, \ alpha) -a (\ alpha)) $

এখানে, $ v $ একটি ক্রমবর্ধমান এবং অবলম্বনকারী ফাংশন, $ \ psi $ একটি ক্রমবর্ধমান এবং বহির্মুখী ফাংশন, $ টি $ ট্যাক্স রেট, $ \ আলফা $ ট্যাক্স প্রয়োগকারী, $ সি $ হয় প্রতারণা / সম্মতি খরচ এবং $ z $ আয় $ ঘোষণা করা হয়, যা $ টি $ এবং $ \ alpha $ উপর নির্ভর করে।

ঘোষিত আয় $ z = wl (t, w) - ই (টি, \ আলফা) $ দিয়ে দেওয়া হয়, যেখানে $ w $ মজুরি হার, $ l $ ঘন্টা কাজ করে এবং $ e $ গোপন আয় হয়। $ L $ এবং $ e $ উভয়টি অপেক্ষাকৃতভাবে প্রাপ্ত হয়।

$ L $ এবং $ e $ এর জন্য প্রথম অর্ডার শর্তাবলী দেওয়া হয়েছে:

$ (1-টি) W - \ psi '(l) = 0 $

$ টি - c_e (ই, \ আলফা) = 0 $

এখানে $ c_e $ $ e $ এবং $ \ psi এর সাথে $ c $ এর ডেরিভেটিভকে বোঝায় $ $ \ psi $ এর ডেরিভেটিভ।

আমি $ \ frac {dw} {dt} $ তে আগ্রহী।

লেখক লিফলেটের সম্পত্তিটি এখানে পৌঁছানোর জন্য আহ্বান জানিয়েছেন:

$ \ frac {dw} {dt} = -z + v '* (z + tz_t) $

এখানে $ x_t $ টি $ z $ এর derivatives টি এবং $ v 'এর অর্থের অর্থ $ v $ এর ডেরিভেটিভ।

আমি কিভাবে এই অভিব্যক্তি পৌঁছাতে পারেন?

Comments

কেন প্রথম অর্ডার শর্ত w.r.t. $ e $ তে $ t-c e -v 'cdot t = 0 $ নয়? $ e $ $ z $ এর ভিতরে যা $ v $ এর ভিতরেও রয়েছে।

— Alecos Papadopoulos

একই quastion $ ল $ জন্য ঝুলিতে। কেন আমরা $ l $ এর সাথে $ v () $ পার্থক্য করি না?

— Alecos Papadopoulos

সরকারি ব্যয় $ জি $ ভোক্তাদের exogenous হয়। ভোক্তা desce এই বিবেচনা না যে তিনি আরো কাজ করে এবং কর কম এড়ানো, তাহলে তিনি আরো পাবলিক পণ্য পাবেন। এটি খুব বাস্তবসম্মত হতে পারে না, কিন্তু এটি একটি ধারনা যা প্রায়ই পাবলিক ফাইন্যান্সে তৈরি করা হয়, আমি বিশ্বাস করি।

— BB King

@অবশ্যই. তাই আমি বুঝতে পারি যে এটি মডেলের অনুমিতিগুলির মধ্যে রয়েছে যে এজেন্টগুলি $ v $ ফাংশনটি বহিরাগত হিসাবে আচরণ করে।

— Alecos Papadopoulos

হ্যাঁ অবশ্যই. $ v $ ভোক্তাদের exogenous (কিন্তু স্বাভাবিকভাবেই সামাজিক প্ল্যানার নয়)। কোন বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত।

— BB King

Answer 1

এই "ধাঁধা" এর উত্তরটি আসল ওপের পোস্টে মন্তব্যগুলিতে স্পষ্ট করা হয়েছে।

সমস্যাটি হল যে এজেন্টগুলি $ l $ এবং $ e $ এর সাথে অপ্টিমাইজেশনের সময় $ v $ ফাংশনটি এক্সজোনিস হিসাবে আচরণ করে, যখন সামাজিক পরিকল্পক স্বাভাবিকভাবেই এটি বিবেচনায় নেয়।

কিন্তু এই গাণিতিক পরিণতি সঙ্গে একটি আচরণগত অনুমান। লিফলেট থিওরেম যেমন অসম্মতি জন্য অনুমতি দেয় না।

চলুন লিফলেট থিওরেমটি প্রয়োগ করি, যা বলে যে যদি আমাদের একটি ফাংশন $ f (x; a) $ থাকে এবং আমরা এটি এক্সপ্লাই করে, $ x $, তারপর অনুকূল ফাংশনটির মোট ডেরিভেটিভ $ f (x ^ *, a ) পূর্বে প্যারামিটার হিসেবে বিবেচিত হওয়াটির সাথে $ $ যে প্যারামিটারের সাথে অ-অপ্টিমাইজেশান ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ সমান হয়, $ x $ s স্থির রাখা :

$$ \ frac {df (x ^ *, a)} {da} = \ frac {f (x, a)} {\ partial a} $$

এখন, মনে রাখবেন যে $ z $ $ t $ তে নির্ভর করে শুধুমাত্র $ l $ এবং $ e $ এর মাধ্যমে । সুতরাং, থিম প্রয়োগ করার উদ্দেশ্যে, আমরা যে আছে আংশিক derivative $ \ আংশিক z / \ আংশিক টি = 0 $।

মনে রাখা যে লিখুন

$$ W = H + V $$

যেখানে $ H $ সমস্ত অন্যান্য পদ রয়েছে। ওপিকে দেখলাম তার উত্তরটা আমাদের আছে

$$ \ frac {dW} {dt} = l_t [w (1-t) - \ psi '] + e' [t-c_e] - z + \ frac {dv} {dt} $$

এবং $ l $ এবং $ e $ অ্যাকাউন্টে f.o.c গ্রহণ প্রদত্ত $ v $ সম্পর্কিত আচরণগত অনুমান, আমরা বাকি আছে

$$ \ frac {dw} {dt} = \ frac {dH} {dt} + \ frac {dv} {dt} = -z + \ frac {dv} {dt} $$

$$ \ বোঝায় \ frac {dH} {dt} = -z $$

এই লিফলেট থেরোমি সঙ্গে মেনে চলে? এটা করে, শুধুমাত্র $ এইচ $ সম্মান সঙ্গে , কারণ এটি $ W $ এর অংশ যা আমরা $ l $ এবং $ e $ এর সাথে সর্বাধিক বৃদ্ধি করি। এবং আমাদের আছে

$$ \ frac {\ partial H} {\ partial t} = \ frac {\ partial (-tz)} {\ partial t} = -z $$

যেহেতু আমরা বলেছি, $ \ আংশিক z / \ আংশিক টি = 0 $।

সুতরাং আমরা যে কোন ক্ষেত্রে প্রথম অবস্থানে $ z $ এর আংশিক অংশ দেখতে পাচ্ছি না, যখন $ v $ এর সাথে $ dz / dt $ এর উপস্থিতি কেবলমাত্র প্রদর্শিত হয় কারণ আমরা $ l $ এর সাথে সর্বাধিকভাবে এটি উপেক্ষা করেছি। এবং $ ই $।

যদি এজেন্ট অ্যাকাউন্ট গ্রহণে অপ্টিমাইজ করা $ v $ আমরাও পেয়েছি

$$ \ frac {dW} {dt} = -z + v '\ cdot z $$

এবং লিফলেট থিওরেম পুরো $ W $ ফাংশন ধরে রাখতে হবে।

Comments

এই অবিকল আমার প্রাথমিক প্রশ্ন ছিল। যদি কেউ না করে তবে আমি কয়েক দিনের মধ্যে উত্তরটি পোস্ট করব। আমি আপনাকে আশ্বস্ত করতে পারি, তবে, লেখক ভুল না।

— BB King

আমি এখন উত্তর পোস্ট করেছেন। আপনি কি এর সাথে একমত?

— BB King

আমি বিস্তারিতভাবে এটি পরীক্ষা এবং পরে সাড়া হবে। অনুগ্রহ করে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করুন: এজেন্টগুলি $ l পছন্দ করে অপ্টিমাইজ করে, e $ exogenous $ t, \ alpha, w $ হিসাবে আচরণ করে। সামাজিক পরিকল্পক কল্যাণ ফাংশনকে সর্বোচ্চ $ টি, \ আলফা $, পছন্দ করে এজেন্টদের সর্বোত্তম আচরণ প্রদান করে এবং বাজার-নির্ধারিত $ w $ প্রদান করে। এছাড়াও দয়া করে ব্যাখ্যা করুন: আমরা ডেরিভেটিভ আগ্রহী অপ্টিমাইজ ট্যাক্স হার সম্মান সঙ্গে কল্যাণ ফাংশন?

— Alecos Papadopoulos

আমরা কল্যাণ ফাংশন w.r.t optimizing আগ্রহী। $ টি $ অ্যাকাউন্টগুলি বিবেচনা করছে যে এজেন্ট $ l $ এবং $ e $ চয়ন করতে অপ্টিমাইজ করে।

— BB King

Answer 2

প্রথম নজরে, উত্তরটি $ \ frac {dW} {dt} = - (z + tz_t) + v '* (z + tz_t) $, $ l $ এবং $ e $ হিসাবে সর্বোত্তমভাবে নির্বাচিত হওয়া উচিত বলে মনে হয় এবং খামে খোদাই এই পদ বাতিল। তদ্ব্যতীত, লিফলেট তত্ত্বের কারণে ড্রপ আউট করতে চূড়ান্ত ডেরিভেটিভটিতে $ z_t $ $ উভয় শর্তের প্রত্যাশা করা যেতে পারে। যাইহোক, এক এবং একমাত্র $ z_t $ শব্দ লেখকের গণনার মধ্যে রয়ে যায়।

খামে খোদাই প্রথম আদেশ শর্তাবলী শুধুমাত্র একটি আবেদন। এই ক্ষেত্রে, কেবলমাত্র থিমের সরাসরি ব্যবহার করার পরিবর্তে ফলাফলগুলি অর্জন করার জন্য আমরা জানি প্রথম অর্ডারের শর্তগুলি ব্যবহার করা ভাল। আমি বিশ্বাস করি যে লেখকরা সংক্ষিপ্তভাবে "লিফা সম্পত্তি" শব্দটি জোর দিয়ে বলবে যে তারা আগে পাওয়া প্রথম অর্ডারের শর্তগুলি ব্যবহার করছে।

মোট ডেরিভেটিভ গ্রহণ আমরা এ পৌঁছাতে:

$ \ frac {dW} {dt} = wl_t -z - tz_t -c_ee '- \ psi'l_t + v' * (z + tz_t) $

$ Z_t $ এর জন্য অভিব্যক্তি সন্নিবেশ করানো এবং আমাদের কিছু শর্তাদি গোষ্ঠীভুক্ত করা:

$ \ frac {dW} {dt} = l_t [w (1-t) - \ psi '] + e' [t-c_e] - z + v '* (z + tz_t) $

মনে রাখবেন যে বর্গাকার বন্ধনীগুলিতে পদ $ l $ এবং $ e $ এর প্রথম অর্ডার শর্তগুলির মতো এবং তাই শূন্যের সমান। এটি আমাদের সাথে ছেড়ে দেয়:

$ \ frac {dw} {dt} = - z + v '* (z + tz_t) $

Comments

Glad আপনি আপনার প্রশ্ন কাজ করে। যদিও আপনি ব্যাখ্যা করেছেন যে কেন "নৈমিত্তিকভাবে" লিফলেট তত্ত্ব প্রয়োগ করে এখানে কাজ করে না।

— Theoretical Economist

আমি ভেবেছিলাম আমি প্রথম অনুচ্ছেদের মধ্যে এটি করেছি, কিন্তু আমি এটির উপর প্রসারিত করতে পারি।

— BB King

সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ! আমি এখনও স্বীকার করতে হবে যে আমি এখনও এটি পেতে না। আংশিক ডেরিভেটিভগুলি একটি বহু-পরিবর্তনশীল অপ্টিমাইজেশান সমস্যাতেও $ 0 ডলারের সমান সেট (একটি অভ্যন্তরীণ সমাধান অনুমান করা)। আমার মনে হয় কাগজে ঘনিষ্ঠভাবে নজর রাখতে হবে ...

— Theoretical Economist