খামের উপপাদ্যটি কোনও কোণার সমাধানে ধারণ করে?

ধরা যাক আমাদের নিম্নলিখিত উত্পাদন ফাংশন রয়েছে:

F (L, K) = max_{L_{K}} H (L, L_{K}, K) = max_{L_{K}} [(L - L_{K} + 1)^{α} (L_{K} + K)^{1 - α}] = (L - L_{K}^{*} + 1)^{α} (L_{K}^{*} + K)^{1 - α}

$F(L,K)=\max_{L_K}H(L,L_K,K)=\max_{L_K}\left[(L-L_K+1)^\alpha(L_K+K)^{1-\alpha}\right]=(L-L_K^*+1)^\alpha(L_K^*+K)^{1-\alpha}$

এ সীমাবদ্ধতা With সহ $L_K\in[0,L]$ ।

আমরা জানি যে

\frac{d H}{d L_{K}} = α (L - L_{K} + 1)^{- 1} H + (1 - α) (L_{K} + K)^{- 1} H = 0

$\frac {dH}{dL_K}=\alpha(L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$ সুতরাং এর জন্য মান

L_{K}

$L_K$ যা ব্যুৎপন্ন শূন্য হয়

L_{K}^{0} = \frac{(1 - α) (L + 1) + α K}{1 - 2 α}

$L_K^0=\frac {(1-\alpha)(L+1)+\alpha K}{1-2\alpha}$ । এবং সর্বোত্তম মান

L_{K}^{*}

$L_K^*$ হ'ল:

L_{K}^{*} = {\begin{cases} L_{K}^{0} & if & 0 < L_{K} < L & (1) \\ L & if & L < L_{K}^{0} & (2) \\ 0 & if & L_{K}^{0} < 0 & (3) \end{cases}

$L_K^*=\begin{cases} L_K^0 &\text{ if } &0<L_K<L &(1)\\ L&\text { if } &L<L_K^0&(2)\\ 0 &\text { if } &L_K^0<0 &(3) \end{cases}$

এটি পরিষ্কার যে $L_K^*\in(0,L)$ , (কেস $(1)$ ), তবে খামের উপপাদ্যটি ধারণ করে:

\frac{d}{d L} F (L, K) = \frac{\partial}{\partial L} H (L, L_{K}^{*}, K) = α (L - L_{K}^{*} + 1)^{- 1} \cdot F (L, K)

$\frac d {dL} F(L,K)=\frac \partial {\partial L}H(L,L_K^*,K)=\alpha(L-L_K^*+1)^{-1}\cdot F(L,K)$

তৃতীয় ক্ষেত্রে (3), এটি আমার কাছেও পরিষ্কার যে খামের তত্ত্বটি ধারণ করে। তবে আমি দ্বিতীয় মামলার বিষয়ে এতটা নিশ্চিত নই (2) । আমি বলব যে খামের তত্ত্বটি এই ক্ষেত্রে ধারণ করে না , কারণ আমরা যদি $L_K^*$ কে মূল উত্পাদনের ফাংশনে ফিরিয়ে তবে আমরা

F (L, K) = 1^{α} (L + K)^{1 - α}

$F(L,K)=1^\alpha(L+K)^{1-\alpha}$ এবং এই ক্ষেত্রে

সাথে সম্মানের সাথে প্রাপ্ত ব্যয়টি

L

$L$ হ'ল

(1 - α) (L + K)^{- 1} \cdot F (L, K)

$(1-\alpha)(L+K)^{-1}\cdot F(L,K)$

খামের তত্ত্বটি 3 ক্ষেত্রে ধারণ করার জন্য, এটির জন্য require প্রয়োজন $\alpha= (1-\alpha)(L+K)^{-1}$ , যা প্রায়-সর্বদা ধারণ করে না।

তবে এটি আমাকে বিভ্রান্ত করার কারণ হ'ল এই প্রশ্নে আমাকে এই কাগজটি উল্লেখ করা হয়েছিল , যার একটি উপপাদ্য রয়েছে:

সুতরাং আমার প্রশ্নটি হ'ল:

আমি কি ঠিক বলেছি যখন কে কোণার সমাধানে থাকে তখন খামের উপপাদ্যটি ধরে না ? $L_K$
এটি কি উপপাদকের বিরোধিতা করে, বা আমি উপপাদ্যকে ভুল বুঝি? তা না হলে উপপাদ্য কি সঠিক?

microeconomics mathematical-economics

— user56834
সূত্র

প্রথমত, আপনি গণনাগুলিতে একটি সাইন ত্রুটি করেছেন। আপনার ত্রুটিটি সংশোধন করার পরে, একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমান যা আপনি মিস করেছেন তা হ'ল , পছন্দসই সেটটি উপপাদ্যের ভেরিয়েবল উপর নির্ভর করে না (উপপাদকের স্বরলিপি সহ)। উপপাদ্যটি যথাযথভাবে প্রয়োগ করতে, অন্তর উপর নির্ভর করে না । $X$ $t$ $[0,L]$ $L$

ক) সাইন ত্রুটি

\frac{\partial H}{\partial L_{K}} = - α (L - L_{K} + 1)^{- 1} H + (1 - α) (L_{K} + K)^{- 1} H = 0

$\frac{\partial H}{\partial L_K}=-\alpha (L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$ আমরা সংজ্ঞায়িত করি ।

L_{K}^{0} = (1 - α) (L + 1) - α K

$L_K^0= (1-\alpha)(L+1)-\alpha K$

খ) কেন আমরা ভাবতে পারি যে খামের উপপাদ্যের ফলাফল ব্যর্থ হতে পারে

অনুমান করে যে , সেখানে সম্ভাব্য চারটি কেস রয়েছে। $0<\alpha<1$

(1) । অবজেক্টিভ ফাংশনটি অবতল হয় তা পরীক্ষা করতে পারে, সুতরাং । $L_K^0\in [0,L]$ $L_K^*=L_K^0$

(2.i) এবং । তারপরে । $L_K^0\notin [0,L]$ $H(L,0,K)< H(L,L,K)$ $L_K^*=0$

(2.ii) এবং । তারপরে । $L_K^0\notin [0,L]$ $H(L,0,K)> H(L,L,K)$ $L_K^*=L$

(2.iii) (শুধু সম্পূর্ণ করার) এবং । তারপরে এবং দুটি সমাধান রয়েছে । $L_K^0\notin [0,L]$ $H(L,0,K)= H(L,L,K)$ $0$ $L$

ক্ষেত্রে (1), প্রথম অর্ডার শর্তের জন্য ডান-হাতের দ্বিতীয় পদটি শূন্যের সমান। এটি একটি অভ্যন্তরীণ সমাধানের জন্য খামের উপপাদ্যের ফলাফলের সাথে সুসংগত ।

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (L, L_{K}^{*}, K) + \frac{\partial L_{K}^{*}}{\partial L} . \frac{\partial H}{\partial L_{K}} (L, L_{K}^{*}, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L^*_K,K)+\frac{\partial L^*_K}{\partial L}.\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L^*_K,K).$

ক্ষেত্রে (2.i), এবং তাই এটি এখানে একটি কোণার সমাধানের জন্য খামের উপপাদ্যের ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ । $F(L,K)=H(L,0,K)$

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (L, 0, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,0,K).$

ক্ষেত্রে (2.ii), এবং তাই rac $F(L,K)=H(L,L,K)$

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (L, L_{K} = L, K) + \frac{\partial H}{\partial L_{K}} (L, L_{K} = L, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L_K=L,K)+\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L_K=L,K).$

আমাদের এখানে স্বরলিপিগুলি সম্পর্কে সতর্ক থাকতে হবে, অর্থ প্রথম যুক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আংশিক ডেরিভেটিভ এবং কে second দ্বিতীয়টি থেকে। ডান-হাতের দ্বিতীয় শব্দটি ননজারো, যা এনভেলাপের উপপাদ্যের ফলাফলের সাথে খাপ খায় না । $\frac{\partial H}{\partial L}$ $\frac{\partial H}{\partial L_K}$

গ) কেন এটি আসলে ব্যর্থ হয় না

, হিসাবে সমস্যাটি লিখুন এই সমস্যাটি প্রাথমিক সমস্যার সমান। মূল পার্থক্য হ'ল ব্যবধান বা উপর নির্ভর করে না । এই কারণেই আমরা খামের উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারি, যেখানে এটি আগে প্রয়োগ করা ভুল ছিল। $F(L,K)=\max_{x\in [0,1]}H(x,L,K)$

H (x, L, K) = (L - x L + 1)^{α} (x L + K)^{1 - α} .

$H(x,L,K)=(L-x L+1)^\alpha(x L+K)^{1-\alpha}.$

[0, 1]

$[0,1]$

L

$L$

K

$K$

আমরা পরীক্ষা করতে পারি যে কেসটি (2.ii) এনভোল্ভের উপপাদ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, আমাদের কাছে এবং তাই $F(L,K)=H(x=1,L,K)$

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (x = 1, L, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(x=1,L,K).$

— GuiWil
সূত্র

এই উত্তরে কোন ত্রুটি আছে?

— গুইউইল