পণ্যগুলির ধারাবাহিকতা সহ একটি অর্থনীতিতে গ্রাহক সর্বোত্তম

প্রতিটি পয়েন্টের জন্য একটি পণ্য সহ পণ্যগুলির ধারাবাহিকতা সহ একটি অর্থনীতি বিবেচনা করুন । $[0,1]$

মনে করুন কোনও গ্রাহক সর্বাধিক করতে চান বিষয়

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

যেখানে

হ'ল

-th পণ্য গ্রহণের পরিমাণ,

এর দাম এবং

গ্রাহকের অর্থ আয়ের পরিমাণ।

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

দীক্ষিত-স্টিগ্লিটজ মডেলকে ম্যাক্রো অর্থনীতি বা আন্তর্জাতিক বাণিজ্যে প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে এই জাতীয় সমস্যা দেখা দেয়।

এই সমস্যার সমাধান অনুমান করা হয় যেখানেএকটি ধ্রুবক তা নিশ্চিত করার জন্য বাজেট বাধ্যতা সন্তুষ্ট হয় মনোনীত হয়।

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

সীমাবদ্ধ সংখ্যক পণ্যগুলির ক্ষেত্রে সাদৃশ্যতে ল্যাঞ্জরঞ্জ গুণকগুলি ব্যবহার করে এমন ফলাফলের উত্স থেকে আমি খুব সন্তুষ্ট নই। উপরের ফলাফলটি অর্জনের সম্পূর্ণ গাণিতিকভাবে কঠোর পদ্ধতি কী হবে?

$c_i$ $i$

$n$ $n \to \infty$

প্রত্যুত্তর অর্থনীতি পাঠ্যক্রমের জন্য গণিতে যে ল্যাংরেঞ্জ গুণক পদ্ধতিটি পড়ানো হয় তার প্রমাণগুলি সাধারণত সীমাবদ্ধ সংখ্যার পছন্দসই ভেরিয়েবলের জন্য। আমি পছন্দটির ভেরিয়েবলগুলির ধারাবাহিকতার জন্য পদ্ধতিটি যেখানে ন্যায়সঙ্গত হয়েছে তার একটি উল্লেখের প্রশংসা করব। এছাড়াও, আমি উপরে উল্লিখিত স্বতন্ত্রতাগুলি দেখায় যে পদ্ধতিটি ঠিক সঠিক হতে পারে না। তার যথাযথতার জন্য যথাযথ যোগ্যতাগুলি কী কী?

microeconomics mathematical-economics

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য
সূত্র

আমি ওপির সাথে একমত, স্থান অসীম মাত্রিক হয়ে উঠলে অনেকগুলিই সম্ভবত ভুল হতে পারে। আমার কাছে এটি মোটেও পরিষ্কার নয় যে সর্বোত্তম সীমাটি সীমাটির সর্বোত্তম।

— ফুবার

উত্তর:

সম্পূর্ণরূপে কঠোর বিষয় হ'ল বৈচিত্রের সমস্যার এই ক্যালকুলাসের অুলার ল্যাগরঞ্জ সমীকরণটি লেখার জন্য, এটি আপনাকে একটি শক্তিশালী সমাধান দেবে যা আপনার কাছে যা আছে বা কোনও দুর্বল সমাধান যা বিতরণের ক্ষেত্রে লিখিত।

— user157623
সূত্র

তবে আমি কীভাবে আমার বাজেটের সীমাবদ্ধতাগুলি বিভিন্নতা সূচনার ক্যালকুলাসে অন্তর্ভুক্ত করব?

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য

এই লিঙ্কটি পরীক্ষা করুন, math.stackexchange.com/questions/279518/… , একটি ল্যাগরেঞ্জ গুণক ফাংশন! আপনার যা প্রয়োজন, এটি আপনাকে একটি দৃ solution় সমাধান দেয় যা দৃষ্টিকোণে ব্যাখ্যা করা যায়, যদিও এটি অবশ্যই প্রভাবশালী পরিমাপের সাথে প্রায় নিশ্চিত রাখা উচিত

— ব্যবহারকারী 157623

ধন্যবাদ। পরিবর্তনের ক্যালকুলাস ব্যবহার করার ইঙ্গিতটি অনুসরণ করার পরে আমি কলমোগোরভের 12 অনুচ্ছেদে একটি উপপাদ্য 1 পেয়েছি এবং ফমিনের ক্যালকুলাস অফ ভেরিয়েশনগুলি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রকাশিত প্রতিবন্ধকতাগুলি পরিচালনা করছে বলে মনে হচ্ছে। সুতরাং এক অর্থে ল্যাংরেঞ্জের একাধিক সংখ্যক ব্যবহার করতে পারেন।

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য

এটি কোনও মন্তব্য হিসাবে নয়, উত্তর হিসাবে নয় useful

— আলেকোস পাপাদোপল্লো

আপনি ঠিক জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য, মন্তব্যটিতে যে লিঙ্কগুলি সরবরাহ করা হয়েছে তার সাথে কেউ এটির পুরো উত্তর হিসাবে সম্পাদনা করতে পারে।

— ব্যবহারকারী 157623

ওপি যেমন একটি মন্তব্যে উল্লেখ করেছে, কলোমোগোরভের সেকশন 12-এর উপপাদ্য 1 এবং ফোমিনের ক্যালকুলাস অফ ভেরিয়েশনগুলি কিছুটা স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করে যা আমরা প্রকৃতপক্ষে ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারি যখন আমাদের ভেরিয়েবলের সংখ্যা অসীম হয়। তবুও, লেখকরা একটি পাদটীকাতে লিখেছেন, "পাঠক সহজেই ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারগুলির সাথে উপমাটি চিনতে পারবেন "। সুতরাং না, এটি আমরা যা চাই তা কঠোরভাবে প্রদর্শন করে না।

আমি মনে করি আমাদের যা দরকার তা হ'ল ক্র্যাভেন, বিডি (1970) এর মতো একটি কাগজ । লাগরেঞ্জ গুণকগুলির একটি সাধারণকরণ। অস্ট্রেলিয়ান গণিত সমিতির বুলেটিন, 3 (03), 353-362 -3 যা এর সংক্ষিপ্তসারে লিখেছেন:

সীমাবদ্ধ স্টেশনারি-মান সমস্যাটি সমাধানের জন্য ল্যাঞ্জরঞ্জ গুণকগুলির পদ্ধতিটি সাধারণকরণ করা হয় যাতে ফাংশনগুলি স্বেচ্ছাসেবী বনচ স্পেসগুলিতে (আসল ক্ষেত্রের উপরে) মান নিতে পারে। একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সমস্যায় লাগরঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার্সের সেটটি প্রাসঙ্গিক বানাচ স্পেসগুলির মধ্যে অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ম্যাপিংয়ের দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে দেখানো হয়েছে।

এটি গণিত-বক্তৃতা তবে এটি যা আমরা শুনতে চেয়েছিলাম তা বলেছিল (এটি উইকিপিডিয়ায় একটি সামগ্রীর উপর নির্ভর করে যে ডিগ্রীতে এটির উপর নির্ভর করে এমন একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণও খুঁজে পেতে পারে)।

তারপরে, আমরা সমস্যার ল্যাংরেঞ্জান গঠন করতে পারি

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

এবং অনানুষ্ঠানিকভাবে বলা, "অবিচ্ছেদ্য দিকে তাকানো এবং যোগফল দেখে", দ্বারা প্রথম-আদেশ শর্ত (গুলি) গণনা করুন

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... শর্তের ধারাবাহিকতা। পরবর্তী ব্যবহারের জন্য আমরা সংজ্ঞায়িত করি

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

$\sigma$

$(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

$p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

যান্ত্রিকভাবে প্রয়োগ করা কলমোগোরভ-ফমিন ফলাফল আমাদের একটি সমাধান দেয়। সুতরাং আমাদের লাগরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারগুলির সাথে সাদৃশ্যটির কাছে আবেদন করার দরকার নেই। আমি এটি একটি পৃথক উত্তরে লিখছি।

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য

এটি কেবলমাত্র @ ব্যবহারকারী 157623 দ্বারা দেওয়া উত্তরের একটি বিবরণ। সুবিধার জন্য এটি একটি সম্প্রদায় উইকি হিসাবে পোস্ট করছি।

কলমোগোরভের 12 সেকশনের উপপাদ্য 1 এবং ফোমিনের ভ্যারিয়েশনের ক্যালকুলাস বলেছেন

$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

একমাত্র ধরাটি তাত্ত্বিকের প্রকৃতিতে। এটি সর্বোত্তমতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত দেয়। আমাদের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় শর্তটি একটি অনন্য ফলাফল দেয় তা প্রদত্ত যে আমাদের এটিকে পর্যাপ্ত পরিমাণে করা দরকার আমাদের যুক্তি দেওয়া উচিত যে আমাদের সমস্যার সমাধান রয়েছে।

কোলমোগোরভ-ফোমিনের প্রমাণগুলি ধরে নেওয়া যায় যে আমরা যে ফাংশনগুলির সাথে কাজ করছি তার ক্রমাগত প্রথম ডেরাইভেটিভ রয়েছে। সুতরাং আমাদের এখনও দেখানো দরকার যে গ্রাহকের সমস্যাটির এই শ্রেণীর ক্রিয়াকলাপগুলিতে একটি সর্বোত্তম রয়েছে তবে সমস্যাটি সমাধান হয়ে গেছে given

— জ্যোতির্ময় ভট্টাচার্য
সূত্র