সাধারণ বিশ্বাসের সাথে সাধারণ জ্ঞানের সমানকরণ (মনডেরার এবং সামেট, 1989)

আমি আনুমানিক সাধারণ জ্ঞানের উপর মনডেরার এবং সামেটের 1989 পত্রটি বোঝার চেষ্টা করছি।

আমি "অসম্মতিতে সম্মত হই" থিওরেম এ এর প্রমাণের শেষ অংশে আটকেছি, যেখানে উত্তরোত্তর উপরের সীমানাটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। নিম্ন সীমাটি পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে তবে শর্তগুলির মধ্যে কীভাবে একটি (1-পি) লেখা আছে তা আমি বুঝতে পারি না। আমি যে অংশে হারিয়েছি তার নীচে একটি ছবি আটকানো করছি:

R_i এর উপরের সীমানাটি প্রতিষ্ঠিত শেষ লাইনটি আমার কাছে অস্পষ্ট। কোন সাহায্যের ব্যাপকভাবে প্রশংসা হবে। কাগজের লিঙ্কটি হ'ল:

https://ie.technion.ac.il/~dov/cpb_monderer_samet.pdf

(উপপাদ্য এ 180-181 পৃষ্ঠায় রয়েছে)

game-theory

— স্বামীনাথন বি
সূত্র

বাম-হাতের অসমতা দেখানো হচ্ছে

সমীকরণ পুনরায় সাজানো যাক

\begin{aligned} x & = r_{i} \frac{μ (B_{i}^{p} (E))}{μ (E)} - \frac{μ (X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E])}{μ (E)} \\ ⟺ \underset{LHS}{\underset{⏟}{x μ (E) + μ (X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E])}} = r_{i} μ (B_{i}^{p} (E)) . \end{aligned}

$\begin{align*} x &= r_i \frac{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)}{\mu\left( E \right)} - \frac{\mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right)}{\mu\left( E \right)} \\ & \iff \underbrace{x \mu\left( E \right) + \mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right)}_{\text{LHS}} = r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right). \end{align*}$

LHS

$\text{LHS}$

μ (X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E])

$\mu( X \cap [ B^p_i( E ) \setminus E ] )$

LHS

$\text{LHS}$

x μ (E) \leq r_{i} μ (B_{i}^{p} (E)) .

$x \mu\left( E \right) \leq r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right).$

μ (E) \geq p μ (B_{i}^{p} (E))

$\mu( E ) \geq p \mu( B^p_i( E ) )$

x p \leq r_{i}

$x p \leq r_i$

ডান হাতের বৈষম্য দেখানো হচ্ছে

$\mu( E ) \leq \mu( B^p_i( E ) )$ $x \geq 0$

\begin{aligned} \frac{1}{μ (E)} [r_{i} μ (B_{i}^{p} (E)) - μ (X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E])] \\ \geq \frac{1}{μ (B_{i}^{p} (E))} [r_{i} μ (B_{i}^{p} (E)) - μ (X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E])] \\ = \underset{RHS}{\underset{⏟}{r_{i} - \frac{μ (X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E])}{μ (B_{i}^{p} (E))}}} . \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{1}{\mu\left( E \right)} \left[ r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right) - \mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right) \right] \\ &\geq \frac{1}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)}\left[ r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right) - \mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right) \right] \\ &= \underbrace{r_i - \frac{\mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right)}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)}}_{\text{RHS}}. \end{align*}$

X \cap [B_{i}^{p} (E) ∖ E] \subseteq B_{i}^{p} (E) ∖ E

$X \cap [ B^p_i( E ) \setminus E ] \subseteq B^p_i( E ) \setminus E$

RHS \geq r_{i} - \frac{μ (B_{i}^{p} (E) ∖ E)}{μ (B_{i}^{p} (E))} = r_{i} - \frac{μ (B_{i}^{p} (E)) - μ (E)}{μ (B_{i}^{p} (E))} = r_{i} - (1 - μ (E | B_{i}^{p} (E))) .

$\text{RHS} \geq r_i - \frac{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \setminus E \right)}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)} = r_i - \frac{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right) - \mu\left( E \right)}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)} = r_i - \left( 1 - \mu\left( \left. E \right| B^p_i\left( E \right) \right) \right).$

μ (E | B_{i}^{p} (E)) \geq p

$\mu( E | B^p_i( E ) ) \geq p$

RHS \geq r_{i} - (1 - p) .

$\text{RHS} \geq r_i - \left( 1 - p \right).$

x = RHS

$x = \text{RHS}$

x \geq r_{i} - (1 - p) ⟺ r_{i} \leq x + 1 - p .

$x \geq r_i - \left( 1 - p \right) \;\; \iff \;\; r_i \leq x + 1 - p.$

— কাইলি
সূত্র