আমি সিইএস ফাংশন থেকে লিওনটিফ এবং কোব-ডগলাস উত্পাদন ফাংশন কীভাবে পেতে পারি?

বেশিরভাগ মাইক্রোকোনমিক্সের পাঠ্যপুস্তকগুলিতে উল্লেখ করা হয়েছে যে কনস্ট্যান্ট ইলাস্টিক্স অফ সাবস্টিটিউশন (সিইএস) উত্পাদন ফাংশন,

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(যেখানে প্রতিস্থাপনের স্থিতিস্থাপকতা ) এর লিওনটিফ উত্পাদন ফাংশন এবং কোব-ডগলাস উভয়ই এর সীমাবদ্ধতা রয়েছে। বিশেষ করে, $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

এবং

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

তবে তারা কখনই এই ফলাফলগুলির জন্য গাণিতিক প্রমাণ সরবরাহ করে না।

কেউ কি এই প্রমাণগুলি সরবরাহ করতে পারেন?

তদতিরিক্ত, উপরের সিইএস ক্রিয়াকলাপটি ধ্রুবক-রিটার্ন-টু-স্কেলকে অন্তর্ভুক্ত করে (এক ডিগ্রি একজাতীয়), বাইরের এক্সপোনেন্ট হওয়ার কারণে $-1/\rho$ । যদি এটি হয়, $-k/\rho$ , তবে ডিগ্রি $k$ ।

হলে সীমাবদ্ধ ফলাফলগুলি কীভাবে প্রভাবিত হবে $k\neq 1$ ?

— Huseyin
সূত্র

এটি কোনও হোমওয়ার্কের প্রশ্ন বলে মনে হচ্ছে এটি সমাধানের পূর্বের কোনও প্রচেষ্টা নেই, দেখুন: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

এটি অবশ্যই একটি অনন্য বিষয়, তবে একটি নিম্নমানের প্রশ্ন । এটি হোম ওয়ার্ক হুসেইন না হলেও, আমরা আপনার কাছ থেকে প্রত্যাশা করি একটি) আপনার স্বরলিপি সম্পর্কে সতর্কতা অবলম্বন করুন (আপনি

ρ

$\rho$ এবং

ব্যবহার করেছিলেন

p

$p$ ) এবং খ) আপনি সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করেছেন এমন কিছু চিন্তাভাবনা এবং উপায় অবদান রাখুন। আমরা এখানে এমন লোকদের সাহায্য করতে আছি যারা নিজেরাই সহায়তা করে এবং পেশাদার পরিষেবাদি বোনো সরবরাহ না করে।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

গণিত স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ নেটওয়ার্কের পুরো পুরো অংশের থেকে আলাদা আলাদাভাবে কাজ করে। শুধুমাত্র গণিতের জন্যই আপনি অন্য লোকদের প্রচেষ্টা না দেখিয়ে সমাধানের জন্য সমস্যাগুলি জমা দিতে পারেন। গণিতের জন্য দয়া করে এই ধরণের প্রশ্নটি সংরক্ষণ করুন, এখানে নয়।

— শক্তি

আপনার কেন এটি প্রমাণ করতে হবে তার কোনও ইঙ্গিত ছাড়াই যখন আপনি "আমাকে প্রমাণ করতে হবে" বলছেন, লোকেরা এটি গৃহকর্ম বলে ধরে নিবে।

— স্টিভেন ল্যান্ডসবার্গ

@ হুসেন - এখন প্রশ্নটি আবার খোলা হয়েছে এবং উত্তর সরবরাহ করা হয়েছে, আপনি কি উত্তরটি কোব-ডগলাস সীমাতে পোস্ট করবেন না?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

উত্তর:

আমি যে প্রমাণগুলি উপস্থাপন করব তা সিইএস উত্পাদন ফাংশনটিতে একটি সাধারণ ওজনযুক্ত গড়ের ফর্ম রয়েছে এই প্রাসঙ্গিক কৌশলগুলির উপর ভিত্তি করে ।
এটি আসল কাগজটিতে ব্যবহৃত হয়েছিল যেখানে সিইএস ফাংশনটি চালু হয়েছিল, অ্যারো, কেজে, চেনারি, এইচবি, মিনহাস, বিএস, এবং স্যালো, আরএম (১৯61১)। মূলধন-শ্রম প্রতিস্থাপন এবং অর্থনৈতিক দক্ষতা। অর্থনীতি এবং পরিসংখ্যান পর্যালোচনা, 225-250।
সেখানকার লেখকরা তাদের পাঠকদের হার্ডি, জিএইচ, লিটলউড, জে, এবং পলিয়া, জি। (1952) বইটি উল্লেখ করেছেন । বৈষম্য , অধ্যায় । $2$

আমরা সাধারণ কেস

{প্রশ্নঃ}_{ট} = γ [একটি {কে}^{- ρ} + + (1 - একটি) {এল}^{- ρ}]^{- \frac{ট}{ρ}}, ট > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} {প্রশ্নঃ}_{ট} = \frac{1}{[একটি (1 / {কে}^{ρ}) + + (1 - একটি) (1 / {এল}^{ρ})]^{\frac{ট}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) সীমাবদ্ধ করুন যখন $\rho \rightarrow \infty$ যেহেতু আমরা যখন আগ্রহী তখন যখন আমরা উপেক্ষা করতে পারি যার জন্য , এবং কে কঠোরভাবে ইতিবাচক হিসাবে বিবেচনা করি ।
$\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, ধরে নিন । আমাদের কাছে । তারপরে আমরা যাচাই করি যে নিম্নলিখিত বৈষম্য ধারণ করে: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - একটি)^{ট / ρ} (1 / {এল}^{ট}) \leq γ {প্রশ্নঃ}_{ট}^{- 1} \leq (1 / {এল}^{ট})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

পেতে throughout পাওয়ার জুড়ে বাড়িয়ে $\rho/k$

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$ যা প্রকৃতপক্ষে ধারনাগুলি দিয়েছিল। তারপরে এর প্রথম উপাদানটিতে ফিরে যান এবং

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

যা স্যান্ডউইচ মধ্যে মধ্যপদ থেকে , তাই $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

সুতরাং আমরা বেসিক লেওনটিফ উত্পাদন ফাংশনটি পাই। $k=1$

2) সীমাবদ্ধ করুন যখন $\rho \rightarrow 0$
সূচক হিসাবে ব্যবহার করে ফাংশন লিখুন

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

প্রথম-অর্ডার Maclaurin সম্প্রসারণ লগারিদম ভিতরে মেয়াদের (টেলর সম্প্রসারণ শূন্য কেন্দ্রীভূত), সম্মান সঙ্গে বিবেচনা করুন : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

এটিকে পিছনে প্রবেশ করুন এবং বাহ্যিক ঘনিষ্ঠ থেকে মুক্তি পান, $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

যদি এটি অস্বচ্ছ হয় তবে এবং পুনরায় লিখুন $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

এখন এটি এমন এক অভিব্যক্তির মতো দেখাচ্ছে যা অনন্তের সীমা আমাদের ক্ষতিকারক কিছু দেবে:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

ফাংশনের সর্বনিম্ন ডিগ্রি সংরক্ষণ করা হয় এবং আমরা কোব-ডগলাস ফাংশনটি পাই। $k$ $k=1$

এটা তোলে এই শেষ ফলে তীর এবং কো কল হয়েছিল সিইএস ফাংশনের "ডিস্ট্রিবিউশন" প্যারামিটার। $a$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

কোব-ডগলাস এবং লিওটিফ প্রাপ্তির নিয়মিত পদ্ধতি হ'ল ' হিপিটাল' - এর নিয়ম ।

অন্য একটি পদ্ধতিও ব্যবহার করা উচিত। নির্ধারণ করা ফিরে আসবে এবং দ্বারা প্রাপ্ত পার্থক্যের মাধ্যমে প্রাপ্ত মোট কিছু ম্যানুপুলেশন সহ আমাদের মূল সমীকরণ পাওয়া যাবে। $\gamma=1$ $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

Q^{- ρ} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - a ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - a) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$

d Q = a {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - a) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

লিনিয়ার ফাংশন : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

কোব-ডগলাস ফাংশন : উভয় দিক থেকে ইন্টিগ্রাল নিলে উত্পাদন হবে

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = a (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$

\int \frac{1}{Q} d Q = a \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{a} L^{(1 - a)} e^{C} = A K^{a} L^{(1 - a)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

লিওন্টিফ ফাংশন : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
সূত্র

(+1) আমি বিশেষত কোব-ডগলাস ফাংশনটি কীভাবে প্রাপ্ত তা পছন্দ করি।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

ধন্যবাদ @ অ্যালোকোসপ্যাপাডোপল্লোস। তবে কেন জানি না কেন কোনও পোস্টকারীরা এখনও এই পোস্টটিকে অপছন্দ করে? আমি মনে করি এই ধরণের প্রশ্নগুলি আমার পক্ষে কমপক্ষে মস্তিষ্কের ঝড় সরবরাহ করতে পারে।

— হুসেইন

কঠোরভাবে হুসেনকে বললে, তারা সঠিক: আপনার প্রশ্নের উত্তরটির অন্তত অংশটি আপনার অন্তর্ভুক্ত করা উচিত ছিল : "এখানেই আমার কাজ করার পদ্ধতি, অন্য কোনও উপায় আছে?"

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

একটি সীমা গ্রহণের জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল এবং "সমতুল্য" সংহত করা কি? সাধারণভাবে, আমরা কোনও সীমা সন্ধানের জন্য ডিফারেন্সিয়াল নিতে পারি এবং সংহত করতে পারি? নাকি এটি একটি বিশেষ অ্যাপ্লিকেশন?

— পিগুপ্ত