ইউটিলিটির মনোটোন রূপান্তর

আমরা শিখেছি যে ইউটিলিটি ফাংশনগুলির কোনও "কঠোর ইতিবাচক একঘেয়ে রূপান্তর" ঠিক আছে, যতক্ষণ না তারা অন্তর্নিহিত পছন্দগুলি দ্বারা বোঝানো পছন্দগুলির র‌্যাঙ্কিং সংরক্ষণ করে।

বিবেচনা করুন $U(x, y) = (x/y)^\alpha$

ক্রস ডেরাইভেটিভ হ'ল $\frac{\partial^2}{\partial y \partial x} U(x,y) = -\alpha^2 (\frac{x}{y})^{\alpha - 1}$

এখন, একঘেয়ে রূপান্তর । ক্রস ব্যুৎপন্ন হয় । $V(x,y) = \log U(x,y) = \alpha \log x - \alpha \log y$ $V$ $0$

ক্রস-অমৌলিক কিভাবে পছন্দের র্যাংকিং গুরুত্বপূর্ণ তথ্য অন্তর্ভুক্ত পরিবর্তন, আমরা পরিবর্তন । স্পষ্টতই, এই দুটি পৃথক ক্রস ডেরাইভেটিভগুলি একই অন্তর্নিহিত পছন্দ র‌্যাঙ্কিং থেকে উত্পন্ন করা যায় না - বা আমি ভুল করছি? $x$ $y$

microeconomics utility preferences

— FOOBAR
সূত্র

আমি মনে করি আপনি ক্রস ডেরাইভেটিভের খুব বেশি অর্থ দেখতে পেয়েছেন। আপনি যদি এই " এর পছন্দসই র‌্যাঙ্কিং" আনুষ্ঠানিকভাবে গ্রহণ করেন তবে এটি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠতে পারে ।

x

$x$

— গিসকার্ড

র‌্যাঙ্কিংয়ের সংরক্ষণ ব্যয়গুলি পৃথক পণ্য ব্যবহারের চেয়ে বেশি । সুতরাং একমাত্র এবং একমাত্র প্রশ্ন হ'ল বান্ডেলগুলির র‌্যাঙ্কিং সংরক্ষিত আছে বা নেই। $(x_i,y_i),\; (x_k,y_k); \forall i,k$

যদি পছন্দগুলি যৌক্তিক (সম্পূর্ণ এবং ট্রানজিটিভ) হয় এবং ক্রমাগত হয়, তবে এগুলি একটি অবিচ্ছিন্ন ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। সুতরাং যদি এই হোল্ড এবং

(x_{i}, y_{i}) >_{p r} (x_{k}, y_{k}) ⟹ \exists U, U_{i} > U_{k}

$(x_i,y_i)>_{pr}\; (x_k,y_k) \implies \exists \;U, U_i > U_k$

লগারিদম হ'ল এটির জন্য যে কোনও প্রযোজ্য হয় তার একটি কঠোর একঘেয়ে রূপান্তর, এটি গাণিতিক সত্য হিসাবে কাজ করে, আমরা যে ফাংশনটি ব্যবহার করি তা নির্বিশেষে। সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে

U_{i} > U_{k} ⟹ \ln U_{i} > \ln U_{k}, \forall i, k

$U_i > U_k \implies \ln U_i > \ln U_k ,\; \forall i,k$

এবং বান্ডিলের র‌্যাঙ্কিং সংরক্ষিত আছে। রূপান্তরের কারণে আমরা অন্যান্য তথ্য হারাচ্ছি বা না (আমাদের ইচ্ছা আমরা রাখতে পারতাম) প্রতিনিধিত্ব / রূপান্তর উপপাদ্যের বিষয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে না।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র