প্রত্যাশিত ইউটিলিটি থিওরিতে ধারাবাহিকতা অ্যাক্সিয়াম

Question

ধারাবাহিকতার নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি গ্রহণ করুন।

এল এর কোনও এল, এল ', এল' ' , এর জন্য, [0,1] এ S_1 = \ {\ আলফা sets সেটগুলি যদি পছন্দসই সম্পর্ক লটারির জায়গার উপরে এল অবিচ্ছিন্ন থাকে তবে : \ আলফা এল + + (1- \ আলফা নয়) এল '\ succsim এল' '\} এবং S_2 = \ {\ আলফা \ এ [0,1]: এল' '\ succsim \ আলফা এল + + (1- \ আলফা নয়) এল' \} হয় উভয় বন্ধ।$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

এটি কি অগত্যা সত্য যে $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? যদি তাই হয় তবে কেন?

Answer 1

এটাই.
ধারাবাহিকতার পূর্বে, যা অগ্রাধিকারের সম্পর্কের সম্পত্তি , পছন্দের সম্পর্ক নিজেই দ্বারা চিহ্নিত একটি বাইনারি সম্পর্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয় এবং সম্পূর্ণতার দ্বারা শুরু হয় । যদি তার মানে কিছু মান বিদ্যমান আছে যে কোথাও তাদের কল , যার জন্য $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

তন্ন তন্ন

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

না

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

কথায় কথায়, এই জন্য , জুটিটি মোটেও অর্ডার করা যায় না । তবে এটি সম্পূর্ণতার ভিত্তিটির সাথে বৈপরীত্য প্রকাশ করে যা এমনকি একটি পছন্দসই সম্পর্ক অর্জনের জন্যও প্রয়োজন (অবশ্যই আমাদের তত্ত্বটিতে ব্যবহৃত হয়েছে P$\tilde \alpha$

এছাড়াও, নোট করুন যে সম্পূর্ণ ধারণাটি সমস্ত কল্পনাযোগ্য জোড়গুলির উপরে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এমনকি যদি কোনও নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে আমরা লটারির স্থানটিকে আরও ছোট কিছুতে সীমাবদ্ধ করতে বেছে নিয়েছি। বিবেচনাধীন লটারিগুলি নির্দিষ্ট লটারির জায়গার অন্তর্ভুক্ত কিনা তা সত্যই অপ্রাসঙ্গিক। "পছন্দসই" ব্যক্তিকে যে কোনও ক্ষেত্রে তাদের অর্ডার করতে সক্ষম হতে হবে, এমনকি "অনুমানমূলক" পরিস্থিতি হিসাবে (যদিও কড়া কথায় বলতে গেলে, একটি নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য আমাদের কাছে "লাক্সারি" কেবলমাত্র লটারি উপলভ্য হিসাবে সম্পূর্ণতা আরোপ করার আছে, " অবশিষ্ট অজ্ঞাত "" যদি আমরা লটারির স্থানটি প্রসারিত করি তবে সম্পূর্ণতার জন্য Still তবুও এই "দুর্বলতা" সম্পূর্ণ অক্ষর চাপিয়ে দেওয়ার ক্ষেত্রে আসলে কোনও লাভ হয় না)।