অবিচ্ছিন্ন সময়ে স্টোচাস্টিক বৃদ্ধি

সাহিত্য: তাত্ত্বিক অংশের জন্য চ্যাং (1988) এবং আছডু এট আল দেখুন। (2015) যথাক্রমে সংখ্যার অংশের জন্য।

মডেল

মাথাপিছু স্বরলিপিতে নিম্নলিখিত স্টোকাস্টিক অনুকূল বৃদ্ধির সমস্যাটি বিবেচনা করুন। সদৃশ মানটিব্যতীত মান,যা একটি স্ট্যান্ডার্ড উইনার প্রক্রিয়া বৃদ্ধি, যেমন। জনসংখ্যা বৃদ্ধির হারের অর্থএবং বৈকল্পিক।

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

বিশ্লেষণমূলক সমাধান

আমরা কোব-ডগলাস প্রযুক্তি

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

এবং সিআরআরএ ইউটিলিটি সেট আপ করুন হ্যামিলটন-Jacobi-বেলম্যান সমীকরণ (HJB-ঙ)

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

প্রথম অর্ডার শর্ত (FOC) পড়ছে যেখানেনীতি ফাংশন বোঝায়।

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

HJB-e এফওসি পুনরায় চালু করুন

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

আমরা একটি কার্মিক ফর্ম অনুমান (সঙ্গে । Posch (2009, EQ 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

যেখানে কিছু ধ্রুবক। এর প্রথম এবং দ্বিতীয় আদেশ ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয়েছে $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

এইচজেবি-ই পরে পড়ে

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

$\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

$v$ $\sigma$

সুতরাং নির্বিচারক এবং স্টোকাস্টিক মান ফাংশনটি একই হতে হবে be নীতি ফাংশনটি তখন সহজেই দেওয়া হয় (FOC ব্যবহার করুন এবং মান ফাংশনের ডেরাইভেটিভ)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

$\sigma$

সংখ্যার আনুমানিক

$\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$

— পুনের
সূত্র

যে বিষয়টি আমাকে এখানে বিরক্ত করে তা হ'ল "" iff "শর্তটি আপনি লিখার পরে" সর্বাধিক এইচজেবি-ই সত্য হয় যদি নীচের শর্তগুলি ধরে থাকে ": এটি একটি খুব নির্দিষ্ট সাম্যতা সম্পর্ক যা মডেল -পরিচয় পরামিতিগুলির সমস্ত পরামিতিগুলির মধ্যে থাকা আবশ্যক, জনসংখ্যা বৃদ্ধি, মূলধন উত্পাদনশীলতা এবং অস্থিরতা। আমি অবাক: আমরা কি সত্যই অনুমিত ফাংশনগুলির সাথে কাজ করতে পারি যার বৈধতা প্যারামিটারগুলিতে এত সংকীর্ণ অবস্থার উপর নির্ভর করে?

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

একটি মন্তব্য আরও:

সমস্যার বিবৃতিতে একটি প্রত্যাশা অপারেটর থাকা উচিত, অন্যথায় সমস্যাটি বোঝায় না।

$\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

$\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

$\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

সীমাবদ্ধতা হিসাবে লেখা যেতে পারে

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

$(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

$\sigma$ $u$

— মাইকেল
সূত্র