সাহিত্য: তাত্ত্বিক অংশের জন্য চ্যাং (1988) এবং আছডু এট আল দেখুন। (2015) যথাক্রমে সংখ্যার অংশের জন্য।
মডেল
মাথাপিছু স্বরলিপিতে নিম্নলিখিত স্টোকাস্টিক অনুকূল বৃদ্ধির সমস্যাটি বিবেচনা করুন।
সদৃশ মানটিডিজেডব্যতীত মান,যা একটি স্ট্যান্ডার্ড উইনার প্রক্রিয়া বৃদ্ধি, যেমনz(টি)∼এন(0,টি)। জনসংখ্যা বৃদ্ধির হারের অর্থএনএবং বৈকল্পিকσ2।
s.t. maxc∫∞0e−ρtu(c)dtdk=[f(k)−(n−σ2)k−c]dt−σkdzc∈[0,f(k)]k(0)=k0
dzz(t)∼N(0,t)nσ2
বিশ্লেষণমূলক সমাধান
আমরা কোব-ডগলাস প্রযুক্তি
f(k)=kα,α∈(0,1)
এবং সিআরআরএ ইউটিলিটি
সেট আপ করুন হ্যামিলটন-Jacobi-বেলম্যান সমীকরণ (HJB-ঙ)
ρ বনাম ( ট ) = সর্বোচ্চ গ { গ 1 - γ
u(c)=c1−γ1−γ,γ>1.
ρv(k)=maxc{c1−γ1−γ+v′(k)(kα−(n−σ2)k−c)+v′′(k)k2σ22}
প্রথম অর্ডার শর্ত (FOC) c = v ′ ( কে ) - 1 পড়ছে
যেখানেπ(⋅)নীতি ফাংশন বোঝায়।
c=v′(k)−1γ=:π(k)
π(⋅)
HJB-e ρ v ( k ) = v ′ ( k ) γ - 1 এ এফওসি পুনরায় চালু করুন
ρv(k)=v′(k)γ−1γ1−γ+v′(k)kα−v′(k)(n−σ2)k−v′(k)γ−1γ+v′′(k)k2σ22.
আমরা একটি কার্মিক ফর্ম অনুমান (সঙ্গে । Posch (2009, EQ 41) )
বনাম ( ট ) = Ψ ট 1 - α γv(k)
v(k)=Ψk1−αγ1−αγ
যেখানে কিছু ধ্রুবক। ভি এর প্রথম এবং দ্বিতীয় আদেশ ডেরিভেটিভ ভি ′ ( কে ) দ্বারা দেওয়া হয়েছে
Ψv
v′(k)v′′(k)=Ψk−αγ=−αγΨk−1−αγ.
এইচজেবি-ই পরে পড়ে
⟺ρΨk1−αγ1−αγ=Ψγ−1γkα(1−γ)1−γ+Ψkα(1−γ)−(n−σ2)Ψk1−αγ−Ψγ−1γkα(1−γ)−αγΨk1−αγσ22k1−αγ(ρ1−αγ+n−σ2(1−αγ2))=kα(1−γ)[1+Ψ−1γγ1−γ]
ρ=(−n+σ2(1−αγ2))(1−αγ)∧Ψ=(γ−1γ)−γ
Ψv
v(k)=(γ−1γ)−γk1−αγ1−αγ.
সুতরাং নির্বিচারক এবং স্টোকাস্টিক মান ফাংশনটি একই হতে হবে be নীতি ফাংশনটি তখন সহজেই দেওয়া হয় (FOC ব্যবহার করুন এবং মান ফাংশনের ডেরাইভেটিভ)
π(k)=(1−1γ)kα.
σ
সংখ্যার আনুমানিক
ϵ=1e−10σσ→0σ>0π(k)σ