বিশ্লেষণাত্মকভাবে ট্র্যাকটেবল রামসে মডেল: কীভাবে অনুকূল ট্র্যাজিকোলজির জন্য ওডিই সমাধান করবেন

ইন ব্রুনার এবং Strulik (2002) লেখক দাবি, যে সমাধান

\begin{aligned} \dot{c} & = \frac{c}{σ} (α k^{α - 1} - δ - ρ) \\ \dot{k} & = k^{α} - δ k - c \end{aligned}

$\begin{align} \dot c &= \frac{c}{\sigma}(\alpha k^{\alpha-1} - \delta - \rho)\\ \dot k &= k^\alpha - \delta k - c \end{align}$

প্রদত্ত (একাদশ 27 দেখুন) যদি। আমিএর সমাধানটি যাচাই করতে পারি(উদাহরণস্বরূপ, এইথ্রেড)। তবে আমি সমাধান কিভাবে নিশ্চিত নই। আমরা চলা যাবেমধ্যে, যা দেয়

\begin{aligned} c (t) & = (1 - \frac{1}{σ}) k (t)^{α} \\ k (t) & = {[\frac{1}{δ σ} + (k (0)^{1 - α} - \frac{1}{δ σ}) \exp (- δ (1 - α) t)]}^{\frac{1}{1 - α}} \end{aligned}

$\begin{align} c(t) &= \left(1 - \frac{1}{\sigma}\right) k(t)^\alpha\\ k(t) &= \left[\frac{1}{\delta\sigma} +\left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp(-\delta(1-\alpha)t) \right]^{\frac{1}{1-\alpha}} \end{align}$

α δ σ = δ + ρ

$\alpha\delta\sigma = \delta + \rho$

c (t)

$c(t)$

k (t)

$k(t)$

c (t)

$c(t)$

\dot{k}

$\dot k$

\begin{aligned} \dot{k} & = \frac{1}{σ} k^{α} - δ k . \end{aligned}

$\begin{align} \dot k &= \frac{1}{\sigma} k^\alpha - \delta k. \end{align}$

কেউ কীভাবে এগিয়ে যাবে?

সমাধান

অ্যালেকোসের উত্তরের বিষয়ে আমরা নিম্নলিখিত ওডিই সমাধান করতে পারি

\begin{aligned} \dot{z} + (1 - α) δ z = \frac{1 - α}{σ} . \end{aligned}

$\begin{align} \dot z + (1-\alpha)\delta z = \frac{1-\alpha}{\sigma}. \end{align}$

জেনারিয়াল সলিউশন দ্বারা দেওয়া হয়

\begin{aligned} z (t) & = \frac{1}{\exp (\int (1 - α) δ d t)} [\int \exp (\int (1 - α) δ d t) \frac{1 - α}{σ} d t + C] \\ = \frac{1}{δ σ} + C \exp ((α - 1) δ t) . \end{aligned}

$\begin{align} z(t) &= \frac{1}{\exp(\int (1-\alpha)\delta dt)}\left[\int \exp\left(\int (1-\alpha)\delta dt\right) \frac{1-\alpha}{\sigma} dt + C \right]\\ &= \frac{1}{\delta\sigma} + C\exp((\alpha-1)\delta t). \end{align}$

$z(0)$ $C$

\begin{aligned} C = z (0) - \frac{1}{δ σ} \end{aligned}

$\begin{align} C = z(0) - \frac{1}{\delta\sigma} \end{align}$

\begin{aligned} z (t) & = \frac{1}{δ σ} + (z (0) - \frac{1}{δ σ}) \exp ((α - 1) δ t) \\ ⟺ k (t)^{1 - α} & = \frac{1}{δ σ} + (k (0)^{1 - α} - \frac{1}{δ σ}) \exp ((α - 1) δ t) \\ ⟺ k (t) & = {[\frac{1}{δ σ} + (k (0)^{1 - α} - \frac{1}{δ σ}) \exp ((α - 1) δ t)]}^{\frac{1}{1 - α}} . \end{aligned}

$\begin{align} z(t) &= \frac{1}{\delta\sigma} + \left(z(0) - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t) \\ \Longleftrightarrow \quad k(t)^{1-\alpha} &= \frac{1}{\delta\sigma} + \left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t)\\ \Longleftrightarrow \quad k(t) &= \left[\frac{1}{\delta\sigma} + \left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}. \end{align}$

economic-growth optimal-control dynamic-optimization

— পুনের
সূত্র

k

$k$

k^{α}

$k^{\alpha}$

v = k^{1 - α}

$v=k^{1-\alpha}$

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

\dot{k} = \frac{1}{σ} k^{α} - δ k

$\dot k = \frac{1}{\sigma} k^\alpha - \delta k$

একটি বার্নোল্লি সমীকরণের কাঠামো রয়েছে । আমরা এটি নিম্নলিখিত রূপান্তর পদক্ষেপগুলি দ্বারা সমাধান করি:

$k^{-\alpha}$

\begin{matrix} (1) & k^{- α} \dot{k} = \frac{1}{σ} - δ k^{1 - α} \end{matrix}

$k^{-\alpha}\dot k = \frac{1}{\sigma} - \delta k^{1-\alpha} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & z \equiv k^{1 - α} ⟹ \dot{z} = (1 - α) k^{- a} \dot{k} \end{matrix}

$z \equiv k^{1-\alpha} \implies \dot z = (1-\alpha)k^{-a}\dot k \tag{2}$

3) পেতে একত্রিত

(1), (2) ⟹ \frac{1}{1 - α} \dot{z} = \frac{1}{σ} - δ z

$(1),(2) \implies \frac {1}{1-\alpha}\dot z = \frac{1}{\sigma} - \delta z$

⟹ \dot{z} + (1 - α) δ z = \frac{1 - α}{σ}

$\implies \dot z + (1-\alpha)\delta z = \frac {1-\alpha}{\sigma}$

এটি ধ্রুবক সহগগুলির সাথে প্রথম মানের ক্রমের একটি আদর্শ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এটি সমাধান করুন এবং তারপরে ফলাফল পেতে পরিবর্তনশীলের পরিবর্তনটি বিপরীত করুন।

$k \neq 0$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র