দেখাও ফরওয়ার্ড-পরিমাপ-Brownian

সংজ্ঞা এবং স্টাফ:

যেখানে একটি ফিল্টার সম্ভাব্যতা স্থান $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

$T > 0$ $T > 0$
$P = \tilde{P}$ $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$

$F_{t} = F_{t}^{W} = F_{t}^{\tilde{W}}$ $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$

যেখানে মান টিল্ডে -ব্রাউনিয়ান গতি। $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

যেখানে বিবেচনা করুন $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

M_{t} := \frac{\exp (- \int_{0}^{t} r_{s} d s)}{P (0, t)}

$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$

সামনের পরিমাপটি নির্ধারণ করুন : $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} := M_{T} = \frac{\exp (- \int_{0}^{T} r_{s} d s)}{P (0, T)}

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$

যেখানে short হ'ল সংক্ষিপ্ত হার প্রক্রিয়া এবং, bond সময়ে বন্ড মূল্য t $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

এটি দেখানো যেতে পারে যে 0 হ'ল একটি মার্টিংএল যেখানে বন্ড মূল্য গতিশীলতা দেওয়া হয়: $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t}

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$

কোথায়

$r_t$ এবং হয় -adapted $\xi_t$ $\mathscr F_t$
$\xi_t$ নভিকভের অবস্থা সন্তুষ্ট করেছে (আমি মনে করি না বিশেষভাবে কোনও কিছুর প্রতিনিধিত্ব করবে বলে মনে করা হয়) $\xi_t$

সমস্যা:

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি st তে সংজ্ঞায়িত করুন $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$W_{t}^{Q} := W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s$ $W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$
প্রমাণ করতে গিরসানভ উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন :

$W_{t}^{Q} is standard Q -Brownian motion.$ $W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$

আমি যা চেষ্টা করেছি:

যেহেতু নভিকভের অবস্থা সন্তুষ্ট করে, $\xi_t$

\int_{0}^{T} ξ_{t} d t < \infty a.s. \to \int_{0}^{T} - ξ_{t} d t < \infty a.s.

$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$

\to L_{t} := \exp (- \int_{0}^{t} (- ξ_{s} d W_{s}) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ξ_{s}^{2} d s)

$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$

একটি । $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

গিরসানভ থিওরেম লিখেছেন,

W_{t}^{Q} is standard P^{*} -Brownian motion, where

$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$

\frac{d P^{*}}{d P} := L_{T}

$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$

আমি অনুমান করি যে আমাদের কাছে standard স্ট্যান্ডার্ড -Brownian গতি আছে যদি আমরা তা দেখাতে পারি $W_t^{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$

L_{T} = \frac{d Q}{d P}

$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$

আমি আমার নোটগুলি হারিয়েছি, তবে আমি মনে করি যে আমি এটির লেমমা ব্যবহার করে তা দেখাতে সক্ষম হয়েছি

$d L_{t} = L_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dL_t = L_t \xi_t dW_t$
$d M_{t} = M_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dM_t = M_t \xi_t dW_t$

তাদের কাছ থেকে আমি এটি অনুমান করি

d (\ln L_{t}) = d (\ln M_{t})

$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$

\to L_{t} = M_{t}

$\to L_t = M_t$

\to L_{T} = M_{T}

$\to L_T = M_T$

Qed

এটা কি সঠিক?

— BCLC
সূত্র

পি-মার্টিংলে সংক্ষিপ্ত হারের মাধ্যমে কেন বন্ডের মূল্য ছাড় হয়? আপনার বন্ডের দামটি একটি সাধারণ গিগাবাইট GB এটি একটি আইটো বিস্তারের সূচক হিসাবে লিখুন, একজনকে দেখতে হবে যে স্বল্প হারের মাধ্যমে ছাড় ইটোর সংশোধনের জন্য নয়।

— মাইকেল

@ মিশেল আপনি কি নিশ্চিত যে পি কে ঝুঁকি নিরপেক্ষ বলে মনে করছেন এবং বাস্তব বিশ্বের মতো পি নয়?

— বিসিএলসি

আচ্ছা আমি দেখি. আপনি যদি জন্য একটি হিসাবে করেন তবে পরিবর্তে আপনি দেখতে পাবেন যে গিরসানোভের উপপাদ্যটি তাত্ক্ষণিকভাবে প্রযোজ্য। এছাড়াও, এবং ইটো সেটিংসে এক নয়। আপনার যুক্তি অনুসারে, এর পরিবর্তে এসডিইর শক্তিশালী সমাধানগুলির স্বতন্ত্রতা প্রার্থনা করা উচিত।

P_{t}

$P_t$

M_{T}

$M_T$

\frac{d L}{L}

$\frac{dL}{L}$

d \ln L

$d \ln L$

— মাইকেল

@ মিশেল ধন্যবাদ! যুক্তির ঠিক কোন অংশ?

— বিসিএলসি

(আরও ঘনিষ্ঠভাবে ব্যবহৃত প্রশ্ন এবং স্বরলিপিটি দেখে ফর্মুলেশনটি বেশ কয়েকটি জায়গায় সমস্যাযুক্ত বলে মনে হচ্ছে))

জেনারেল ফ্যাক্ট

যাক পরিস্রাবণ থেকে সম্মান সঙ্গে হতে মান ব্রোমিন । Consider বিবেচনা করুন দ্বারা সংজ্ঞায়িত সাধারণভাবে, a একটি সুপার মার্টিনেল। কিছু অবস্থার অধীনে (যেমন নোভিকভের অবস্থা), একটি মার্টিনেল এবং কেউ সম্ভাব্যতা পরিমাপ দ্বারা Under এর অধীনে , প্রক্রিয়াটি পরিস্রাবণের ক্ষেত্রে একটি আদর্শ ব্রাউনিয়ান গতি $W$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ $(L_t)_{t \in [0,T]}$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ψ_{t} d L_{t}, L_{0} = 1.

$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$

L_{t} = e^{\int_{0}^{t} ψ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ψ_{s}^{2} d s}

$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$

L_{t}

$L_t$

Q

$\mathbb{Q}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t}^{Q} = W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ ।

এটি কেন সত্য তা অনানুষ্ঠানিক ইঙ্গিত হিসাবে নীচে as বিবেচনা করুন । বাইয়েস উপপাদ্য দ্বারা, ল্যাম্বদা a একটি ম্যাথবিবি mar -মার্টিংলে যদি এবং কেবলমাত্র mb ল্যাম্বদা a একটি th ম্যাথবিবি -মারটিংএলে। থেকে $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ $W^{\lambda}$ $\mathbb{Q}$ $L W^{\lambda}$ $\mathbb{P}$

\begin{aligned} d L W^{λ} & = L d W^{λ} + W^{λ} d L + d L d W^{λ} \\ = L (ψ + λ) d t + (\dots) d W, \end{aligned}

$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$ আমরা থাকতে হবে জন্য একটি হতে -Brownian গতি।

λ = - ψ

$\lambda = - \psi$

W^{λ}

$W^{\lambda}$

Q

$\mathbb{Q}$

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব হিসাবে ছাড় মূল্য

অন্তর্নিহিত অনুমানের একজন আন্ডারলাইন করা সম্পত্তির যার মূল্য নেই অনুসরণ ঝুঁকি নিরপেক্ষ পরিমাপ অধীনে । সংক্ষিপ্ত হার এবং অস্থিরতা প্রক্রিয়াগুলি পর্যাপ্ত নিয়মিততার সাথে মানিয়ে নেওয়া হয় যাতে বিদ্যমান থাকে exist (এটি সত্য হওয়ার জন্য, ঝুঁকি নিরপেক্ষ পরিমাপের অধীনে দ্বারা উত্পাদিত ব্রাউনিয়ান পরিস্রাবণ শারীরিক পরিমাপের অধীনে ফিজিক্যাল ব্রাউনিয়ান গতি দ্বারা উত্পন্ন যা একই রকম হতে হবে, যাতে মার্টিংগেল উপস্থাপনা তত্ত্বটি প্রয়োগ হয়)) $S_t$

\frac{d S_{t}}{S_{t}} = r_{t} d t + σ_{t} d W_{t}

$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$

P

$\mathbb{P}$

(r_{t})

$(r_t)$

σ_{t}

$\sigma_t$

(W_{t})

$(W_t)$

এই Brownian পরিস্রাবণ সেটিং, যেকোন time- জন্য দাবি , তার মূল্য ঝুঁকি-নিরপেক্ষ গতিবিদ্যা আকারে প্রক্রিয়া ফেরত উদ্বায়ীতা হয় , উভয় শারীরিক এবং ঝুঁকি নিরপেক্ষ পরিমাপ করেন। $T$ $X_T$ $X_t$

\frac{d X_{t}}{X_{t}} = r_{t} d t + ψ_{t} d W_{t} .

$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$

(ψ_{t})

$(\psi_t)$

X_{t}

$X_t$

অন্য কথায়, এর মূল্য ছাড় ঝুঁকি নিরপেক্ষ গতিবিদ্যা দেওয়া হয় (যে কোনও ক্লাইমের ছাড়ের দামটি কোনও সালিস ছাড়াই ঝুঁকি নিরপেক্ষ পরিমাপের অধীনে একটি মার্টিংকে অনুসরণ করতে হবে)) $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

\frac{d M_{t}}{M_{t}} = ψ_{t} d W_{t}, M_{0} = X_{0} .

$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$

T

$T$

নোভিকভের অবস্থা যদি ধরে রাখে, তবে a একটি রেডন-নিকডোডিয়াম ঘনত্ব অধীনে , প্রক্রিয়া পরিস্রাবণ থেকে সম্মান সঙ্গে একটি প্রমিত ব্রোমিন হয় । $L_T = \frac{M_T}{M_0}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

অন্য কথায়, যে কোনও ক্লেইম ছাড়যুক্ত , এর সময় অনুসারে সাধারণকরণ- দাম , একটি পরিমাপের রেডন-নিকডোডিম ঘনত্ব হিসাবে বিবেচিত হতে পারে । অধীনে , ঝুঁকি-নিরপেক্ষ ব্রোমিন এখন ড্রিফট ফেরতের উদ্বায়ীতা দ্বারা দিয়েছেন । $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ $T$ $X_T$ $0$ $X_0$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\frac{d X_t}{X_t}$

যদি কোনও লেনদেন করা সম্পদের দাম হয় তবে হল -martingale। এটি বোঝায় যে একটি -martingale। $(Y_t)$ $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ $\mathbb P$ $(\frac{Y_t}{X_t})$ $\mathbb Q$

ফরোয়ার্ড মেজার

এগিয়ে পরিমাপ উপরে যেখানে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায় time- হয় শূন্য কুপন বন্ড এ উঠছে মূল্যের । বিশেষত, । এক্সপ্রেশনটিতে হ'ল শূন্য কুপন বন্ডে ফেরতের অস্থিরতা। $X_t = P(t,T)$ $t$ $T$ $X_T = P(T,T) = 1$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t},

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$

ξ_{t}

$\xi_t$

(যদি নির্ণায়ক হয় তবে , এবং সামনের ঝুঁকি নিরপেক্ষ পরিমাপের সমান। শূন্য-কুপন বন্ধনটি তখনই ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদ হয় যখন সংক্ষিপ্ত হার স্টোকাস্টিক থাকে)) $(r_t)$ $\xi = 0$

সংশ্লিষ্ট পরিমাপ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেহেতু এটি উপরের সাধারণ আলোচনার থেকে অনুসরণ করে, under এর অধীনে , প্রক্রিয়া পরিস্রাবণের ক্ষেত্রে একটি আদর্শ ব্রাউনিয়ান গতি । $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} = \frac{e^{- \int_{0}^{T} r_{s} d s} P (T, T)}{P (0, T)} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \xi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

(পোস্ট করা প্রশ্নে, হওয়া উচিত It's ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ।) $M_t$ $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

অভিজ্ঞতামূলক মন্তব্য

ফরোয়ার্ড মাপ এর সম্পত্তি রয়েছে যে সামনের দামগুলি একটি -martingale করে। $\mathbb Q$ $\mathbb Q$

ধরুন এগিয়ে এ প্রবেশ চুক্তির এগিয়ে দাম পরিপক্বতা সঙ্গে । No-arbitrage (স্পট-ফরোয়ার্ড সমতা, ) যা ছাড়ের পরে একটি -martingale। সুতরাং একটি -martingale। $F(t,T)$ $t$ $T$

F (t, T) P (t, T) = S_{t}

$F(t,T) P(t,T) = S_t$

P

$\mathbb P$

F (t, T)

$F(t,T)$

Q

$\mathbb Q$

যেহেতু ফরওয়ার্ড মূল্য the বিপরীতভাবে চলে । সামনের দিকে পরিমাপ সম্ভাব্যতার এমন রাজ্যের দিকে বদলে দেয় যেখানে শূন্য কুপন বন্ড এমনভাবে উচ্চতর হয় যাতে আন্দোলনকে প্রতিহত করে এবং (শর্তাধীন) প্রত্যাশা স্থির রাখে।

F (t, T) = \frac{S_{t}}{P (t, T)}

$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$

P (t, T)

$P(t,T)$

\frac{d (e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T))}{e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T)} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$

P (t, T)

$P(t,T)$

— মাইকেল
সূত্র

ধন্যবাদ। আমি ঠিক আছি? অথবা না?

— বিসিএলসি

ঠিক আছে, আপনার তর্ক কিছু ফাঁক আছে। 1. নভিকভের অবস্থা সঠিকভাবে উদ্ধৃত হয়নি। 2. আরএন ঘনত্ব প্রক্রিয়া সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। ৩.আইটিওর লেমা ব্যবহার করার পরে, লগগুলি নেওয়া ঠিক আছে তবে ফলাফলটি ইতিমধ্যে এসডিইর সমাধানের স্বতন্ত্রতা অনুসরণ করে।

M_{t}

$M_t$

— মাইকেল

ম কে ধন্যবাদ মাইকেল!

— বিসিএলসি