এক প্রান্তে স্থির করা মরীচিটির জন্য নমনীয় মডুলাস

মাঝখানে ভর দিয়ে উভয় প্রান্তে সমর্থিত একটি মরীচিটির জন্য, নমনীয় মডুলাসটি দিয়েছিলেন:

E_{b} = \frac{F L^{3}}{48 I d}

$E_b = \frac{F L^3}{48I d}$

আমি অঞ্চল মুহুর্ত হিসাবে

I = \frac{1}{12} w h^{3}

$I = \frac{1}{12}wh^3$

নীচের চিত্রের মতো যদি আমাদের একটি নির্দিষ্ট প্রান্ত থাকে তবে মডুলাসের জন্য অভিব্যক্তিটি কীভাবে পরিবর্তিত হবে?

ja72 এই উত্তরে বলেছে

E_{b} = \frac{F L^{3}}{3 I d}

$E_b = \frac{F L^3}{3I d}$

তবে আমি এই ব্যপারে পরিষ্কার নই

— ldgorman
সূত্র

উত্তর:

মৌলিক মরীচি সমীকরণ হয়

\frac{d^{2}}{d x^{2}} (E I \frac{d^{2} w}{d x^{2}}) = q

$\dfrac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}\left(EI\dfrac{\text{d}^2w}{\text{d}x^2}\right) = q$

যা মূলত "ডিফ্লেশন ফাংশনের চতুর্থ ডেরাইভেটিভ প্রয়োগকৃত লোডের সমান" তে অনুবাদ করে। আসলে

প্রথম ডেরাইভেটিভ হ'ল ডিফ্লেকশনের স্পর্শক, যা ছোট কোণগুলির জন্য প্রায় প্রতিফলনের কোণের সমান
দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভটি নমনীয় মুহূর্ত
তৃতীয় ডেরাইভেটিভ হ'ল শিয়ার বল
চতুর্থ ডেরাইভেটিভ (নিজেকে পুনরাবৃত্তি করতে) হ'ল প্রয়োগকৃত বোঝা।

সমস্ত সমাপ্তি ফলাফল এই সমীকরণটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়।

এই উত্তরটি সহজ করার জন্য, আমি দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ, বাঁকানো মুহুর্ত থেকে শুরু করব, যেহেতু এটি (এবং তার পরে থাকাগুলি) পরিদর্শন দ্বারা অনুসন্ধান করা তুচ্ছ।

মিডস্প্যানে একাগ্র লোড সহ সহজ-সমর্থিত মরীচিটির জন্য, আমাদের কাছে রয়েছে:

\begin{aligned} M & = {\begin{cases} \frac{F x}{2} & for x \in [0, \frac{L}{2}] \\ \frac{F (L - x)}{2} & for x \in [\frac{L}{2}, L] \end{cases} \\ E I θ = \int M d x & = {\begin{cases} \frac{F x^{2}}{4} + C_{1} & for x \in [0, \frac{L}{2}] \\ \frac{F L x}{2} - \frac{F x^{2}}{4} + C_{2} & for x \in [\frac{L}{2}, L] \end{cases} \\ E I δ = E I \int θ d x & = {\begin{cases} \frac{F x^{3}}{12} + C_{1} x + C_{3} & for x \in [0, \frac{L}{2}] \\ \frac{F L x^{2}}{4} - \frac{F x^{3}}{12} + C_{2} x + C_{4} & for x \in [\frac{L}{2}, L] \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} M &= \begin{cases} \dfrac{Fx}{2} &\text{ for } x \in [0,\dfrac{L}{2}] \\ \dfrac{F(L-x)}{2} &\text{ for } x \in [\dfrac{L}{2}, L] \\ \end{cases} \\ EI\theta = \int M\text{d}x &= \begin{cases} \dfrac{Fx^2}{4} + C_1 &\text{ for } x \in [0,\dfrac{L}{2}] \\ \dfrac{FLx}{2} - \dfrac{Fx^2}{4} + C_2 &\text{ for } x \in [\dfrac{L}{2}, L] \\ \end{cases} \\ EI\delta = EI\int \theta\text{d}x &= \begin{cases} \dfrac{Fx^3}{12} + C_1x + C_3 &\text{ for } x \in [0,\dfrac{L}{2}] \\ \dfrac{FLx^2}{4} - \dfrac{Fx^3}{12} + C_2x + C_4 &\text{ for } x \in [\dfrac{L}{2}, L] \\ \end{cases} \end{align}$

$\delta(0) = \delta(L) = 0$ $\theta\left(\dfrac{L}{2}^+\right) = \theta\left(\dfrac{L}{2}^-\right)$ $\delta\left(\dfrac{L}{2}^+\right) = \delta\left(\dfrac{L}{2}^-\right)$ $\dfrac{L}{2}$

সুতরাং আপনি এটি সমাধান করুন:

\begin{matrix} δ (0) = C_{3} = 0 \\ δ (L) = \frac{F L^{3}}{4} - \frac{F L^{3}}{12} + C_{2} L + C_{4} = 0 \\ ∴ C_{4} = - \frac{F L^{3}}{6} - C_{2} L \\ θ ({\frac{L}{2}}^{+}) = θ ({\frac{L}{2}}^{-}) \\ ∴ \frac{F L^{2}}{16} + C_{1} = \frac{F L^{2}}{4} - \frac{F L^{2}}{16} + C_{2} \\ ∴ C_{1} = \frac{F L^{2}}{8} + C_{2} \\ δ ({\frac{L}{2}}^{+}) = δ ({\frac{L}{2}}^{-}) \\ ∴ \frac{F L^{3}}{96} + \frac{F L^{3}}{16} + \frac{C_{2} L}{2} = \frac{F L^{3}}{16} - \frac{F L^{3}}{96} + \frac{C_{2} L}{2} - \frac{F L^{3}}{6} - C_{2} L \\ ∴ C_{2} = - \frac{9 F L^{2}}{48} \\ ∴ C_{1} = - \frac{3 F L^{2}}{48} \\ ∴ C_{4} = \frac{F L^{3}}{48} \end{matrix}

$\begin{gather} \delta(0) = C_3 = 0 \\ \delta(L) = \dfrac{FL^3}{4} - \dfrac{FL^3}{12} + C_2L + C_4 = 0 \\ \therefore C_4 = -\dfrac{FL^3}{6} - C_2L \\ \theta\left(\dfrac{L}{2}^+\right) = \theta\left(\dfrac{L}{2}^-\right) \\ \therefore \dfrac{FL^2}{16} + C_1 = \dfrac{FL^2}{4} - \dfrac{FL^2}{16} + C_2 \\ \therefore C_1 = \dfrac{FL^2}{8} + C_2 \\ \delta\left(\dfrac{L}{2}^+\right) = \delta\left(\dfrac{L}{2}^-\right) \\ \therefore \dfrac{FL^3}{96} + \dfrac{FL^3}{16} + \dfrac{C_2L}{2} = \dfrac{FL^3}{16} - \dfrac{FL^3}{96} + \dfrac{C_2L}{2} - \dfrac{FL^3}{6} - C_2L \\ \therefore C_2 = -\dfrac{9FL^2}{48} \\ \therefore C_1 = -\dfrac{3FL^2}{48} \\ \therefore C_4 = \dfrac{FL^3}{48} \end{gather}$

$\delta$

δ (\frac{L}{2}) = \frac{1}{E I} (\frac{F L^{3}}{96} - \frac{3 F L^{3}}{96}) = - \frac{F L^{3}}{48 E I}

$\delta\left(\dfrac{L}{2}\right) = \dfrac{1}{EI}\left(\dfrac{FL^3}{96} - \dfrac{3FL^3}{96}\right) = -\dfrac{FL^3}{48EI}$

ক্যান্টিলভেয়ারড বিমের জন্য একই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে, কেবল এটি অনেক সহজ:

\begin{aligned} M & = F L - F x \\ E I θ = \int M d x & = F L x - \frac{F x^{2}}{2} + C_{1} \\ E I δ = E I \int θ d x & = \frac{F L x^{2}}{2} - \frac{F x^{3}}{6} + C_{1} x + C_{2} \\ θ (0) & = C_{1} = 0 \\ δ (0) & = C_{2} = 0 \\ ∴ E I δ & = \frac{F L x^{2}}{2} - \frac{F x^{3}}{6} \\ ∴ δ (L) & = \frac{F L^{3}}{3 E I} \end{aligned}

$\begin{align} M &= FL - Fx \\ EI\theta = \int M\text{d}x &= FLx - \dfrac{Fx^2}{2} + C_1 \\ EI\delta = EI\int \theta\text{d}x &= \dfrac{FLx^2}{2} - \dfrac{Fx^3}{6} + C_1x + C_2 \\ \theta(0) &= C_1 = 0 \\ \delta(0) &= C_2 = 0 \\ \therefore EI\delta &= \dfrac{FLx^2}{2} - \dfrac{Fx^3}{6} \\ \therefore \delta(L) &= \dfrac{FL^3}{3EI} \end{align}$

— ওয়াসাবি
সূত্র

'আমি' বিভিন্ন পরিস্থিতিতে পরিবর্তন করে না। 'আমি' হ'ল বিমের ক্রস-সেকশনের সম্পত্তি - প্রস্থ ডাব্লু এবং গভীরতা h এর একটি আয়তক্ষেত্র। নিম্নলিখিত সমঝোতার সাহায্যে নির্ধারিত পরিস্থিতিতে আবশ্যক সমীকরণগুলি সঠিক:

প্রথম অবস্থাটি এমন কোনও মরীচিটির জন্য নয় যা উভয় প্রান্তে স্থির হয়, এটি এমন মরীচিটির জন্য যা উভয় প্রান্তে সমর্থিত তবে 'স্থির' নয়। 'স্থির' একটি মুহূর্তের ধারাবাহিকতা বোঝায়, সেক্ষেত্রে সমীকরণের '48' '192' হবে।
দ্বিতীয় পরিস্থিতিতে শেষ শর্তটি স্থির করতে হবে - যদি এটি সমর্থিত হয় তবে স্থির না হয় (যা চিত্রটিতে প্রদর্শিত হয়) এটি একটি প্রক্রিয়া।

— achrn
সূত্র

সুতরাং এক প্রান্তের স্থির দৃশ্যের ভিত্তিতে আমরা এই 1/3 ফ্যাক্টারে কীভাবে আসব?

— ldgorman

কি 1/3 ফ্যাক্টর? মিডপাসান সমানতে পয়েন্ট লোড সহ একটি সহজ সমর্থনযোগ্য মরীচিটির জন্য মিডপয়েন্টে বিচ্ছিন্নকরণ (এখানে গৃহীত টার্মিনোলজিতে) (এফ এল ^ 3) / (48 ইআই)। টিপ এ পয়েন্ট লোড সমেত একটি ক্যান্টিলিভারের জন্য টিপে টিপ এ সমান (f L ^ 3) / 3 EI)। ওয়াসাবি একটি প্রথম নীতিগত উত্তর দিয়েছেন, তবে বেশিরভাগ লোকেরা কেবল এগুলি একটি 'স্ট্যান্ডার্ড সলিউটন' শীট বা ডাটাবুক থেকে সরিয়ে ফেলবে।

— Achrn