UDL এবং একাধিক বিন্দু লোড সমীকরণ এবং সর্বাধিক প্রতিবিম্ব ভারবহন

আমি একটি beam আছে, 2 পয়েন্ট লোড এবং 2 UDLs সঙ্গে সহজভাবে সমর্থিত। লোড বীমের কেন্দ্রে সমান্তরাল হয়।

আমি বীম বরাবর মুহুর্তের জন্য একটি অভিব্যক্তি অর্জন করার চেষ্টা করেছি এবং তারপরে যথাক্রমে ঢাল এবং বক্ররেখার জন্য অভিব্যক্তি প্রাপ্ত 2 সংহতকরণের মাধ্যমে।

কেউ কি আমাকে জানাতে পারে যে আমি আমার কাছে যাব নাকি সামগ্রিক মুহূর্তের সমীকরণ তৈরি করতে সাহায্য করতে পারি, যা আমি প্রাথমিকভাবে ম্যাথক্যাডে চক্রান্ত করতে পারি এবং আমাকে বীমের সর্বোচ্চ সংকোচন খুঁজে পেতে সহায়তা করে? সংযুক্ত জন্য সমস্যা হয় FBD।

নীচে deflection জন্য একটি সমাধান আমার প্রচেষ্টা (ক্ষেত্রে যেখানে এক্স = এল)।

কোন সাহায্যের অনেক প্রশংসা করা হয়।

— richyo1000
সূত্র

আমরা কি লোডিং সমান্তরাল অনুমান করতে পারি? এক নজরে, মনে হয় যে দ্বিতীয় ইউডিএলটি সর্বাধিক সর্বাধিক নডাল ফোর্সের দূরত্বটি অন্য দিকে চিহ্নিত বি দূরত্বের চেয়ে ছোট।

— ওয়াসাবি

আরে ওয়াসাবী - আমরা আসলে অনুমান করতে পারি যে লোডিং পুরোপুরি সিম্যাট্রিক, আমার লেআউটটি কিছুটা

— দুরন্ত

নোট: আমি নিম্নলিখিত নোট ব্যবহার করা হবে:

লোডগুলি (যেখানে আপনি ব্যবহার করেন, যা আমি deflections জন্য সংরক্ষিত) $q_1, q_2$ $w$
, দৈর্ঘ্য মোট দৈর্ঘ্য $L = c + 2(a+b)$
$\ell = a + b$

আমি গঠন এবং লোডিং সমান্তরাল ব্যবহার, এবং নিম্নলিখিত মডেল গ্রহণ করা হবে:

প্রথম এর প্রতিক্রিয়া পেতে দিন। যেহেতু গঠন এবং লোডিং সমান্তরাল, তাই এটি প্রতিটি তুচ্ছ অর্ধেকের সাথে প্রতিটি সমর্থন সহ তুচ্ছ।

R = - \frac{q_{1} (L - 2 a)}{2} - \frac{q_{2} L}{2} - P

$R = -\dfrac{q_1(L-2a)}{2} - \dfrac{q_2L}{2} - P$

এর পরে বীমের লোডিং বর্ণনা করতে এবং বক্ররেখা পর্যন্ত আমাদের উপায় সংহত করার জন্য একবচন ফাংশন ব্যবহার করা যাক:

\begin{aligned} q & = R ⟨ x ⟩^{- 1} + q_{1} ⟨ x - a ⟩^{0} + q_{2} ⟨ x ⟩^{0} + P ⟨ x - ℓ ⟩^{- 1} \\ Q & = R ⟨ x ⟩^{0} + q_{1} ⟨ x - a ⟩^{1} + q_{2} ⟨ x ⟩^{1} + P ⟨ x - ℓ ⟩^{0} \\ M & = R ⟨ x ⟩^{1} + \frac{q_{1} ⟨ x - a ⟩^{2}}{2} + \frac{q_{2} ⟨ x ⟩^{2}}{2} + P ⟨ x - ℓ ⟩^{1} \\ E I θ & = \frac{R ⟨ x ⟩^{2}}{2} + \frac{q_{1} ⟨ x - a ⟩^{3}}{6} + \frac{q_{2} ⟨ x ⟩^{3}}{6} + \frac{P ⟨ x - ℓ ⟩^{2}}{2} + C_{1} \\ E I w & = \frac{R ⟨ x ⟩^{3}}{6} + \frac{q_{1} ⟨ x - a ⟩^{4}}{24} + \frac{q_{2} ⟨ x ⟩^{4}}{24} + \frac{P ⟨ x - ℓ ⟩^{3}}{6} + C_{1} x + C_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \newcommand{\a}[1]{\langle #1 \rangle} q &= R\a{x}^{-1} + q_1\a{x-a}^0 + q_2\a{x}^0 + P\a{x-\ell}^{-1} \\ Q &= R\a{x}^0 + q_1\a{x-a}^1 + q_2\a{x}^1 + P\a{x-\ell}^0 \\ M &= R\a{x}^1 + \dfrac{q_1\a{x-a}^2}{2} + \dfrac{q_2\a{x}^2}{2} + P\a{x-\ell}^1 \\ EI\theta &= \dfrac{R\a{x}^2}{2} + \dfrac{q_1\a{x-a}^3}{6} + \dfrac{q_2\a{x}^3}{6} + \dfrac{P\a{x-\ell}^2}{2} + C_1 \\ EIw &= \dfrac{R\a{x}^3}{6} + \dfrac{q_1\a{x-a}^4}{24} + \dfrac{q_2\a{x}^4}{24} + \dfrac{P\a{x-\ell}^3}{6} + C_1x + C_2 \\ \end{align}$

এখন আসুন ঐ স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে সীমানা শর্ত ব্যবহার করি।

\begin{aligned} θ (\frac{L}{2}) = E I θ = & \frac{R}{2} {(\frac{L}{2})}^{2} + \frac{q_{1}}{6} {(\frac{L}{2} - a)}^{3} + \frac{q_{2}}{6} {(\frac{L}{2})}^{3} + \frac{P}{2} {(\frac{L}{2} - ℓ)}^{2} + C_{1} = 0 \\ ∴ C_{1} = & q_{1} (\frac{(L - 2 a)}{4} {(\frac{L}{2})}^{2} - \frac{1}{6} {(\frac{L}{2} - a)}^{3}) \\ + q_{2} (\frac{L}{4} {(\frac{L}{2})}^{2} - \frac{1}{6} {(\frac{L}{2})}^{3}) \\ + P (\frac{1}{2} {(\frac{L}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{L}{2} - ℓ)}^{2}) \\ = & q_{1} (\frac{a^{3}}{6} - \frac{a^{2} L}{4} + \frac{L^{3}}{24}) \\ + \frac{q_{2} L^{3}}{24} \\ + \frac{P ℓ (L - ℓ)}{2} \\ w (0) = C_{2} = & 0 \end{aligned}

$\begin{align} \theta\left(\dfrac{L}{2}\right) = EI\theta ={}& \dfrac{R}{2}\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 + \dfrac{q_1}{6}\left(\dfrac{L}{2}-a\right)^3 + \dfrac{q_2}{6}\left(\dfrac{L}{2}\right)^3 + \dfrac{P}{2}\left(\dfrac{L}{2}-\ell\right)^2 + C_1 = 0 \\ \therefore C_1 ={}& q_1\left(\dfrac{(L-2a)}{4}\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{L}{2}-a\right)^3\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{L}{4}\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{L}{2}\right)^3\right) \\ &+ P\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{2}-\ell\right)^2\right) \\ ={}& q_1\left(\dfrac{a^3}{6} - \dfrac{a^2L}{4} + \dfrac{L^3}{24}\right) \\ &+ \dfrac{q_2L^3}{24} \\ &+ \dfrac{P\ell(L-\ell)}{2} \\ w(0) = C_2 ={}& 0 \end{align}$

তাই আমরা সমগ্র মৌমাছি পূর্ণ বিবরণ আছে। ব্যক্তিগতভাবে, আমি প্রতিটি বিম বিভাগের জন্য ফাংশন বিভক্ত পছন্দ। অতএব, আমাদের আছে:

জন্য : $x\in[0,a]$

\begin{aligned} প্রশ্নঃ = & আর ⟨ এক্স ⟩^{0} + + {কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{1} \\ = & \frac{{কুই}_{1} (2 একটি - এল)}{2} \\ + + {কুই}_{2} (এক্স - \frac{এল}{2}) \\ - পি \\ এম = & আর ⟨ এক্স ⟩^{1} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{2}}{2} \\ = & \frac{{কুই}_{1} (2 একটি - এল)}{2} এক্স \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{2} {এক্স}^{2} - \frac{এল}{2} এক্স) \\ - পি এক্স \\ ই আমি θ = & \frac{আর ⟨ এক্স ⟩^{2}}{2} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{3}}{6} + + {সি}_{1} \\ = & {কুই}_{1} (\frac{2 একটি - এল}{4} {এক্স}^{2} + + \frac{{একটি}^{3}}{6} - \frac{{একটি}^{2} এল}{4} + + \frac{{এল}^{3}}{24}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{6} {এক্স}^{3} - \frac{এল}{4} {এক্স}^{2} + + \frac{{এল}^{3}}{24}) \\ + + পি (- \frac{1}{2} {এক্স}^{2} + + \frac{ℓ (এল - ℓ)}{2}) \\ ই আমি W = & \frac{আর ⟨ এক্স ⟩^{3}}{6} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{4}}{24} + + {সি}_{1} এক্স \\ = & {কুই}_{1} (\frac{2 একটি - এল}{12} {এক্স}^{3} + + (\frac{{একটি}^{3}}{6} - \frac{{একটি}^{2} এল}{4} + + \frac{{এল}^{3}}{24}) এক্স) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{24} {এক্স}^{4} - \frac{এল}{12} {এক্স}^{3} + + \frac{{এল}^{3}}{24} এক্স) \\ + + পি (- \frac{1}{6} {এক্স}^{3} + + \frac{ℓ}{2} (এল - ℓ) এক্স) \end{aligned}

$\begin{align} Q ={}& R\a{x}^0 + q_2\a{x}^1 \\ ={}& \dfrac{q_1(2a - L)}{2} \\ &+ q_2\left(x - \dfrac{L}{2}\right) \\ &- P \\ M ={}& R\a{x}^1 + \dfrac{q_2\a{x}^2}{2} \\ ={}&\dfrac{q_1(2a - L)}{2}x \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{L}{2}x\right) \\ &- Px \\ EI\theta ={}& \dfrac{R\a{x}^2}{2} + \dfrac{q_2\a{x}^3}{6} + C_1 \\ ={}&q_1\left(\dfrac{2a - L}{4}x^2 + \dfrac{a^3}{6} - \dfrac{a^2L}{4} + \dfrac{L^3}{24}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{L}{4}x^2 + \dfrac{L^3}{24}\right) \\ &+ P\left(-\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{\ell(L-\ell)}{2}\right) \\ EIw ={}& \dfrac{R\a{x}^3}{6} + \dfrac{q_2\a{x}^4}{24} + C_1x \\ ={}&q_1\left(\dfrac{2a - L}{12}x^3 + \left(\dfrac{a^3}{6} - \dfrac{a^2L}{4} + \dfrac{L^3}{24}\right)x\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{24}x^4 - \dfrac{L}{12}x^3 + \dfrac{L^3}{24}x\right) \\ &+ P\left(-\dfrac{1}{6}x^3 + \dfrac{\ell}{2}(L-\ell)x\right) \end{align}$

জন্য : $x\in(a,\ell]$

\begin{aligned} প্রশ্নঃ = & আর ⟨ এক্স ⟩^{0} + + {কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{1} + + {কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{1} \\ = & {কুই}_{1} (এক্স - \frac{এল}{2}) \\ + + {কুই}_{2} (এক্স - \frac{এল}{2}) \\ - পি \\ এম = & আর ⟨ এক্স ⟩^{1} + + \frac{{কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{2}}{2} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{2}}{2} \\ = & {কুই}_{1} (\frac{1}{2} {এক্স}^{2} - \frac{এল}{2} এক্স + + \frac{{একটি}^{2}}{2}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{2} {এক্স}^{2} - \frac{এল}{2} এক্স) \\ - পি এক্স \\ ই আমি θ = & \frac{আর ⟨ এক্স ⟩^{2}}{2} + + \frac{{কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{3}}{6} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{3}}{6} + + {সি}_{1} \\ = & {কুই}_{1} (\frac{1}{6} {এক্স}^{3} - \frac{এল}{4} {এক্স}^{2} + + \frac{{একটি}^{2}}{2} এক্স - \frac{{একটি}^{2} এল}{4} + + \frac{{এল}^{3}}{24}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{6} {এক্স}^{3} - \frac{এল}{4} {এক্স}^{2} + + \frac{{এল}^{3}}{24}) \\ + + পি (- \frac{1}{2} {এক্স}^{2} + + \frac{ℓ (এল - ℓ)}{2}) \\ ই আমি W = & \frac{আর ⟨ এক্স ⟩^{3}}{6} + + \frac{{কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{4}}{24} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{4}}{24} + + {সি}_{1} এক্স \\ = & {কুই}_{1} (\frac{1}{24} {এক্স}^{4} - \frac{এল}{12} {এক্স}^{3} + + \frac{{একটি}^{2}}{4} {এক্স}^{2} + + (\frac{{এল}^{3}}{24} - \frac{{একটি}^{2} এল}{4}) এক্স + + \frac{{একটি}^{4}}{24}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{24} {এক্স}^{4} - \frac{এল}{12} {এক্স}^{3} + + \frac{{এল}^{3}}{24} এক্স) \\ + + পি (- \frac{1}{6} {এক্স}^{3} + + \frac{ℓ}{2} (এল - ℓ) এক্স) \end{aligned}

$\begin{align} Q ={}& R\a{x}^0 + q_1\a{x-a}^1 + q_2\a{x}^1 \\ ={}&q_1\left(x - \dfrac{L}{2}\right) \\ &+ q_2\left(x - \dfrac{L}{2}\right) \\ &- P \\ M ={}&R\a{x}^1 + \dfrac{q_1\a{x-a}^2}{2} + \dfrac{q_2\a{x}^2}{2} \\ ={}&q_1\left(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{L}{2}x + \dfrac{a^2}{2}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{L}{2}x\right) \\ &- Px \\ EI\theta ={}&\dfrac{R\a{x}^2}{2} + \dfrac{q_1\a{x-a}^3}{6} + \dfrac{q_2\a{x}^3}{6} + C_1 \\ ={}&q_1\left(\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{L}{4}x^2 + \dfrac{a^2}{2}x - \dfrac{a^2L}{4} + \dfrac{L^3}{24}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{L}{4}x^2 + \dfrac{L^3}{24}\right) \\ &+ P\left(-\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{\ell(L-\ell)}{2}\right) \\ EIw ={}&\dfrac{R\a{x}^3}{6} + \dfrac{q_1\a{x-a}^4}{24} + \dfrac{q_2\a{x}^4}{24} + C_1x \\ ={}&q_1\left(\dfrac{1}{24}x^4 - \dfrac{L}{12}x^3 + \dfrac{a^2}{4}x^2 + \left(\dfrac{L^3}{24} - \dfrac{a^2L}{4}\right)x + \dfrac{a^4}{24}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{24}x^4 - \dfrac{L}{12}x^3 + \dfrac{L^3}{24}x\right) \\ &+ P\left(-\dfrac{1}{6}x^3 + \dfrac{\ell}{2}(L-\ell)x\right) \end{align}$

এবং পরিশেষে, : $x\in(\ell,\frac{L}{2}]$

\begin{aligned} প্রশ্নঃ = & আর ⟨ এক্স ⟩^{0} + + {কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{1} + + {কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{1} + + পি ⟨ এক্স - ℓ ⟩^{0} \\ = & {কুই}_{1} (এক্স - \frac{এল}{2}) \\ + + {কুই}_{2} (এক্স - \frac{এল}{2}) \\ + + 0 \\ এম = & আর ⟨ এক্স ⟩^{1} + + \frac{{কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{2}}{2} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{2}}{2} + + পি ⟨ এক্স - ℓ ⟩^{1} \\ = & {কুই}_{1} (\frac{1}{2} {এক্স}^{2} - \frac{এল}{2} এক্স + + \frac{{একটি}^{2}}{2}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{2} {এক্স}^{2} - \frac{এল}{2} এক্স) \\ - পি ℓ \\ ই আমি θ = & \frac{আর ⟨ এক্স ⟩^{2}}{2} + + \frac{{কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{3}}{6} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{3}}{6} + + \frac{পি ⟨ এক্স - ℓ ⟩^{2}}{2} + + {সি}_{1} \\ = & {কুই}_{1} (\frac{1}{6} {এক্স}^{3} - \frac{এল}{4} {এক্স}^{2} + + \frac{{একটি}^{2}}{2} এক্স - \frac{{একটি}^{2} এল}{4} + + \frac{{এল}^{3}}{24}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{6} {এক্স}^{3} - \frac{এল}{4} {এক্স}^{2} + + \frac{{কুই}_{2} {এল}^{3}}{24}) \\ + + পি (- ℓ এক্স + + \frac{এল ℓ}{2}) \\ ই আমি W = & \frac{আর ⟨ এক্স ⟩^{3}}{6} + + \frac{{কুই}_{1} ⟨ এক্স - একটি ⟩^{4}}{24} + + \frac{{কুই}_{2} ⟨ এক্স ⟩^{4}}{24} + + \frac{পি ⟨ এক্স - ℓ ⟩^{3}}{6} + + {সি}_{1} এক্স \\ = & {কুই}_{1} (\frac{1}{24} {এক্স}^{4} - \frac{এল}{12} {এক্স}^{3} + + \frac{{একটি}^{2}}{4} {এক্স}^{2} + + (\frac{{এল}^{3}}{24} - \frac{{একটি}^{2} এল}{4}) এক্স + + \frac{{একটি}^{4}}{24}) \\ + + {কুই}_{2} (\frac{1}{24} {এক্স}^{4} - \frac{এল}{12} {এক্স}^{3} + + \frac{{এল}^{3}}{24} এক্স) \\ + + পি (- \frac{ℓ}{2} {এক্স}^{2} + + \frac{এল ℓ}{2} এক্স - \frac{ℓ^{3}}{6}) \end{aligned}

$\begin{align} Q ={}& R\a{x}^0 + q_1\a{x-a}^1 + q_2\a{x}^1 + P\a{x-\ell}^0 \\ ={}&q_1\left(x - \dfrac{L}{2}\right) \\ &+ q_2\left(x - \dfrac{L}{2}\right) \\ &+ 0 \\ M ={}&R\a{x}^1 + \dfrac{q_1\a{x-a}^2}{2} + \dfrac{q_2\a{x}^2}{2} + P\a{x-\ell}^1 \\ ={}&q_1\left(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{L}{2}x + \dfrac{a^2}{2}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{L}{2}x\right) \\ &-P\ell \\ EI\theta ={}&\dfrac{R\a{x}^2}{2} + \dfrac{q_1\a{x-a}^3}{6} + \dfrac{q_2\a{x}^3}{6} + \dfrac{P\a{x-\ell}^2}{2} + C_1 \\ ={}&q_1\left(\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{L}{4}x^2 + \dfrac{a^2}{2}x - \dfrac{a^2L}{4} + \dfrac{L^3}{24}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{L}{4}x^2 + \dfrac{q_2L^3}{24}\right) \\ &+ P\left(-\ell x + \dfrac{L\ell}{2}\right) \\ EIw ={}&\dfrac{R\a{x}^3}{6} + \dfrac{q_1\a{x-a}^4}{24} + \dfrac{q_2\a{x}^4}{24} + \dfrac{P\a{x-\ell}^3}{6} + C_1x \\ ={}&q_1\left(\dfrac{1}{24}x^4 - \dfrac{L}{12}x^3 + \dfrac{a^2}{4}x^2 + \left(\dfrac{L^3}{24} - \dfrac{a^2L}{4}\right)x + \dfrac{a^4}{24}\right) \\ &+ q_2\left(\dfrac{1}{24}x^4 - \dfrac{L}{12}x^3 + \dfrac{L^3}{24}x\right) \\ &+ P\left(-\dfrac{\ell}{2}x^2 + \dfrac{L\ell}{2}x - \dfrac{\ell^3}{6}\right) \end{align}$

— ওয়াসাবি
সূত্র

উত্তর মধ্যে এত কাজ বিনিয়োগ করার জন্য Grat।

— পিটার

হাই ওয়াসাবি - এখানে আপনার প্রচেষ্টার জন্য অনেক ধন্যবাদ - এটা অনেক প্রশংসা করে। আমি বীম জন্য সমীকরণ পেতে এবং একবচন ফাংশন ব্যবহার করে সংহত করার জন্য সঠিক একই পদ্ধতি ব্যবহার। একরকমভাবে আমি একটি ভিন্ন উত্তর এসেছিলেন! আমি আমার বীজগণিত চেক করব ... আবার ধন্যবাদ!

— richyo1000

ধন্যবাদ ওয়াসাবি - আমি তাদের পরীক্ষা করেছি এবং তারা সব কাজ করে। আপনি অনেক কাজ করেছেন (ক্লান্তিকর!) এই জন্য ধন্যবাদ তাই অনেক ধন্যবাদ :)

— richyo1000

স্মার্ট! আমি অর্ধেক মডেল ব্যবহার করে ভাবিনি- এর মানে কি আমি আপনাকে যে মুহূর্তে ঢাল এবং সংকোচন সমীকরণগুলি বলেছি তা থেকে আমাকে কোন ফলাফল দ্বিগুণ করতে হবে?

— richyo1000

অবশ্যই, যে জ্ঞান করে তোলে! এটি কয়েক সপ্তাহ ধরে হয়েছে - আপনার সাহায্য এবং পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ ওয়াসবী!

— richyo1000