গতি আইন যখন রাষ্ট্র ভেক্টরের কিছু ফাংশনের উপর নির্ভর করে আমি কীভাবে একটি অনুকূল নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সমাধান করব?

Question

স্টেট ভেক্টর এক্স (টি) এবং কন্ট্রোল ভেক্টর ওয়াই (টি) এর সাথে একটি আদর্শ সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$$\max_{x(t), y(t)} \int_0^{t_1} f(t,x(t), y(t)) dt$$

$x'(t)= g(t, x(t), y(t))$ এবং x এর সীমানা শর্ত সাপেক্ষে $x$।

আমি এমন একটি সমস্যার সমাধান করতে চাই যা দেখতে দেখতে খুব একই রকম, তবে নিয়ন্ত্রণের গতি আইনটি হ'ল:

$$x'(t)= g(t, x(t), y(t), z(x(t)) )$$

এখানে $z(.)$ বেছে নেওয়া দরকার। তবে এর যুক্তি রাষ্ট্র।

সমাধানের সন্ধান করা কোথায় শুরু করব তা আমি জানি না। আমি কীভাবে এই সমস্যার কাছে যেতে পারি?

Comments

আমি এটি লেখার সঠিক উপায়টি অনুমান করি $$x'(t) = g(t,x(t), y(t), z(x(t))$$ I আমি মূল প্রশ্নটি সংশোধন করব।

— ড্যানিয়েল উইলস

ইঞ্জিনিয়ারিং.এসই তে স্বাগতম, প্রথম প্রথম প্রশ্নের জন্য +1।

— ক্রিস মোলার 0

আপনি কি একটি বদ্ধ-ফর্ম বা আনুষ্ঠানিক সমাধান খুঁজছেন, বা আপনি ব্যবহারিক অপ্টিমাইজেশন সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন? পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে আপনাকে math.stackexchange.com এর মতো সাইটে এটি জিজ্ঞাসা করা উচিত । পরবর্তী ক্ষেত্রে ব্যবহারিক অপ্টিমাইজেশনে নিবেদিত একাধিক শৃঙ্খলা রয়েছে। উভয় ক্ষেত্রেই সত্যিকারের উত্তর পেতে আপনাকে আরও বিশদ সরবরাহ করতে হবে।

— ফুটওয়েট

আমি ব্যবহারিক অপ্টিমাইজেশন খুঁজছি। আরও বিশদ: কন্ট্রোল ভেরিয়েবলের একটি উপসেট উপর নির্ভর করে (যা আমি বলছি ), এবং কন্ট্রোল ভেরিয়েবলের একটি উপসেট (যা আমি ) এর উপর নির্ভর করে । অতিরিক্তভাবে আমার ফাংশনটি নির্বাচন করতে হবে । সর্বাধিকীকরণ হ'ল সাথে সমাধান করার একটি স্বজ্ঞাত উপায়: - অনুমান - (এখন মানক) অনুকূল নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সমাধান করুন ( প্রদত্ত ) - , কিনা তা পরীক্ষা করুন, অন্য একটি অনুমান করুন তবে আপনি দেখুন যে অ্যালগরিদম রূপান্তরিত হওয়ার কোনও কারণ নেই। মানুষ কীভাবে এটি সমাধান করে?y x z x ( t ) h ( z ( x ( t ) ) , y ( t ) ) = 0 x ( t ) x ( t ) h ( z ( x ( t ) ) , y ( t ) ) = 0 এক্স ( টি $t$$y$$x$$z$$x(t)$ $$h(z(x(t)), y(t)) =0$$ $x(t)$$x(t)$$h(z(x(t)), y(t)) =0$$x(t)$

— ড্যানিয়েল উইলস

Answer 1

কেন বাহ্যিক থাকার প্রয়োজনীয়তা ?$z$$g$

$$g'(t,x(t),y(t))=g(t,x(t),y(t),z(x(t)))$$

এখন হিসাবে হিসাবে ব্যবহার করুন$g'$$g$

$g$ যে কোনও স্বেচ্ছাসেবী ফাংশন হতে পারে, সুতরাং যে কোনও ফাংশন কেবলমাত্র অন্তর্ভুক্ত করা যায় ।$z$$g$

আপনার সীমাবদ্ধতা প্রসঙ্গে মন্তব্য বিভাগে উল্লেখ করেছে। নিয়ন্ত্রণের ইনপুটটিতে যে কোনও বিধিনিষেধ ব্যয় কার্যের মাধ্যমে প্রয়োগ করা যেতে পারে:$h$

$$f_{new}(t,x(t),y(t))=f_{old}(t,x(t),y(t))-C\,h(x(t),y(t))^2$$

কোথায় পর্যাপ্ত গ্যারান্টি মান বড় শূন্য পাসে যথেষ্ট কিন্তু তাই বড় যে সংখ্যাসূচক ত্রুটি মূল আয়ত্ত করা হবে ।জ জ $C$$h$$h$$f$

Answer 2

আপনি সমস্যার সমাধানকে পয়েন্টগুলিতে ব্যবহার করতে পারেন , যেমন আপনাকে কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্যারামিটার নির্ধারণ করতে হবে (ধরে নেওয়া এবং কিছুটা ধারাবাহিক কাজ)। ডেরাইভেটিভ এবং সংহতকরণের জন্য আপনি অয়লার পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন, উচ্চতর আদেশের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে তবে সমস্যাটি সমাধান করা আরও শক্ত করে তোলে।চ $N$$f$$g$

সংস্কারটি দেয়:

$$h = \frac{t_1}{N-1}, \quad \vec{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N], \quad \vec{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N],$$

$$\begin{align} \max_{\vec{x}, \vec{y}} & & \sum_{n=1}^{N-1} f(h (n-1), x_n, y_n) h\\ s.t. & & x_{n+1} = x_n + g(h (n-1), x_n, y_n) h, & & n = 1, 2, \dots, N-1 \end{align}$$

অপ্টিমাইজেশান সমস্যার সমতা সীমাবদ্ধতায় আপনাকে সীমানা সীমাবদ্ধতাও যুক্ত করতে হবে। আপনি এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য একাধিক পৃথক পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ আপনার যদি মতলব অ্যাক্সেস থাকে তবে আপনি ফিমনকোন ব্যবহার করতে পারেন , যা ব্যয়ের ক্রিয়াকে ন্যূনতম করে যা যোগফলের সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন যোগ করে স্থির করা যায়। প্রায়শই আপনাকে প্রাথমিক অনুমানও সরবরাহ করতে হয়, যা সমাধানেও প্রভাব ফেলতে পারে, কারণ বিভিন্ন অনুমানগুলি বিভিন্ন স্থানীয় ম্যাক্সিমায় রূপান্তর করতে পারে। বৃদ্ধি করে আপনার আরও এবং আরও সঠিক সমাধান পাওয়া উচিত তবে এটি সমাধান হতে সম্ভবত আরও বেশি সময় লাগবে। আপনি যদি কম পয়েন্টযুক্ত সমস্যার সমাধানটি ব্যবহার করেন এবং এগুলিকে বিভাজক করেন এবং এটি বৃহত সংখ্যক পয়েন্টের সমস্যার প্রাথমিক অনুমান হিসাবে ব্যবহার করেন তবে এটি দ্রুত রূপান্তরিত হতে পারে।$N$