(সরলীকৃত) লোডিং ব্রিজের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

10

সরলীকৃত লোডিং ব্রিজের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ গণনা করতে আমার সমস্যা হচ্ছে।

সিস্টেমটি নীচের ছবিতে দেখানো হিসাবে নির্মিত হয়েছে (কেবল একটি স্কেচ):

আমি যদি নিউটনের পন্থাটি ব্যবহার করি তবে ঘর্ষণ, বায়ু প্রতিরোধ এবং দড়ির দৈর্ঘ্যের পরিবর্তনগুলি উপেক্ষা করে আমি নীচের সমীকরণগুলি পেয়ে যাচ্ছি:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

আমি যখন গ্রিপার থেকে (ওজন সহ বৃত্ত ) আমি নীচের সমীকরণগুলি পাই। $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

আমি জানি ওজন এবং এবং দৈর্ঘ্য কিন্তু মান ডান এখন গুরুত্বপূর্ণ নয়। $m_k$ $m_G$ $l$

লক্ষ্যটি হল দুটি শেষে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। একটি সমীকরণ ড্রাইভিং ফোর্স এবং ট্রলি এর পথের ( (ডেরিভেশন সহ)) মধ্যে সম্পর্ক প্রদর্শন করবে অন্য সমীকরণটি ড্রাইভিং ফোর্স এবং দড়ির কোণ angle এর মধ্যে সম্পর্ক প্রদর্শন করবে । $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

এর পরে আমি ট্রান্সফার ফাংশন করতে চাই (ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মেশন ইত্যাদি) তবে সমস্যাটি নয়।

সমস্যাটি হ'ল আমি এই সমীকরণগুলি খুঁজে পাচ্ছি বলে মনে হয় না। আমার সেরা দৃষ্টিভঙ্গি এখন পর্যন্ত এটির মতো দেখাচ্ছে:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

সুতরাং এর অর্থ যদি

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

আমি বলতে পারি:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

এবং যদি আমি এই জাতীয় প্রাপ্ত : $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

আমি এখানে আসলে আটকে যাচ্ছি কারণ আমি সমীকরণগুলি থেকে কোনও উপায় খুঁজে পাই না । সংযোজন তত্ত্বগুলি আমাকে মোটেই সহায়তা করছে না (বা আমি সেগুলি সঠিকভাবে ব্যবহার করছি)। $\varphi$

এই মুহুর্তে আমার কীভাবে চালিয়ে যাওয়া উচিত সে সম্পর্কে কারও ধারণা আছে? আমি আশা করি আমার সম্পূর্ণ সমাধানের দরকার নেই। আমি নিজে নিজে এটি করতে আগ্রহী এবং সঠিক দিকের দিকে এগিয়ে যাওয়ার প্রত্যাশা করছি।

— tlp
সূত্র

5

আমার অনুমান যে কৌণিক গতিবিধির জন্য আপনার সম্ভবত অন্য একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রয়োজন, যা জড়তা জড়িত করবে যেমন:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

যা ফলন:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

তারপরে আপনি সম্ভবত ছোট কোণগুলি ব্যবহার করতে পারেন:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

পরীক্ষা করে দেখুন উল্টানো দোলক উদাহরণ।

— am304
সূত্র

বিশেষত ইনভার্টেড

— দুলটি

6

গতিবিদ্যা এবং গতিবিদ্যা

এই প্রকৃতির সমস্যা সমাধানের পদক্ষেপগুলি।

সিস্টেমের গতিবিজ্ঞান বিশ্লেষণ করুন।

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

নোট: একটি হল ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স এবং । $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

সময় ডেরাইভেটিভস গ্রহণ:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

নিউটনের সমীকরণটি ব্যবহার করুন:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

বিকল্প : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Z অক্ষের জন্য:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

ঘূর্ণনের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় আইন ব্যবহার করুন:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

ত্রিকোণমিতি পরিচয় ব্যবহার:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

সম্পন্ন! এখন আপনি বিশ্রাম নিতে পারেন ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
সূত্র