অনুকূল নিয়ন্ত্রণে একাধিক সমাধান

Question

ফর্মটির একটি নিয়ন্ত্রণ সমস্যা বিবেচনা করুন:

$\frac{d \vec{x}}{dt} = F(\vec{x}, \vec{u})$

যেখানে the নিয়ন্ত্রণ ইনপুট এবং হ'ল রাষ্ট্রীয় পরিবর্তনশীল এবং আমরা যা করতে চাই তা হ'ল কিছু পরিমাণ প্রদত্ত পরিমাণে সিস্টেমটি থেকে সময় ।→ x → x 0 → x 1$\vec{u}$$\vec{x}$$\vec{x}_0$$\vec{x}_1$$T$

আমার দুটি প্রশ্ন আছে:

1. এই জাতীয় সমস্যার জন্য for এর কতগুলি সমাধান রয়েছে সে সম্পর্কে কী জানা যায় ?$\vec{u}$
2. ইঞ্জিনিয়াররা কীভাবে একাধিক সমাধানের অস্তিত্বকে সম্বোধন / ব্যাখ্যা করে?

Comments

ডায়নামিক্স এবং ডাব্লু প্যারামিটারগুলির সাথে আপনার কি কোনও বিশেষ ব্যয়ের কাজ যুক্ত আছে? এটি কতগুলি সমাধানের অস্তিত্ব সম্পর্কে অনেক কিছু উত্তর দেবে। একাধিক সমাধান উপস্থিত থাকলেও অনেকগুলি সমাধান পছন্দসই নাও হতে পারে। কোন ক্ষেত্রে, আপনি আপনার ব্যয় কার্যক্রমে একটি নিয়মিত পদ যুক্ত করতে চান যা পছন্দসই গুণাবলীর সাথে সমাধানের দিকে পক্ষপাতিত্ব করে।

— পল

Answer 1

আমি ধরে নিয়েছি যে আপনি , , এবং কিছু ফাংশনও হ্রাস করতে চান । এই ক্ষেত্রে এটি নির্ভর করে যে আপনি এই সমস্যার সমাধান কীভাবে সংজ্ঞায়িত করেন। যদি আপনি কোনও সমাধানটিকে সেই ফাংশনটির মিনিমাইজেশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন তবে একাধিক স্থানীয় মিনিমা থাকলে আপনার একাধিক সমাধান হতে পারে তবে গ্লোবাল মিনিমা সেরা সমাধান হবে। যদি বিশ্বব্যাপী মিনিমা হিসাবে একই ক্রিয়ামূলক মান সহ একাধিক সমাধান থাকে, তবে এর অর্থ থেকে থেকে একাধিক "ট্র্যাজেক্টরিজ" রয়েছে যা সমানভাবে ভাল। আপনাকে সেগুলির মধ্যে একটি বেছে নিতে হবে বা আপনার ব্যয় কার্যকারিতাটি সামঞ্জস্য করতে হবে।T → x ( t ) w ( t ) → x 0 → x$t$$T$$\vec{x}(t)$$w(t)$$\vec{x}_0$$\vec{x}_1$

Answer 2

অনুকূল নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব

আমি হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি-বেলম্যান সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলব । তবে, আরও তথ্যের জন্য, আপনি এই বইটি পড়তে পারেন । অনুকূল নিয়ন্ত্রণ সমস্যার জন্য ডায়নামিক প্রোগ্রামিং এবং ভেরিয়েশন এর ক্যালকুলাস সম্পর্কে তথ্য রয়েছে ।

ধরুন আপনার রাষ্ট্রীয় সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত গতিশীল একটি সিস্টেম রয়েছে:

$\dot{\vec{x}} = f(\vec{x}, \vec{u})$

সেটা রাষ্ট্র ভেরিয়েবল এবং নিয়ন্ত্রণ ইনপুট।→ $\vec{x}$$\vec{u}$

সাধারণত কোনও সিস্টেম নিয়ন্ত্রণ করতে আমরা পারফরম্যান্সের পরিমাপটি হ্রাস করতে চাই:

$J = h(\vec{x}(T), \vec{u}(T)) + \int_{0}^{T} g(\vec{x}(t), \vec{u}(t), t) dt$

h ( ) এবং g ( ) যথাক্রমে টার্মিনাল ব্যয় এবং কার্যকরী হিসাবে পরিচিত।$\cdot$$\cdot$

আপনার প্রথম প্রশ্নের জন্য:

এই জাতীয় সমস্যার জন্য for এর কতগুলি সমাধান রয়েছে সে সম্পর্কে কী জানা যায় ?$\vec{u}$

সম্ভাব্য নিয়ন্ত্রণের ইনপুটগুলির সংখ্যা, the, সমস্যার জন্য প্রাসঙ্গিক নয়। আমরা যে প্রশ্নের উত্তরটির সন্ধান করছি তা হ'ল: এখানে একটি অনুকূল নিয়ন্ত্রণ আইন রয়েছে, , যেমন পারফরম্যান্সের পরিমাপটি সন্তুষ্ট?$\vec{u}$$\vec{u}^{*}$

আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নের জন্য:

ইঞ্জিনিয়াররা কীভাবে একাধিক সমাধানের অস্তিত্বকে সম্বোধন / ব্যাখ্যা করে?

এই সম্ভাব্য সমাধানগুলির সাথে মোকাবিলা করার জন্য, আমরা ন্যূনতম সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করি।

হ্যামিলটোনীয় হিসাবে সংজ্ঞা দেওয়া :

$\mathcal{H} = g(\vec{x}(t), \vec{u}(t), t) + \frac{\partial J}{\partial x}\big( f(\vec{x}, \vec{u}) \big)$

প্রয়োজনীয় এবং, কোনও সীমানা শর্তের জন্য, এটি দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট:

∂ 2$\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial \vec{u}} = 0$ এবং$\frac{\partial^{2}\mathcal{H}}{\partial \vec{u}^{2}} > 0$

এই আংশিক ডেরিভেটিভ সমাধান হ্যামিল্টনিয়ান আপনি অনুকূল নিয়ন্ত্রণ আইন দেবে ।$\vec{u}^{*}$

আমি আশা করি এটি কার্যকর হবে। দুঃখিত যদি এটি সামান্য বিমূর্ত হয়।

শুভেচ্ছান্তে.