জড়তার পোলার মুহুর্তের মধ্যে পার্থক্য কী,

Question

এই প্রশ্নটি এতটাই মৌলিক যে আমি জিজ্ঞাসা করতে প্রায় বিব্রত বোধ করি কিন্তু অন্য দিন এটি কার্যালয়ে এসেছিল এবং অফিসের প্রায় কেউই আমাকে ভাল উত্তর দিতে পারেনি। আমি কোনও সদস্যের শিয়ার স্ট্রেস গণনা করছিলাম was the সমীকরণটি ব্যবহার করে এবং লক্ষ্য যে একটি বৃত্তাকার ক্রস বিভাগ সহ একটি ।$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

এবং উভয়ই প্রতিরোধের কোনও অবজেক্টের ক্ষমতা বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। কে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে = অক্ষের রেডিয়াল দূরত্ব যা সম্পর্কে গণনা করা হচ্ছে। তবে কোনও বিশ্লেষণাত্মক সমীকরণ নেই এবং এটি মূলত আনুমানিক সমীকরণের সাথে গণনা করা হয় যার কোনও রেফারেন্স আমি সত্যিই বিশদভাবে দেখিনি।$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

সুতরাং আমার প্রশ্ন হ'ল পোলার মুহুর্তের জড়তা, , এবং ধ্রুবক, কী? কেবল গাণিতিকভাবেই নয়, ব্যবহারিকভাবেও। কোনটি শারীরিক বা জ্যামিতিক সম্পত্তির প্রতিনিধিত্ব করে? এত গণনা করা কেন শক্ত?$I_P$$J_T$$J_T$

Answer 1

টোরশন ধ্রুবক $J_T$ সমীকরণের মাধ্যমে প্রয়োগ টর্ককে মোড়ের কোণটি সম্পর্কিত:

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ কোথায় $T$ প্রয়োগ টর্ক, $L$ সদস্যের দৈর্ঘ্য, $G$ শিয়ার মধ্যে স্থিতিস্থাপকতা মডুলাস, এবং $J_T$ torsional ধ্রুবক হয়।

অন্যদিকে জড়তার মেরু মুহূর্তটি হ'ল আক্রমণকারী ক্রস বিভাগের সাথে টর্সনের ক্রস বিভাগের প্রতিরোধের একটি পরিমাপ এবং কোনও উল্লেখযোগ্য ওয়ার্পিং নয় ।

টোরসনের অধীনে একটি বিজ্ঞপ্তি রডের ক্ষেত্রে বিশেষ কারণ বৃত্তাকার প্রতিসাম্য, যার অর্থ এটি মোড়ানো হয় না এবং এর ক্রস বিভাগটি টোরশনের অধীনে পরিবর্তিত হয় না। অতএব$J_T = I_P$।

যখন কোনও সদস্যের বৃত্তাকার প্রতিসাম্য না থাকে তখন আমরা আশা করতে পারি যে এটি টর্জনের আওতায় পড়ে এবং তাই $J_T \neq I_P$।

যা কীভাবে গণনা করতে হবে তার সমস্যা ছেড়ে দেয় $J_T$। দুর্ভাগ্যক্রমে এটি সরল নয়, এ কারণেই সাধারণ আকারগুলির মানগুলি (সাধারণত আনুমানিক) সারণীযুক্ত হয়।

টর্জনিয়াল ধ্রুবক গণনা করার একটি উপায় হ'ল প্র্যান্ডল স্ট্রেস ফাংশন (অন্যটি হ'ল ওয়ার্পিং ফাংশন ব্যবহার করে )।

খুব বেশি বিশদে না গিয়ে কাউকে অবশ্যই একটি প্র্যান্ডল স্ট্রেস ফাংশন বেছে নিতে হবে $\Phi$যা সদস্যের মধ্যে স্ট্রেস বিতরণকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং সীমানা শর্তগুলি পূরণ করে (সাধারণভাবে সহজ নয়!)। এটি অবশ্যই পয়সনের সামঞ্জস্যতার সমীকরণকে সন্তুষ্ট করতে হবে:

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ কোথায় $\theta$ প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যের মোচড়ের কোণ।

যদি আমরা স্ট্রেস ফাংশনটি বেছে নিয়েছি that $\Phi = 0$ সীমানায় (ট্র্যাকশন মুক্ত সীমানা শর্ত) আমরা টর্জনিয়াল ধ্রুবকটি এর দ্বারা খুঁজে পেতে পারি:

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

উদাহরণ: বৃত্তাকার ক্রস বিভাগের রড

একটি বিজ্ঞপ্তি ক্রস বিভাগের প্রতিসাম্যের কারণে আমরা নিতে পারি:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ যেখানে আর বাহ্যিক ব্যাসার্ধ। আমরা তখন পাই: $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

উদাহরণ: উপবৃত্তাকার ক্রস বিভাগের রড

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ এবং $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ যা অবশ্যই উপবৃত্তের জড়তার মেরু মুহুর্তের সমান নয়: $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

যেহেতু সাধারণভাবে $J_T < I_P$, আপনি যদি টর্জনিয়াল ধ্রুবকের পরিবর্তে জড়তার মেরু মুহুর্তটি ব্যবহার করেন তবে আপনি মোচড়ের ছোট কোণগুলি গণনা করবেন।

Answer 2

এটি প্রায় একটি কাকতালীয় ঘটনা, এবং এটি কেবল কঠিন বা ফাঁকা বিজ্ঞপ্তি ক্রস বিভাগগুলির জন্য সত্য true অবশ্যই ব্যাবর্ত বহন ক্রোম প্রায়ই হয় বৃত্তাকার, কারণ যে প্রশ্ন স্বাধীন জন্য!

বিজ্ঞপ্তি আকারের প্রতিসাম্যতার কারণে একটি বৃত্তাকার শ্যাফটের টর্জন শারীরিকভাবে সহজ। প্রতিসাম্য দ্বারা, যে কোনও পয়েন্টে স্ট্রেস এবং স্ট্রেনগুলি কেবল শ্যাফটের মধ্যবর্তী রেখা থেকে রেডিয়াল দূরত্বের একটি ফাংশন হতে পারে। পাইথাগোরসের উপপাদ্য দ্বারা, আপনি একটি স্বতন্ত্র জোড় অক্ষ নিতে পারেন এবং ব্যাসার্ধ হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন$r^2 = x^2 + y^2$।

এই সত্যটি ব্যবহার করে, আপনি ক্রস বিভাগের উপরের অবিচ্ছেদ্যকে দুটিতে দুটি ইন্টিগ্রালের যোগে রূপান্তর করতে পারেন $x$ এবং $y$ দিকনির্দেশ, এবং আবার প্রতিসাম্য দ্বারা সেই দুটি অখণ্ড অবশ্যই একে অপরের সমান হতে হবে।

ইন্টিগ্রালগুলির ফর্মটি একটি বিজ্ঞপ্তি রশ্মির ক্ষেত্রের দ্বিতীয় মুহুর্তের মতো হুবহু গাণিতিক রূপ হিসাবে দেখা দেয়, যা আপনাকে জিজ্ঞাসা করা ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

এটি অ-বিজ্ঞপ্তিযুক্ত বিভাগগুলির জন্য কাজ করে না, কারণ স্ট্রেস বিতরণ রেডিয়ালি প্রতিসম নয় not উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি শক্ত বর্গক্ষেত্রের টরশন ধ্রুবক এবং মেরু মুহুর্তের তুলনা করেন তবে আপনি দুটি সূত্রের "ধ্রুবকগুলি" আলাদা দেখতে পাবেন are ক্রস বিভাগটি যত বেশি একটি বৃত্ত থেকে বিচ্যুত হবে ততই তফাতটি হবে।

একটি জটিল আকারের বিভাগের জন্য টর্জন ধ্রুবক (উদাহরণস্বরূপ আই-মরীচি) গণনা করা শক্ত কারণ বিভাগটির উপর স্ট্রেস বিতরণ জটিল, এবং এর জন্য কোনও সাধারণ "সূত্র" নেই যে আপনি গাণিতিকভাবে একীভূত হন। ইঞ্জিনিয়ারিং হ্যান্ডবুকগুলিতে টর্সনের অনেক সূত্রগুলি "সঠিক" গাণিতিক সমাধানগুলির চেয়ে সহজতর অনুমানের উপর ভিত্তি করে।

তবে বাস্তব জীবনে "ত্রুটিগুলি" খুব বেশি গুরুত্বপূর্ণ নয়, কারণ যখন একটি টর্জনিয়াল লোড একটি নন-বৃত্তাকার কাঠামোর জন্য প্রয়োগ করা হয়, তখন ক্রস বিভাগগুলি "ওয়ার্প", অর্থাৎ তারা আর সমতল থাকে না । বাস্তব জীবনে, ওয়ারপিংয়ের পরিমাণ প্রায়শই অজানা, কারণ খাদের শেষ প্রান্তে সংযমগুলি এটি প্রভাবিত করে। আপনার যদি সত্যই কোনও অ-বৃত্তাকার উপাদানটির টর্জনিয়াল কড়াটির সঠিক অনুমানের প্রয়োজন হয় তবে আপনাকে নিজেই উপাদানটির একটি সম্পূর্ণ 3-ডি মডেল তৈরি করতে হবে এবং কীভাবে এটি কাঠামোর বাকী অংশে স্থির করা হয়েছে। আপনি যদি সেই স্তরের বিশদটি দিয়ে কোনও মডেল তৈরি করেন তবে কেবল একটি সংখ্যার উত্তর হ্রাস করার পক্ষে খুব বেশি কিছু নেই কারণ আপনি এটিকে "টর্জনিয়াল স্টেফনেস" বলতে পারেন।

Answer 3

জড়তার মেরু মুহুর্ত, আইপি, নিক্ষিপ্ত হওয়ার শক্তের প্রতিরোধ is যাইহোক, জড়তার ঘূর্ণন ভর ভর মুহূর্ত, জে, একটি ঘূর্ণমান শক্তির জড় মুহূর্ত। এই ওয়েব দেখুন ।

আমি যেমন বুঝতে পারি, জে জড়তার সাধারণ মুহুর্তের মতো, তবে ঘোরানো বস্তুর জন্য for

Comments

বিভ্রান্ত করবেন না $I_{zz} = \int r^2 {\rm d}A$ সঙ্গে $I_{zz} = \int r^2 {\rm d}m$। তিনি জড়তার মেরু মুহূর্ত নয়, অঞ্চলের মেরু মুহুর্তের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছেন ।

— j72