ধরা যাক যে আপনার কাছে একটি দুটি মাত্রিক সমতল রয়েছে যার উপরে 2 পয়েন্ট রয়েছে (একে এবং বি বলা হয়) প্রতিটি পয়েন্টের জন্য একটি x পূর্ণসংখ্যা এবং আইয়ের পূর্ণসংখ্যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।
আপনি কীভাবে নির্ধারণ করতে পারবেন যে অন্য বিন্দু সি এবং বি দ্বারা সংজ্ঞায়িত রেখাংশে রয়েছে?
আমি অজগরটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই ব্যবহার করি তবে যে কোনও ভাষায় উদাহরণগুলি সহায়ক হবে।
উত্তর:
পরীক্ষা করে দেখুন ক্রস পণ্য(বা) এবং (সিএ) 0 হয় কিনা তা দারিয়াস বেকন বলছে যে, বিন্দু a, b এবং c প্রান্তিক হয়েছে কিনা তা আপনাকে পরীক্ষা করে দেখুন।
তবে, আপনি যেমনটি জানতে চান যে সিটি a এবং b এর মধ্যে রয়েছে কিনা, আপনাকে এটিও পরীক্ষা করে দেখতে হবে যে (বা) এবং (সিএ) এর ডট পণ্যটি ইতিবাচক এবং a এবং b এর মধ্যকার দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের চেয়ে কম ।
অপ-অপ্টিমাইজড সিউডোকোডে:
def isBetween(a, b, c):
crossproduct = (c.y - a.y) * (b.x - a.x) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
# compare versus epsilon for floating point values, or != 0 if using integers
if abs(crossproduct) > epsilon:
return False
dotproduct = (c.x - a.x) * (b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0:
return False
squaredlengthba = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct > squaredlengthba:
return False
return True
-epsilon < crossproduct < epsilon and min(a.x, b.x) <= c.x <= max(a.x, b.x) and min(a.y, b.y) <= c.y <= max(a.y, b.y)যথেষ্ট, তাই না?
আমি এটি কীভাবে করব তা এখানে:
def distance(a,b):
return sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2)
def is_between(a,c,b):
return distance(a,c) + distance(c,b) == distance(a,b)
-epsilon < (distance(a, c) + distance(c, b) - distance(a, b)) < epsilon
==বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ভাসমানদের জন্য একটি ভুল জিনিস । math.isclose()পরিবর্তে ব্যবহার করা যেতে পারে। কোন ছিল math.isclose()2008 সালে এবং সেইজন্য আমি স্পষ্ট বৈষম্য প্রদান করেছেন epsilon( abs_tolমধ্যে math.isclose()কথা বলা)।
ক্রস পণ্যটি কিনা b-aএবং c-aতা পরীক্ষা করে দেখুন 0: এর অর্থ সমস্ত পয়েন্ট কল্যানারি। যদি তা হয় তবে cএর স্থানাঙ্কগুলি a's এবং b' এর মধ্যে রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করুন । এক্স বা y স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করুন, যতক্ষণ না সেই অক্ষরে পৃথক aএবং b(বা তারা উভয় ক্ষেত্রে সমান)।
def is_on(a, b, c):
"Return true iff point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a, b, c)
and (within(a.x, c.x, b.x) if a.x != b.x else
within(a.y, c.y, b.y)))
def collinear(a, b, c):
"Return true iff a, b, and c all lie on the same line."
return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
def within(p, q, r):
"Return true iff q is between p and r (inclusive)."
return p <= q <= r or r <= q <= p
এই উত্তরটি তিনটি আপডেটের বিশৃঙ্খলা করত। তাদের কাছ থেকে উপযুক্ত তথ্য: ব্রায়ান হায়েজ এর অধ্যায় মধ্যে সুন্দর কোড - দরকারী পটভূমি একটি সমরৈখিকতা পরীক্ষার ফাংশন জন্য নকশা স্থান জুড়ে। ভিনসেন্টের উত্তর এটির উন্নতি করতে সহায়তা করেছিল। এবং এটি হেইস যিনি কেবলমাত্র x বা y স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটির পরীক্ষা করার পরামর্শ দিয়েছিলেন; মূলত কোডটি ছিলand জায়গায় ছিল if a.x != b.x else।
এখানে অন্য পদ্ধতির:
পয়েন্ট সি (x3, y3) এ এবং বি এর মধ্যে থাকবে যদি:
বিভাগটির দৈর্ঘ্য গুরুত্বপূর্ণ নয়, সুতরাং বর্গমূল ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না এবং এড়ানো উচিত কারণ আমরা কিছুটা নির্ভুলতা হারাতে পারি।
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
class Segment:
def __init__(self, a, b):
self.a = a
self.b = b
def is_between(self, c):
# Check if slope of a to c is the same as a to b ;
# that is, when moving from a.x to c.x, c.y must be proportionally
# increased than it takes to get from a.x to b.x .
# Then, c.x must be between a.x and b.x, and c.y must be between a.y and b.y.
# => c is after a and before b, or the opposite
# that is, the absolute value of cmp(a, b) + cmp(b, c) is either 0 ( 1 + -1 )
# or 1 ( c == a or c == b)
a, b = self.a, self.b
return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y) and
abs(cmp(a.x, c.x) + cmp(b.x, c.x)) <= 1 and
abs(cmp(a.y, c.y) + cmp(b.y, c.y)) <= 1)
ব্যবহারের কয়েকটি এলোমেলো উদাহরণ:
a = Point(0,0)
b = Point(50,100)
c = Point(25,50)
d = Point(0,8)
print Segment(a,b).is_between(c)
print Segment(a,b).is_between(d)
==সালে is_between()ব্যর্থ হতে পারে (BTW এটা ছদ্মবেশে একটি crossproduct যায়)।
is_between():a, b = self.a, self.b
সি ++ এ দেওয়া কোড সহ এটি সম্পর্কে আরও একটি আলাদা উপায়। দুটি পয়েন্ট দেওয়া, l1 এবং l2 এটি তাদের মধ্যে লাইন বিভাগটি হিসাবে প্রকাশ করার জন্য এটি তুচ্ছ
l1 + A(l2 - l1)
যেখানে 0 <= এ <= 1. আপনি যদি এই সমস্যার জন্য ব্যবহার না করে আরও আগ্রহী হন তবে এটি কোনও লাইনের ভেক্টর উপস্থাপনা হিসাবে পরিচিত। আমরা এর x এবং y উপাদানগুলি বিভক্ত করতে পারি:
x = l1.x + A(l2.x - l1.x)
y = l1.y + A(l2.y - l1.y)
একটি বিন্দু (x, y) নিন এবং এ এর x এবং y উপাদানগুলি এ দুটি সমাধান করার জন্য এই দুটি এক্সপ্রেশনে প্রতিস্থাপন করুন বিন্দুটি লাইনটিতে রয়েছে যদি উভয় এক্সপ্রেশনটিতে A এর সমাধানগুলি সমান হয় এবং 0 <= এ <= 1 হয় কারণ এ এর সমাধান করার জন্য বিভাগের প্রয়োজন, লাইন বিভাগটি অনুভূমিক বা উল্লম্ব হয়ে গেলে বিভাগগুলি শূন্য দ্বারা বন্ধ করতে হ্যান্ডলিংয়ের বিশেষ ক্ষেত্রে প্রয়োজন। চূড়ান্ত সমাধানটি নিম্নরূপ:
// Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use
bool isBetween(double a, double b, double c) {
// return if c is between a and b
double larger = (a >= b) ? a : b;
double smaller = (a != larger) ? a : b;
return c <= larger && c >= smaller;
}
bool pointOnLine(Vec2<double> p, Vec2<double> l1, Vec2<double> l2) {
if(l2.x - l1.x == 0) return isBetween(l1.y, l2.y, p.y); // vertical line
if(l2.y - l1.y == 0) return isBetween(l1.x, l2.x, p.x); // horizontal line
double Ax = (p.x - l1.x) / (l2.x - l1.x);
double Ay = (p.y - l1.y) / (l2.y - l1.y);
// We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
// point comparison is fun!)
return fabs(Ax - Ay) < 0.000001 && Ax >= 0.0 && Ax <= 1.0;
}
আরও জ্যামিতিক পদ্ধতির ব্যবহার করে নিম্নলিখিত দূরত্বগুলি গণনা করুন:
ab = sqrt((a.x-b.x)**2 + (a.y-b.y)**2)
ac = sqrt((a.x-c.x)**2 + (a.y-c.y)**2)
bc = sqrt((b.x-c.x)**2 + (b.y-c.y)**2)
এবং পরীক্ষা কিনা AC + BC সমান AB :
is_on_segment = abs(ac + bc - ab) < EPSILON
কারণ তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে:
ঠিক আছে, লিনিয়ার বীজগণিতের প্রচুর উল্লেখ (ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট) এবং এটি একটি আসল (অর্থাত্ ধারাবাহিক বা ভাসমান পয়েন্ট) স্পেসে কাজ করে তবে প্রশ্নটি নির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করেছে যে দুটি পয়েন্টটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছিল এবং সুতরাং ক্রস পণ্যটি সঠিক নয় সমাধান যদিও এটি একটি আনুমানিক সমাধান দিতে পারে।
সঠিক সমাধানটি হ'ল দুটি পয়েন্টের মধ্যে ব্রেনহ্যামের লাইন অ্যালগরিদম ব্যবহার করা এবং তৃতীয় বিন্দুটি লাইনের একটি বিন্দুর মধ্যে একটি কিনা তা দেখতে। যদি পয়েন্টগুলি পর্যাপ্ত পরিমাণে দূরে থাকে যে অ্যালগরিদম গণনা করা অ-পারফরম্যান্ট (এবং এটি হওয়ার জন্য এটি সত্যই বড় হতে হবে) আমি নিশ্চিত আপনি আশেপাশে খনন করতে এবং অপ্টিমাইজেশন খুঁজে পেতে পারেন।
(সিএ) এবং (বা) এর মধ্যে স্কেলার পণ্য অবশ্যই তাদের দৈর্ঘ্যের পণ্যের সমান হতে হবে (এর অর্থ হল ভেক্টর (সিএ) এবং (বা) সারিবদ্ধ এবং একই দিকের)) অধিকন্তু, (সিএ) দৈর্ঘ্য (বা) এর চেয়ে কম বা সমান হতে হবে। সুডোকোড:
# epsilon = small constant
def isBetween(a, b, c):
lengthca2 = (c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y)
lengthba2 = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if lengthca2 > lengthba2: return False
dotproduct = (c.x - a.x)*(b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0.0: return False
if abs(dotproduct*dotproduct - lengthca2*lengthba2) > epsilon: return False
return True
এইচটিএমএল 5 ক্যানভাসে জাভাস্ক্রিপ্ট ব্যবহারের জন্য এটি ব্যবহারকারীর কার্সার নির্দিষ্ট রেখার উপরে বা কাছাকাছি ছিল কিনা তা সনাক্ত করার জন্য আমার এটি প্রয়োজন ছিল needed সুতরাং আমি দারিয়াস বেকন দ্বারা প্রদত্ত উত্তরটি কফিস্ক্রিপ্টে পরিবর্তিত করেছি:
is_on = (a,b,c) ->
# "Return true if point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a,b,c) and withincheck(a,b,c))
withincheck = (a,b,c) ->
if a[0] != b[0]
within(a[0],c[0],b[0])
else
within(a[1],c[1],b[1])
collinear = (a,b,c) ->
# "Return true if a, b, and c all lie on the same line."
((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) < (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) + 1000) and ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) > (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) - 1000)
within = (p,q,r) ->
# "Return true if q is between p and r (inclusive)."
p <= q <= r or r <= q <= p
আমি স্কুলে এটি কীভাবে করেছি তা এখানে। আমি ভুলে গেছি কেন এটি ভাল ধারণা নয়।
সম্পাদনা:
@ ড্যারিয়াস বেকন: একটি "বিউটিফুল কোড" বইয়ের উদ্ধৃতি দিয়েছেন যাতে নীচের কোডটি কেন ভাল ধারণা নয় তা ব্যাখ্যা রয়েছে।
#!/usr/bin/env python
from __future__ import division
epsilon = 1e-6
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x, self.y = x, y
class LineSegment:
"""
>>> ls = LineSegment(Point(0,0), Point(2,4))
>>> Point(1, 2) in ls
True
>>> Point(.5, 1) in ls
True
>>> Point(.5, 1.1) in ls
False
>>> Point(-1, -2) in ls
False
>>> Point(.1, 0.20000001) in ls
True
>>> Point(.1, 0.2001) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 1), Point(3, 5))
>>> Point(2, 3) in ls
True
>>> Point(1.5, 2) in ls
True
>>> Point(0, -1) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 2), Point(1, 10))
>>> Point(1, 6) in ls
True
>>> Point(1, 1) in ls
False
>>> Point(2, 6) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(-1, 10), Point(5, 10))
>>> Point(3, 10) in ls
True
>>> Point(6, 10) in ls
False
>>> Point(5, 10) in ls
True
>>> Point(3, 11) in ls
False
"""
def __init__(self, a, b):
if a.x > b.x:
a, b = b, a
(self.x0, self.y0, self.x1, self.y1) = (a.x, a.y, b.x, b.y)
self.slope = (self.y1 - self.y0) / (self.x1 - self.x0) if self.x1 != self.x0 else None
def __contains__(self, c):
return (self.x0 <= c.x <= self.x1 and
min(self.y0, self.y1) <= c.y <= max(self.y0, self.y1) and
(not self.slope or -epsilon < (c.y - self.y(c.x)) < epsilon))
def y(self, x):
return self.slope * (x - self.x0) + self.y0
if __name__ == '__main__':
import doctest
doctest.testmod()
লাইন বিভাগের যে কোনও বিন্দু ( ক , খ ) (যেখানে a এবং b ভেক্টর) দুটি ভেক্টর a এবং b এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে :
অন্য কথায়, গ যদি লাইন বিভাগে থাকে ( ক , খ ):
c = ma + (1 - m)b, where 0 <= m <= 1
মিটার জন্য সমাধান , আমরা পাই:
m = (c.x - b.x)/(a.x - b.x) = (c.y - b.y)/(a.y - b.y)
সুতরাং, আমাদের পরীক্ষাটি (পাইথনে) হয়ে যায়:
def is_on(a, b, c):
"""Is c on the line segment ab?"""
def _is_zero( val ):
return -epsilon < val < epsilon
x1 = a.x - b.x
x2 = c.x - b.x
y1 = a.y - b.y
y2 = c.y - b.y
if _is_zero(x1) and _is_zero(y1):
# a and b are the same point:
# so check that c is the same as a and b
return _is_zero(x2) and _is_zero(y2)
if _is_zero(x1):
# a and b are on same vertical line
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(x2) and 0 <= m2 <= 1
elif _is_zero(y1):
# a and b are on same horizontal line
m1 = x2 * 1.0 / x1
return _is_zero(y2) and 0 <= m1 <= 1
else:
m1 = x2 * 1.0 / x1
if m1 < 0 or m1 > 1:
return False
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(m2 - m1)
সি # থেকে http://www.faqs.org/faqs/ographicics/algorithms-faq/ -> বিষয় 1.02: আমি কীভাবে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজে পেতে পারি?
Boolean Contains(PointF from, PointF to, PointF pt, double epsilon)
{
double segmentLengthSqr = (to.X - from.X) * (to.X - from.X) + (to.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y);
double r = ((pt.X - from.X) * (to.X - from.X) + (pt.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y)) / segmentLengthSqr;
if(r<0 || r>1) return false;
double sl = ((from.Y - pt.Y) * (to.X - from.X) - (from.X - pt.X) * (to.Y - from.Y)) / System.Math.Sqrt(segmentLengthSqr);
return -epsilon <= sl && sl <= epsilon;
}
এখানে কিছু জাভা কোড যা আমার পক্ষে কাজ করেছে:
boolean liesOnSegment(Coordinate a, Coordinate b, Coordinate c) {
double dotProduct = (c.x - a.x) * (c.x - b.x) + (c.y - a.y) * (c.y - b.y);
if (dotProduct < 0) return true;
return false;
}
justাল একই এবং পয়েন্টটি অন্যদের মধ্যে রয়েছে তা নিশ্চিত করার বিষয়ে কীভাবে?
প্রদত্ত পয়েন্টগুলি (x1, y1) এবং (x2, y2) (x2> x1 সহ) এবং প্রার্থী পয়েন্ট (ক, খ)
যদি (খ-y1) / (a-x1) = (y2-y2) / (x2-x1) এবং x1 <a <x2
তারপরে (ক, খ) অবশ্যই (x1, y1) এবং (x2, y2) এর মধ্যে থাকবে
ভেক্টর 2 ডি ক্লাস ব্যবহার করে সি # তে একটি উত্তর
public static bool IsOnSegment(this Segment2D @this, Point2D c, double tolerance)
{
var distanceSquared = tolerance*tolerance;
// Start of segment to test point vector
var v = new Vector2D( @this.P0, c ).To3D();
// Segment vector
var s = new Vector2D( @this.P0, @this.P1 ).To3D();
// Dot product of s
var ss = s*s;
// k is the scalar we multiply s by to get the projection of c onto s
// where we assume s is an infinte line
var k = v*s/ss;
// Convert our tolerance to the units of the scalar quanity k
var kd = tolerance / Math.Sqrt( ss );
// Check that the projection is within the bounds
if (k <= -kd || k >= (1+kd))
{
return false;
}
// Find the projection point
var p = k*s;
// Find the vector between test point and it's projection
var vp = (v - p);
// Check the distance is within tolerance.
return vp * vp < distanceSquared;
}
মনে রাখবেন যে
s * s
সি # তে অপারেটর ওভারলোডিংয়ের মাধ্যমে বিভাগের ভেক্টরের বিন্দু পণ্য
কীটি অসীম রেখায় বিন্দুটির প্রক্ষেপণের সুযোগ নিয়েছে এবং পর্যবেক্ষণটির স্কেলারের পরিমাণ আমাদের তুচ্ছভাবে বলে দেয় যদি প্রজেকশনটি সেগমেন্টে থাকে বা না থাকে। একটি অস্পষ্ট সহনশীলতা ব্যবহার করতে আমরা স্কেলারের পরিমাণের সীমানা সামঞ্জস্য করতে পারি।
যদি প্রক্ষেপণ সীমানার মধ্যে থাকে তবে আমরা কেবল পরীক্ষার বিন্দু থেকে প্রক্ষেপণের দূরত্ব সীমাতে থাকলে পরীক্ষা করি।
ক্রস পণ্য পদ্ধতির উপর সুবিধা হ'ল সহনশীলতার একটি অর্থপূর্ণ মূল্য রয়েছে value
ইউনিটিতে সি # সহ আমার সমাধানটি এখানে।
private bool _isPointOnLine( Vector2 ptLineStart, Vector2 ptLineEnd, Vector2 ptPoint )
{
bool bRes = false;
if((Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineStart.x) || Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineEnd.x)))
{
if(ptPoint.y > ptLineStart.y && ptPoint.y < ptLineEnd.y)
{
bRes = true;
}
}
else if((Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineStart.y) || Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineEnd.y)))
{
if(ptPoint.x > ptLineStart.x && ptPoint.x < ptLineEnd.x)
{
bRes = true;
}
}
return bRes;
}
সি # জুলেসের উত্তরের সংস্করণ:
public static double CalcDistanceBetween2Points(double x1, double y1, double x2, double y2)
{
return Math.Sqrt(Math.Pow (x1-x2, 2) + Math.Pow (y1-y2, 2));
}
public static bool PointLinesOnLine (double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2, double allowedDistanceDifference)
{
double dist1 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x1, y1);
double dist2 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x2, y2);
double dist3 = CalcDistanceBetween2Points(x1, y1, x2, y2);
return Math.Abs(dist3 - (dist1 + dist2)) <= allowedDistanceDifference;
}
আপনি পয়েন্ট স্থানাঙ্কের সাহায্যে লাইন সেগমেন্টের জন্য লাইন সমীকরণটি সমাধান করে এটি জানতে পারবেন যে আপনি যে বিন্দুটি লাইনে রয়েছে কিনা এবং তারপরে সেগমেন্টের সীমানা পরীক্ষা করে এটি এর ভিতরে বা বাইরে রয়েছে কিনা তা জানতে পারবেন। আপনি কিছু থ্রেশহোল্ড প্রয়োগ করতে পারেন কারণ ভাল এটি কোথাও কোথাও সম্ভবত ফ্লোটিং পয়েন্ট মান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং আপনাকে অবশ্যই সঠিকটিকে আঘাত করতে হবে না। পিএইচপি মধ্যে উদাহরণ
function getLineDefinition($p1=array(0,0), $p2=array(0,0)){
$k = ($p1[1]-$p2[1])/($p1[0]-$p2[0]);
$q = $p1[1]-$k*$p1[0];
return array($k, $q);
}
function isPointOnLineSegment($line=array(array(0,0),array(0,0)), $pt=array(0,0)){
// GET THE LINE DEFINITION y = k.x + q AS array(k, q)
$def = getLineDefinition($line[0], $line[1]);
// use the line definition to find y for the x of your point
$y = $def[0]*$pt[0]+$def[1];
$yMin = min($line[0][1], $line[1][1]);
$yMax = max($line[0][1], $line[1][1]);
// exclude y values that are outside this segments bounds
if($y>$yMax || $y<$yMin) return false;
// calculate the difference of your points y value from the reference value calculated from lines definition
// in ideal cases this would equal 0 but we are dealing with floating point values so we need some threshold value not to lose results
// this is up to you to fine tune
$diff = abs($pt[1]-$y);
$thr = 0.000001;
return $diff<=$thr;
}