কীভাবে এক কুইট পরিমাপ করা অন্যকে প্রভাবিত করে?

কোয়ান্টাম কম্পিউটারের রাষ্ট্রের প্রতিনিধিত্ব করতে, সমস্ত কুইবিটগুলি একটি রাষ্ট্র ভেক্টরে অবদান রাখে (এটি আমি কোয়ান্টাম এবং ক্লাসিক্যাল কম্পিউটিংয়ের মধ্যে অন্যতম প্রধান পার্থক্য হিসাবে বুঝতে পারি)। আমার বোধগম্যতা হ'ল একাধিক কুইটসের সিস্টেমের মধ্যে কেবল একটি কুইট পরিমাপ করা সম্ভব। কীভাবে এক কুইট পরিমাপ পুরো সিস্টেমকে প্রভাবিত করে (বিশেষত, এটি কীভাবে রাষ্ট্রের ভেক্টরকে প্রভাবিত করে)?

quantum-state measurement

— হিদার
সূত্র

উত্তর:

কুইটগুলি দেখার অনেকগুলি বিভিন্ন উপায় রয়েছে এবং রাষ্ট্রীয় ভেক্টর আনুষ্ঠানিকতা তাদের মধ্যে একটি মাত্র। সাধারণ লিনিয়ার-বীজগণিতিক অর্থে একটি পরিমাপ একটি ভিত্তিতে প্রক্ষেপণ হয়। এখানে আমি পাউলি পর্যবেক্ষণযোগ্য দৃষ্টিকোণ থেকে একটি উদাহরণ দিয়ে অন্তর্দৃষ্টি দেব, এটিই কিউসির সাধারণ সার্কিট মডেল।

প্রথমত, এটি আগ্রহের বিষয় যে ভিত্তিতে রাষ্ট্রীয় ভেক্টর সরবরাহ করা হচ্ছে - প্রতিটি পরিমাপ অপারেটর একটি আইজেনস্টেটের সেট নিয়ে আসে এবং আপনি যে পরিমাণ পরিমাপ দেখেন (যেমন ইত্যাদি) নির্ধারণ করে রাষ্ট্র ভেক্টরটি লিখতে আপনার পক্ষে সবচেয়ে ভাল হতে পারে your আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সবচেয়ে সহজ উপায় যদি আপনি জানেন যে কোন ভিত্তিতে আপনার আগ্রহী, এবং আরও গুরুত্বপূর্ণ, এটি সবেমাত্র তৈরি করা পরিমাপের সাথে একমত হয় কিনা । $X,Y,Z, XX, XZ$

সুতরাং সরলতার স্বার্থে, আসুন আমরা উভয় কুইটের জন্য বেসিসে লেখা একটি স্বেচ্ছাসেবী অবস্থায় দুটি কাপল কুইট দিয়ে শুরু করি: $Z$

| ψ ⟩ = a | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

সহজ সম্ভাব্য পরিমাপ আপনি বানাতে পারে হবে হলো, প্রথম qubit উপর অপারেটর, দ্বারা অনুসরণ , দ্বিতীয় qubit উপর অপারেটর। পরিমাপ কি করে? এটি রাজ্যটিকে একটি আদিবাসীদের মধ্যে রূপান্তর করে। আপনি এটি কেবলমাত্র পরিমাপ করা উত্তরগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় এমন সমস্ত সম্ভাব্য উত্তরগুলি মুছে ফেলা হিসাবে এটি ভাবতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, বলুন যে আমরা পরিমাপ এবং ফলাফলটি পাই, তারপরে আমাদের যে ফলাফলটি হবে তা হবে: $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

মনে রাখবেন যে সহগের আউট ফ্রন্টটি কেবল পুনর্নবীকরণের জন্য। সুতরাং পরিমাপের আমাদের সম্ভাবনা হ'ল। উল্লেখ্য এই সম্ভাব্যতা আমরা প্রাথমিক অবস্থায়, যা ছিল ছিল থেকে ভিন্ন । $Z_{2}=0$ $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

মনে করুন আপনি পরবর্তী পরিমাপটি তবে আগেরটির সাথে কমবে না। এটি তাত্ক্ষণিক কারণ আপনি সম্ভাব্যতাগুলি বোঝার জন্য আপনাকে রাষ্ট্রীয় ভেক্টরের ভিত্তিতে পরিবর্তনের প্রয়োগ করতে হবে। পাওলি পরিমাপের সাথে, যদিও ইগেনবাসগুলি একটি সুন্দর উপায়ে সম্পর্কিত, এটি হ'ল:

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

আপনার বোধগম্যতা যাচাই করার একটি ভাল উপায়: উপরের পরিমাপের পরে পরিমাপের সম্ভাবনা কত ? আমরা পরিমাপ না করে থাকলে সম্ভাবনা কত ? তারপরে আরও জটিল প্রশ্ন হ'ল প্রোডাক্ট অপারেটরগুলি যা উভয় কোয়েটে একবারে কাজ করে, উদাহরণস্বরূপ, পরিমাপ প্রাথমিক অবস্থায় কীভাবে প্রভাব ফেলবে? এখানে the দুটি অপারেটরের পণ্য পরিমাপ করে। $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— এমিলি টাইহার্স্ট
সূত্র

সুন্দর এবং সহজ উত্তর। আমি মনে করি এটি গুরুত্বপূর্ণ, আপনি যা বর্ণনা করেছেন তা কেবল সত্য যদি আপনি ক) প্রক্ষেপণীয় পরিমাপ করেন এবং খ) আপনি পরিমাপের ফলাফল জানেন । কেবল মনে রাখবেন যে সাধারণভাবে আপনার পরিমাপের পরবর্তী অবস্থা বর্ণনা করার জন্য মিশ্র রাষ্ট্রের প্রয়োজন হবে।

— এম স্টার্ন

যে ধরুন, পরিমাপ করার পূর্বে, আপনার -qubit সিস্টেম কিছু অবস্থায় রয়েছে , যেখানে একটি একক qubit এর হিলবার্ট স্থান। লিখুন কিছু কোফিসিয়েন্টস জন্য যেমন যে $n$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

| ψ ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{n}} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$

।

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$

আপনি স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে প্রথম qubit পরিমাপ হয়, সংজ্ঞায়িত এবং যাক
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ এবং $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ । এটি দেখানো খুব কঠিন নয়, যদি আপনি প্রথম চতুর্দিক পরিমাপ করেন এবং রাজ্যটি অর্জন করেন , সমগ্র সিস্টেমের অবস্থা থেকে "ভেঙে" , এবং আপনি প্রাপ্ত যদি আপনি যা পান তা হল । $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$
এটি শর্তাধীন সম্ভাব্যতা বিতরণের ধারণার সাথে বিস্তৃতভাবে সাদৃশ্য: আপনি ভাবতে পারেন সিস্টেমের অবস্থা প্রথম qubit হচ্ছে নিয়ন্ত্রিত যেমন , এবং সিস্টেমের অবস্থা প্রথম qubit হচ্ছে নিয়ন্ত্রিত যেমন (অবশ্যই ব্যতীত গল্প একটি বিট আরো জটিল আসলে অ্যাকাউন্টে যে প্রথম qubit নয় "গোপনে" হয় রাজ্যের যে বা )। $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $0$ $1$
উপরেরগুলি প্রথম কুইটটি পরিমাপের উপর দৃ strongly়ভাবে নির্ভর করে না: আমরা সংজ্ঞা দিতে পারি এবং মধ্যে বিট স্ট্রিং কোন বিশেষ বিট ফিক্সিং পরিপ্রেক্ষিতে হয় বা , কেবলমাত্র সেই উপাদান যা পারেন পছন্দ সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় ওভার summing বা , এবং কার্যধারা উপরে হিসাবে। $\lvert \varphi_0 \rangle$ $\lvert \varphi_1 \rangle$ $x$ $0$ $1$ $0$ $1$
উপরেরগুলি স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে পরিমাপের উপর দৃ strongly়ভাবে নির্ভর করে না, যেমন এমিলি নির্দেশ করে। আমরা যদি ভিত্তিতে প্রথম কুইটটি পরিমাপ বিবেচনা করতে চাই তবে , যেখানে এবং , আমরা সংজ্ঞায়িত $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$ and then proceeding as above.

— Niel de Beaudrap
সূত্র

Less formally-stated than the other answers, but for beginners I like the intuitive method outlined by Prof. Vazirani in this video.

Suppose you have a general two-qbit state:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Now suppose you measure the most-significant (leftmost) qbit in the computational basis (as in, collapse it to either $|0\rangle$ or $|1\rangle$ ). There are two questions we might ask:

What is the probability that the measured qbit collapses to $|0\rangle$ ? What about $|1\rangle$ ?
What is the state of the 2-qbit system after measurement?

For the first question, the intuitive answer is this: take the sum of squares of all amplitudes associated with the value for which you want to find the probability of collapse. So, if you want to know the probability of the measured qbit collapsing to $|0\rangle$ , you'd look at the amplitudes associated with cases $|00\rangle$ and $|01\rangle$ , because those are the cases where the measured qbit is $|0\rangle$ . Thus:

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

Similarly, for $|1\rangle$ you look at the amplitudes associated with cases $|10\rangle$ and $|11\rangle$ , so:

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

As for the state of the 2-qbit system after measurement, what you do is cross out all the components of the superposition which are inconsistent with the answer you got. So, if you measured $|0\rangle$ , then the state after measurement is:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!

— ahelwer
সূত্র