খাঁটি রাষ্ট্র এবং মিশ্র রাজ্যের জন্য ঘনত্বের ম্যাট্রিক es

ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স পিছনে অনুপ্রেরণা কি? এবং, খাঁটি রাজ্যের ঘনত্বের ম্যাট্রিক এবং মিশ্র রাজ্যের ঘনত্বের ম্যাট্রিকের মধ্যে পার্থক্য কী?

^{খাঁটি এবং মিশ্রিত কোয়ান্টামের মধ্যে পার্থক্য কী তা এই একটি স্ব-উত্তর সিক্যুয়াল ? & কীভাবে একটি কোয়েটের ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স সন্ধান করবেন? আপনি বিকল্প উত্তর লিখতে স্বাগত জানাই।}

quantum-state density-matrix

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

উত্তর:

প্রেরণা

ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলির পিছনে অনুপ্রেরণা হ'ল প্রদত্ত কোয়ান্টাম সিস্টেমের অবস্থা সম্পর্কে জ্ঞানের অভাবকে প্রতিনিধিত্ব করা, আমরা সিস্টেম সম্পর্কে যা জানি, তার পরিমাপের পরিমাপের সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলগুলি এই সিস্টেমের একক বর্ণনার মধ্যে আবশ্যক। ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনায় বৈশ্বিক পর্যায়গুলির সাথে সম্পর্কিত যে কোনও সমস্যা থেকে মুক্তি পাওয়ার অতিরিক্ত সুবিধা রয়েছে কারণ

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$ জ্ঞানের অভাব বিভিন্ন উপায়ে দেখা দিতে পারে:

জ্ঞানের একটি বিষয়গত অভাব - একটি রেফারি আপনার জন্য কয়েকটি সেট রাজ্য প্রস্তুত করে $\{|\phi_i\rangle\}$ সম্ভাবনা সহ $p_i$ , কিন্তু আপনি কি জানেন না। এমনকি যদি তারা জানেন $|\phi_j\rangle$ তারা প্রস্তুত করেছে, যেহেতু আপনি তা করেন না, আপনাকে রাষ্ট্রের সম্ভাব্য সেট এবং তাদের সম্পর্কিত সম্ভাব্যতা সম্পর্কে কী আপনি জানেন তার ভিত্তিতে আপনাকে এটি বর্ণনা করতে হবে, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ ।
জ্ঞানের একটি উদ্দেশ্যগত অভাব - যদি কোয়ান্টাম সিস্টেমটি বৃহত্তর জড়িত রাষ্ট্রের অংশ হয় তবে সিস্টেমটিকে খাঁটি রাষ্ট্র হিসাবে বর্ণনা করা অসম্ভব, তবে পরিমাপের সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলগুলি ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রাপ্ত দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ ।

তবে এটি আকর্ষণীয় যে, জ্ঞানের উদ্দেশ্যগত অভাব বিষয়বস্তুতে পরিণত হতে পারে - একটি দ্বিতীয় পক্ষ বাকী জড়িয়ে থাকা অবস্থায় অপারেশন সম্পাদন করতে পারে। তারা পরিমাপের ফলাফল ইত্যাদি জানতে পারে তবে সেগুলি যদি পাস না করে তবে মূল কোয়ান্টাম সিস্টেমের অধিকারী ব্যক্তির কোনও নতুন জ্ঞান নেই এবং তাই তাদের সিস্টেমটি পূর্বের মতো একই ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে বর্ণনা করে তবে এটি এখন একটি বিষয়গত বর্ণনা ।

এটিও লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনের একটি নির্দিষ্ট উপায় বেছে নেওয়া, উদাহরণস্বরূপ, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ , একটি খুব বিষয়গত পছন্দ। এটি কোনও নির্দিষ্ট প্রস্তুতি পদ্ধতির দ্বারা অনুপ্রাণিত হতে পারে, তবে গাণিতিকভাবে, কোনও ম্যাট্রিক্স দেয় এমন বিবরণ সমান description উদাহরণস্বরূপ, একক কোয়েটে, $\rho=\frac12\mathbb{I}$ সর্বাধিক মিশ্র রাষ্ট্র হিসাবে পরিচিত। কোনও ভিত্তির সম্পূর্ণতার সম্পর্কের কারণে, এটি কোনও 50 -50 মিশ্রণ বা কোনও 1-কুইট ভিত্তি ব্যবহার করে দুটি অर्थোগোনাল রাজ্য হিসাবে উপস্থাপিত হতে পারে ।

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

খাঁটি এবং মিশ্রিত রাষ্ট্রসমূহ

একটি খাঁটি রাষ্ট্র এবং একটি মিশ্র রাষ্ট্রের ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য সোজা - খাঁটি রাষ্ট্র একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যা আকারে লেখা যেতে পারে $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ , যখন একটি মিশ্র রাষ্ট্র এই ফর্মটিতে লেখা যায় না। গাণিতিকভাবে, এর অর্থ হ'ল খাঁটি রাষ্ট্রের ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক 1 এবং অন্যদিকে একটি মিশ্র রাষ্ট্রের র‌্যাঙ্ক 1 এর চেয়ে বেশি হয় this $\text{Tr}(\rho^2)$ : $\text{Tr}(\rho^2)=1$ একটি খাঁটি অবস্থা বোঝায়, অন্যথায় এটি মিশ্রিত হয়। এটি দেখতে, এটি মনে রাখবেন $\text{Tr}(\rho)=1$ এর অর্থ, সমস্ত ইজেনভ্যালুগুলির সমষ্টি 1। এছাড়াও, $\rho$ ইতিবাচক আধা-সুনির্দিষ্ট, সুতরাং সমস্ত জিগ্যালুগুলি বাস্তব এবং অ-নেতিবাচক। তাই যদি $\rho$ র‌্যাঙ্ক 1, ইগেনভ্যালুগুলি $(1,0,0,\ldots ,0)$ , এবং তাদের যোগফল বর্গাকার স্পষ্টভাবে 1। অন্য যে কোনও অ-নেতিবাচক সংখ্যার সংখ্যার যোগফল 1 এর সমষ্টি হতে হবে 1 এর চেয়ে কম।

বিশুদ্ধ রাষ্ট্রটি সিস্টেমের নিখুঁত জ্ঞানের সাথে সামঞ্জস্য করে, যদিও কোয়ান্টাম মেকানিক্স সম্পর্কে মজাদার বিটটি এটি সম্ভাব্য পরিমাপের ফলাফলগুলির সম্পূর্ণ জ্ঞানকে বোঝায় না। মিশ্র রাষ্ট্রগুলি কিছু অসম্পূর্ণ জ্ঞানের প্রতিনিধিত্ব করে, তা সে প্রস্তুতির জ্ঞান হোক বা বৃহত্তর হিলবার্ট জায়গার জ্ঞান হোক।

মিশ্র রাষ্ট্রীয় বিবরণটি আরও সমৃদ্ধ যে একক কোয়েটের ব্লাচ গোলকের চিত্র থেকে দেখা যায়: খাঁটি রাষ্ট্রগুলি গোলকের পৃষ্ঠের সমস্ত অংশে থাকে এবং মিশ্র রাজ্যগুলি খণ্ডের মধ্যে থাকা সমস্তগুলি। প্যারামিটার গণনার ক্ষেত্রে, দুটি প্যারামিটারের পরিবর্তে, আপনার তিনটি প্রয়োজন, ব্লচ ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সাথে অতিরিক্ত অতিরিক্ত one

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$ কোথায়

\underline{n}

$\underline{n}$ একটি 3-উপাদান ইউনিট ভেক্টর,

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$ এটি পাওলি ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর এবং

r = 1

$r=1$ একটি খাঁটি রাষ্ট্রের জন্য, এবং

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$ মিশ্র রাষ্ট্রের জন্য

— DaftWullie
সূত্র

(+1) আপনাকে ধন্যবাদ, আমার বোঝাপড়া অনুসারে, আমাদের রাষ্ট্র রয়েছে

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$ এবং সম্পর্কে জানতে চান

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$ , এবং এটির সন্ধানের কোনও পূর্বোক্ত উপায় নেই, তাই আমরা ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করছি, আমি কি সঠিক? আমাদের কি বিভিন্ন উদ্দেশ্যে ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন সংজ্ঞা রয়েছে? যেমন, আপনি উল্লেখ করেছেন

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ জ্ঞানের সাপেক্ষিক অভাব এবং উদ্দেশ্য জন্য for

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ প্রথমত, এটা আমার কাছে পরিষ্কার নয় যে আপনার জ্ঞানের অভাব বলতে কী বোঝায়?

— তারেট গোস্বামী

(নিয়ন্ত্রিত) দ্বিতীয়ত, আপনি বিষয়বস্তু এবং উদ্দেশ্য বলতে কী বোঝাতে চেয়েছেন উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করতে পারেন ?

— তারেট গোস্বামী

@taritgoswami উদ্দেশ্য মানে যে সকলেই একমত হন। সুতরাং, আমি যদি একটি খাঁটি রাষ্ট্র তৈরি করি এবং এটি বিশ্বের কাছে ঘোষণা করি তবে সকলেই জানেন যে সেই রাষ্ট্রটি কী। এটি একটি উদ্দেশ্যমূলক সত্য। তবে, যদি বিভিন্ন লোকেরা একটি রাষ্ট্র সম্পর্কে বিভিন্ন জিনিস জানতে পারে, যেমন তারা জানে এটি একটি হয় | 0> বা | 1> তবে আমি এটি পরিমাপ করেছি এবং এটি জানি | 1> তবে আমি অন্য কাউকে বলিনি, তবে প্রত্যেকে তারা এ সম্পর্কে কী জানে তার উপর ভিত্তি করে রাষ্ট্রটিকে বর্ণনা করে, সুতরাং প্রতিটি বিষয়ের রাজ্যের আলাদা আলাদা, ব্যক্তিগত এবং বিবরণ থাকে।

— দাফটওয়ুলি

@taritgoswami যদি থাকে তবে

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$ যে জড়িয়ে আছে, কোন ধারণা নেই

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$ । এটি আমরা খুঁজে পাই না এমন নয়; এর কোন অস্তিত্ব নেই. ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স হ'ল নিজেই এটির সর্বোত্তম বর্ণনা যা অস্তিত্ব থাকতে পারে কারণ এ কোনও রাজ্যে নিজেই থাকে না, এটি বি এর সাথে মিশে যায় আমাদের ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন সংজ্ঞা নেই। একই মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি হোল্ড করে রাখুন, আপনি যা-ই করছেন না কেন, ঠিক এমনই বিভিন্ন দর্শন রয়েছে যার দ্বারা আপনি ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সের অর্থ এবং প্রাসঙ্গিকতা বুঝতে পারবেন।

— ডাউটউইলি

ঘনত্ব ম্যাট্রিকের পিছনে অনুপ্রেরণা ^[1] :

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে, কোয়ান্টাম সিস্টেমের অবস্থা একটি রাষ্ট্র ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, চিহ্নিত করা হয় $|\psi\rangle$ (এবং উচ্চারিত কেট ) একটি রাষ্ট্র ভেক্টর সহ একটি কোয়ান্টাম সিস্টেম $|\psi\rangle$ একটি খাঁটি রাষ্ট্র বলা হয় । তবে, কোনও সিস্টেমের পক্ষে বিভিন্ন রাষ্ট্রের ভেক্টরগুলির একটি পরিসংখ্যানের জুড়ে থাকাও সম্ভব । উদাহরণস্বরূপ, একটি হতে পারে $50\%$ সম্ভাব্যতা যা রাষ্ট্র ভেক্টর $|\psi_1\rangle$ এবং ক $50\%$ রাষ্ট্র ভেক্টর যে সুযোগ $|\psi_2\rangle$ । এই ব্যবস্থাটি মিশ্র অবস্থায় থাকবে । ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স বিশেষত মিশ্র রাজ্যের জন্য কার্যকর, কারণ যে কোনও রাজ্য, খাঁটি বা মিশ্রিত, একক ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স দ্বারা চিহ্নিত করা যায়। একটি মিশ্র অবস্থা একটি কোয়ান্টাম সুপারপজিশনের থেকে পৃথক। মিশ্র অবস্থায় থাকা সম্ভাবনাগুলি হ'ল ধ্রুপদী সম্ভাবনা (যেমন সম্ভাব্যতার মধ্যে কেউ ক্লাসিকাল সম্ভাব্যতা তত্ত্ব / পরিসংখ্যানগুলিতে শিখেছে), কোয়ান্টাম সুপারপজিশনে কোয়ান্টাম সম্ভাবনার বিপরীতে। প্রকৃতপক্ষে, খাঁটি রাষ্ট্রগুলির একটি কোয়ান্টাম সুপারপজিশন হ'ল অন্য খাঁটি রাষ্ট্র, উদাহরণস্বরূপ, $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ । এই ক্ষেত্রে, সহগ $\frac{1}{\sqrt {2}}$ সম্ভাবনা নয়, বরং সম্ভাবনা প্রশস্ততা।

উদাহরণ: হালকা মেরুকরণ

খাঁটি এবং মিশ্র রাষ্ট্রগুলির একটি উদাহরণ হালকা মেরুকরণ। দুটি অরথোগোনাল কোয়ান্টামের সাথে মিল রেখে ফটোগুলিতে দুটি হেলিকটি থাকতে পারে, $|R\rangle$ (ডান বিজ্ঞপ্তি মেরুকরণ ) এবং $|L\rangle$ (বাম দিকে বিজ্ঞপ্তি মেরুকরণ )। ফোটন একটি সুপারপজিশন অবস্থায়ও থাকতে পারে, যেমন $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (উল্লম্ব মেরুকরণ) বা $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (অনুভূমিক মেরুকরণ)। আরও সাধারণভাবে, এটি যে কোনও রাজ্যে হতে পারে $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (সঙ্গে $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ ) রৈখিক , বৃত্তাকার বা উপবৃত্তাকার মেরুকরণের সাথে সম্পর্কিত। আমরা যদি পাস $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ একটি বিজ্ঞপ্তি পোলারাইজারের মাধ্যমে পোলারাইজড আলো যা কেবলমাত্র অনুমতি দেয় $|R\rangle$ মেরুকৃত আলো, বা কেবল only $|L\rangle$ পোলারাইজড আলো, তীব্রতা উভয় ক্ষেত্রে অর্ধেক দ্বারা হ্রাস হবে। এটি দেখে মনে হতে পারে যে ফোটনগুলির অর্ধেকটি রাজ্যে রয়েছে $|R\rangle$ এবং অন্য রাজ্যে $|L\rangle$ । তবে এটি সঠিক নয়: উভয়ই $|R\rangle$ এবং $|L\rangle$ আংশিকভাবে একটি উল্লম্ব লিনিয়ার পোলারাইজার দ্বারা শোষিত হয় , কিন্তু $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ আলো কোনও ধরণের শোষণ ছাড়াই সেই পোলারাইজার দিয়ে যাবে।

তবে অপরিবর্তিত আলো যেমন কোনও ভাস্বর আলো বাল্বের আলো যেমন কোনও রাজ্যের চেয়ে আলাদা $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ (লিনিয়ার, বিজ্ঞপ্তি বা উপবৃত্তাকার মেরুকরণ)। রৈখিক বা উপবৃত্তাকারভাবে মেরুকৃত আলোর মতো নয়, এটি পোলারাইজারের সাথে দিয়ে যায় $50\%$ intensity loss whatever the orientation of the polarizer; and unlike circularly polarized light, it cannot be made linearly polarized with any wave plate because randomly oriented polarization will emerge from a wave plate with random orientation. Indeed, unpolarized light cannot be described as any state of the form $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ in a definite sense. However, unpolarized light can be described with ensemble averages, e.g. that each photon is either $|R\rangle$ with $50\%$ probability or $|L\rangle$ with $50\%$ probability. The same behaviour would occur if each photon was either vertically polarized with $50\%$ probability or horizontally polarized with $50\%$ probability.

Therefore, unpolarized light cannot be described by any pure state but can be described as a statistical ensemble of pure states in at least two ways (the ensemble of half left and half right circularly polarized, or the ensemble of half vertically and half horizontally linearly polarized). These two ensembles are completely indistinguishable experimentally, and therefore they are considered the same mixed state. One of the advantages of the density matrix is that there is just one density matrix for each mixed state, whereas there are many statistical ensembles of pure states for each mixed state. Nevertheless, the density matrix contains all the information necessary to calculate any measurable property of the mixed state.

মিশ্র রাজ্যগুলি কোথা থেকে আসে? এর উত্তর দিতে, বিবেচনা করুন কীভাবে অপ্রচলিত আলো তৈরি করা যায়। একটি উপায় হ'ল তাপ সাম্যাবস্থায় একটি সিস্টেম ব্যবহার করা , প্রচুর সংখ্যক মাইক্রোস্টেটের একটি পরিসংখ্যানগত মিশ্রণ , প্রতিটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনার ( বোল্টজম্যান ফ্যাক্টর ) সহ, তাপীয় ওঠানামার কারণে এক থেকে পরের দিকে দ্রুত স্যুইচ করে । তাপীয় এলোমেলোতা ব্যাখ্যা করে কেন একটি ভাস্বর আলো বাল্ব , উদাহরণস্বরূপ, অপ্রকাশিত আলো নির্গত করে। অপরিকল্পিত আলো তৈরির দ্বিতীয় উপায় হ'ল সিস্টেমের প্রস্তুতির ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তার পরিচয় দেওয়া, উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি বায়ারফ্রিজেন্ট স্ফটিকের মধ্য দিয়ে পাস করারুক্ষ পৃষ্ঠের সাথে, যাতে মরীচিটির সামান্য বিভিন্ন অংশ বিভিন্ন মেরুকরণ অর্জন করে। অপ্রচলিত আলো তৈরির তৃতীয় উপায়টি একটি ইপিআর সেটআপ ব্যবহার করে: একটি তেজস্ক্রিয় ক্ষয় কোয়ান্টাম অবস্থায় বিপরীত দিকে ভ্রমণকারী দুটি ফোটন নির্গত করতে পারে $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$ । দুটি ফোটন একসাথে খাঁটি অবস্থায় রয়েছে, তবে আপনি যদি কেবলমাত্র ফটনের একটির দিকে নজর দেন এবং অন্যটিকে উপেক্ষা করেন তবে ফোটন অপ্রকাশিত আলোর মতো আচরণ করে।

আরও সাধারণভাবে, মিশ্র রাষ্ট্রগুলি সাধারণত প্রারম্ভিক অবস্থার একটি পরিসংখ্যানগত মিশ্রণ থেকে উদ্ভূত হয় (যেমন তাপীয় ভারসাম্যহীনতায়), প্রস্তুতি পদ্ধতির অনিশ্চয়তা থেকে (যেমন কোনও ফটোন ভ্রমণ করতে পারে এমন কিছু পৃথক পথ) বা এর সাথে জড়িয়ে থাকা সাবসিস্টেমের দিকে তাকানো থেকে অন্যকিছু.

ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স প্রাপ্তি ^[২] :

পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, একটি সিস্টেম বিভিন্ন রাষ্ট্রের ভেক্টরগুলির একটি পরিসংখ্যানের সংগে থাকতে পারে। বলো আছে $p_1$ সম্ভাব্যতা যা রাষ্ট্র ভেক্টর $|\psi_1\rangle$ এবং $p_2$ সম্ভাব্যতা যা রাষ্ট্র ভেক্টর $|\psi_2\rangle$ প্রতিটি রাজ্যের সম্পর্কিত ধ্রুপদী সম্ভাবনাগুলি প্রস্তুত করা হচ্ছে।

বলুন, এখন আমরা কোনও অপারেটরের প্রত্যাশা মানটি খুঁজতে চাই $\hat{O}$ । এটি হিসাবে দেওয়া হয়:

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Note that $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ and $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$ are scalars, and trace of scalars are scalars too. Thus, we can write the above expression as:

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Now, using the cyclic invariance and linearity properties of the trace:

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

where $\rho$ is what we call the density matrix. The density operator contains all the information needed to calculate an expectation value for the experiment.

Thus, basically the density matrix $\rho$ is

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$ in this case.

You can obviously extrapolate this logic for when more than just two state vectors are possible for a system, with different probabilities.

Calculating the density matrix:

Let's take an example, as follows.

In the above image, the incandescent light bulb $1$ emits completely random polarized photons $2$ with mixed state density matrix.

As mentioned before, an unpolarized light can be explained with an ensemble average i.e. say each photon is either $|R\rangle$ or $|L\rangle$ with $50%$ probability for each. Another possible ensemble average is: each photon is either $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ with $50\%$ probability for each. There are lots of other possibilities too. Try to come up with some yourself. The point to note is that the density matrix for all these possible ensembles will be exactly the same. And this is exactly the reason why density matrix decomposition into pure states is not unique. Let's check:

Case 1: $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Now, in the basis $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ , $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Case 2: $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ Thus, we can clearly see that we get the same density matrices in both case 1 and case 2.

However, after passing through the vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:

ρ_{pure} = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

The single qubit case:

In this case, the density matrix will simply be:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$ ,

the density matrix will simply be:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$ . This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$ .
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Image Credits:

User Kaidor on Wikimedia

— Sanchayan Dutta
সূত্র

আপনি নিজের প্রাথমিক পরিস্থিতি হিসাবে বিবেচনা করছেন তা প্রথমে কিছুটা বিভ্রান্তিকর। সম্ভবত | এল> এবং | আর> থেকে | এইচ> এবং | ভি> (পোলারাইজারটি ডি তে সেট করা) স্যুইচিংয়ের কথা বিবেচনা করুন? প্রযুক্তিগতভাবে এটি কিছু ভিত্তিতে সমস্ত একই জিনিস, আমি এইচ, ভি ভিত্তিতে পোলারাইজারগুলি সম্পর্কে ভাবা আরও প্রাকৃতিক বলে মনে করি।

— স্টিভেন সাগোনা

আমি মনে করি এই প্রশ্নটি খাঁটি এবং মিশ্রের মধ্যে বিভিন্নটির সবচেয়ে মৌলিক দিকটি বাদ দেয় এবং এটি হ'ল মিশ্র রাষ্ট্রগুলি কোয়ান্টামকে যান্ত্রিকভাবে আচরণ করে না। আপনি বলছেন যে রাজ্যগুলি শাস্ত্রীয় মিশ্রণ, তবে সুপার পজিশনগুলি রাষ্ট্রগুলি কোয়ান্টামকে যান্ত্রিকভাবে কীভাবে আচরণ করে তা আপনি চিহ্নিত করেন না (যা ননতান্ত্রিক)। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার 1 একবিট সুপারপজিশনে কিছু থাকে তবে প্রতিটি বিকল্পের 50/50 সুযোগও রয়েছে। সুতরাং এই রাজ্যটি কীভাবে ধ্রুপদী একের চেয়ে আলাদা। আমি মনে করি কীভাবে আমরা একটি সুপারপজিশন রাষ্ট্রের "কোয়ান্টাম হস্তক্ষেপ" দেখতে পারি তা হ'ল পার্থক্যটি সঠিকভাবে কীভাবে চিত্রিত করা যায়।

— স্টিভেন সাগোনা

Idea এই ধারণাটি এখানে কিছুটা আলোচনা করা হয়েছে: পদার্থবিজ্ঞান.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ / প্রশ্ন / 409205/…

— স্টিভেন সাগোনা

@StevenSagona Thanks for pointing that out. I will update my answer.

— সঁচায়ন দত্ত

খাঁটি রাষ্ট্র এবং মিশ্র রাজ্যের জন্য ঘনত্বের ম্যাট্রিক es

প্রেরণা

খাঁটি এবং মিশ্রিত রাষ্ট্রসমূহ

ঘনত্ব ম্যাট্রিকের পিছনে অনুপ্রেরণা [1] :

উদাহরণ: হালকা মেরুকরণ

ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স প্রাপ্তি [২] :

Calculating the density matrix:

The single qubit case:

Obligatory exercises:

ঘনত্ব ম্যাট্রিকের পিছনে অনুপ্রেরণা ^[1] :

ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স প্রাপ্তি ^[২] :