সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম (HHL09): পদক্ষেপ 2 - কী ?

^{এটি সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের একটি সিক্যুয়্যাল (এইচএইচএল 09): পদক্ষেপ 1 - সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য এইচএইচএল09: পর্বের অনুমানের অ্যালগরিদম এবং কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের}^{ব্যবহার সম্পর্কে বিভ্রান্তি: পদক্ষেপ 1 -}^{কোয়েটগুলির প্রয়োজনীয় সংখ্যা} ।

কাগজে: সমীকরণের রৈখিক সিস্টেমের জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম (হ্যারো, হাসিদিম এবং লয়েড, ২০০৯) , অংশ পর্যন্ত কী লেখা আছে

পরের পদক্ষেপটি হ'ল আইজেনভেেক্টর ভিত্তিতে পর্বের প্রাক্কলন [5-7] ব্যবহার করে পচে যাওয়া । দ্বারা চিহ্নিত এর eigenvectors (অথবা equivalently, এর ), এবং দ্বারা সংশ্লিষ্ট eigenvalues। $|b\rangle$ $|u_j\rangle$ $A$ $e^{iAt}$ $\lambda_j$

পৃষ্ঠাতে $2$ তোলে কিছু আমার ধারণা (আপ পর্যন্ত সেখানে ছিলাম আগের পোস্ট উপরে লিঙ্ক সুরাহা বিভ্রান্তি)। তবে এর পরের অংশটি অর্থাৎ $R(\lambda^{-1})$ ঘূর্ণনটি কিছুটা রহস্যজনক বলে মনে হচ্ছে।

আসুন
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
কিছু বড় । ত্রুটি বিশ্লেষণে উপস্থিত হওয়া একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ ক্ষতির ক্রিয়াকে হ্রাস করার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছে ([[5-7] অনুসরণ করুন) (বিশদের জন্য দেখুন [13])। $T$ $|\Psi_0\rangle$

এরপরে, আমরা শর্তসাপেক্ষ হ্যামিলটোনীয় বিবর্তন অন , যেখানে । $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

প্রশ্নাবলী:

1. ঠিক কী ? এবং কী ? আমি জানি না কোথা থেকে এই বিশাল অভিব্যক্তি হঠাৎ করে এসেছিল এবং এর ব্যবহার কী। $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

২. পর্যায়ের অনুমানের পদক্ষেপের পরে, আমাদের সিস্টেমের অবস্থা দৃশ্যত :

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

এই নিশ্চয় না পারেন হিসেবে লেখা যেতে অর্থাৎ

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

সুতরাং, এটি পরিষ্কার যে রেজিস্ট্রেশন দ্বিতীয় রেজিস্টারে আলাদাভাবে পাওয়া যায় না। সুতরাং আমি জানি না যে তারা কীভাবে প্রথম অবস্থানে মতো একটি রাজ্য প্রস্তুত করছে ! এছাড়াও, ? সুপারস্ক্রিপ্টে সেই কী বোঝায়? $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

৩. এই অভিব্যক্তিটি হঠাৎ কোথা থেকে এসেছে? এটি সিমুলেট করার ব্যবহার কী? আর কি মধ্যে ? $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

উত্তর:

1. সংজ্ঞা

এই উত্তরে ব্যবহৃত নাম এবং চিহ্নগুলি কোয়ান্টাম লিনিয়ার সিস্টেম অ্যালগরিদমে সংজ্ঞায়িত অনুসৃতগুলি অনুসরণ করে : একটি প্রাইমার (ডারভোভিচ, হার্বস্টার, মাউন্টনি, সেভেরিনি, উশার এবং ওয়াসনিগ, 2018) । একটি প্রত্যাহার নীচে করা হয়।

1.1 নাম নিবন্ধন করুন

নিবন্ধসমূহের নামগুলি কোয়ান্টাম লিনিয়ার সিস্টেম অ্যালগোরিদমের চিত্র 5-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে : একটি প্রাইমার (ডারভোভিচ, হার্বস্টার, মাউন্টনি, সেভেরিনি, উশার এবং ওয়াসনিগ, 2018) (নীচে পুনরুত্পাদন করা):

$S$ (1 কুইবিট) হ'ল আনুষঙ্গিক রেজিস্টার যা আউটপুটটি বৈধ কিনা তা পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়।
$C$ ( কোয়েটস) হ'ল ক্লক রেজিস্ট্রার, অর্থাৎ রেজিস্টার হ্যামিলটোনীয়দের কোয়ান্টাম ফেজের প্রাক্কলন (কিউপিই) এর ইগ্যালভ্যালুগুলি অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়। $n$
$I$ ( কুইটস) সমীকরণের ডান-হাতের অক্ষরটি অক্ষর সঞ্চিত রেজিস্টার । এটি অ্যালগরিদমের শেষে হিসাবে পরিমাপ করা হলে সমীকরণের ফলাফল , সঞ্চয় করে । $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2. প্রায় : $\left|\Psi_0\right>$

ঠিক কী ? $\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$ হ'ল ঘড়ির রেজিস্ট্রারের একটি সম্ভাব্য প্রাথমিক অবস্থা । $C$
এবং কী ? $T$ $\tau$

$T$ একটি বড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য দাঁড়িয়েছে। এই যথাসম্ভব বৃহত্তর হওয়া উচিত কারণ অভিব্যক্তি অসীমের দিকে বাড়ার জন্য প্রদত্ত ত্রুটি কমিয়ে দেয় । ইন অভিব্যক্তি , হতে হবে , কোয়ান্টাম ঘড়ি সম্ভব রাজ্যের সংখ্যা । $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

$\tau$ কেবল সামিট সূচক
জন্য এ জাতীয় বিশাল প্রকাশ কেন ? $\left|\Psi_0\right>$

বিস্তারিত ব্যাখ্যার জন্য দাফটওয়ুলির পোস্টটি দেখুন ।

সমীকরণের রৈখিক সিস্টেমের জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের উদ্ধৃতিগুলি অনুসরণ করার পরে (হ্যারো, হাসিদিম এবং লয়েড, ২০০৯ ভি 3) আমরা এগুলি শেষ করি:
1. সমীকরণের রৈখিক সিস্টেমের জন্য একই কাগজের কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের আগের সংস্করণ (হ্যারো, হাসিদিম এবং লয়েড, ২০০৯ ভি 2) । লেখকরা কাগজটি 2 বার সংশোধন করেছেন (মূল এইচএইচএল কাগজের 3 সংস্করণ রয়েছে) এবং সংস্করণ n ° 3 পূর্ববর্তী সংস্করণগুলিতে প্রদত্ত সমস্ত তথ্য অন্তর্ভুক্ত করে না। ভি 2-তে (বিভাগের.3.3। পৃষ্ঠায় শুরু হওয়া) লেখকরা এই বিশেষ প্রাথমিক অবস্থার সাথে ত্রুটির বিশদ বিশ্লেষণ সরবরাহ করেন।
2. অনুকূল কোয়ান্টাম ক্লকস (বুজেক, ডেরকা, মাসার, 1998) যেখানে সমীকরণ 10-তে এক্সপ্রেশন দেওয়া হয়েছে হিসাবে আমার জ্ঞান নেই এই অংশটি সম্পূর্ণরূপে বুঝতে পারছেন তবে মনে হয় কিছুটা অর্থে এই ভাবটি "অনুকূল"। $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

3. প্রস্তুতি : $\left|\Psi_0\right>$

পূর্ববর্তী অংশে যেমন বলা হয়েছে, একটি প্রাথমিক অবস্থা। তারা পর্বের প্রাক্কলন পদ্ধতির পরে প্রস্তুত করেন না । বাক্য অর্ডারিং কাগজে সত্যই অনুকূল নয়। তারা কাগজে যে ধাপের প্রাক্কলন পদ্ধতি ব্যবহার করে তা অংশ 1 এর সাথে সংযুক্ত কোয়ান্টাম সার্কিটের প্রতিনিধিত্বকারী "ক্লাসিক" ফেজ অনুমানের অ্যালগরিদম থেকে কিছুটা আলাদা এবং এজন্য তারা বিশদে এটি ব্যাখ্যা করে। $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

তাদের পর্যায় অনুমানের অ্যালগরিদম হ'ল:

প্রস্তুত করুন রেজিস্টার রাষ্ট্র । $\left|\Psi_0\right>$ $C$
এবং রেজিস্টারগুলিতে শর্তসাপেক্ষ হ্যামিল্টোনীয় বিবর্তন প্রয়োগ করুন (যা রাজ্যে )। $C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
কোয়ান্টাম ফুরিয়ারকে ফলাফলের স্থিতিতে রূপান্তর করুন।

অবশেষে, এ অর্থ হল রেজিস্টার মধ্যে সংরক্ষিত হয় । ব্যবহৃত রেজিস্টারগুলিতে নজর রাখার জন্য এটি একটি সংক্ষিপ্ত এবং সুবিধাজনক স্বরলিপি। $C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

৪.হ্যামিলটোনীয় সিমুলেশন:

প্রথমত, হ'ল ম্যাট্রিক্স এর শর্ত নম্বর ( "শর্ত সংখ্যা" তে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা ) । $\kappa$ $A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ a হল কোয়ান্টাম গেটের গাণিতিক উপস্থাপনা।

যোগফলের প্রথম অংশ একটি নিয়ন্ত্রণ অংশ part এর অর্থ হ'ল অপারেশনটি প্রথম কোয়ান্টাম রেজিস্টারের রাষ্ট্র দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হবে ( এক্সপেন্ডারটি আমাদের হিসাবে রেজিস্টার বলে)। $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

দ্বিতীয় অংশ "হ্যামিল্টনিয়ান সিমুলেশন" গেট, অর্থাত্ কোয়ান্টাম গেট যে ঐকিক ম্যাট্রিক্স কর্তৃক প্রদত্ত প্রযোজ্য হবে দ্বিতীয় রেজিস্টার করার জন্য (রেজিস্টার করো প্রাথমিক অবস্থায় মধ্যে যে )। $e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

পুরো সমষ্টি সঙ্গে, এর "1. সংজ্ঞা" কোয়ান্টাম বর্তনী নিয়ন্ত্রিত-ইউ অপারেশন গাণিতিক উপস্থাপনা । $U = e^{iA\tau t_0/T}$

— Nelimee
সূত্র

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তরে আমি কীভাবে এটি কাজ করে তা সম্পর্কে আমার বোঝার বিষয়ে কিছুক্ষণ আগে নিজেকে কিছু নোট লিখেছিলাম। স্বরলিপিটি সম্ভবত কিছুটা আলাদা (আমি এটিকে আরও বেশি লাইনে আনার চেষ্টা করেছি, তবে বিটগুলি মিস করা সহজ), তবে রাষ্ট্রটির সেই পছন্দটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা । এর কয়েকটি কারণগুলি স্থানে ভাসমান বলে মনে হচ্ছে । $|\Psi_0\rangle$ $\frac12$

আমরা যখন প্রথম পর্যায়ের অনুমানটি অধ্যয়ন করি, তখন আমরা সাধারণত কিছু নির্দিষ্ট অ্যালগরিদমে যেমন শোরের অ্যালগরিদম ব্যবহারের ক্ষেত্রে এটি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করি। এটির একটি সুনির্দিষ্ট লক্ষ্য রয়েছে: ইগেনভ্যালুতে সেরা বিট সান্নিধ্য প্রাপ্তি। আপনি হয়, না আপনি করেন না, এবং পর্যায়ে অনুমানের বিবরণটি যথাসম্ভব উচ্চতর সাফল্যের সম্ভাবনা দেওয়ার জন্য বিশেষভাবে সুর করা হয়েছে। $t$

এইচএইচএল-তে, আমরা কিছু স্টেট তৈরি করার চেষ্টা করছি যেখানে , পর্যায় অনুমানের ব্যবহার করে। এর আনুমানিকের নির্ভুলতা 0 টির থেকে বেশি যে 0 টির কাছাকাছি অবস্থিত ইগেনুয়ালিউসগুলির সঠিক অনুমানের উপর অনেক বেশি সমালোচনামূলকভাবে নির্ভর করবে সুতরাং একটি সুস্পষ্ট পদক্ষেপ, তারপরে পর্যায়টির প্রাক্কলন প্রোটোকলটি পরিবর্তনের চেষ্টা করা উচিত ( এবং ফেজ অনুমানের রেজিস্টারে সংখ্যা) নির্ধারিত প্রস্থ এর না করে, আমরা বরং একটি সেট নির্দিষ্ট করতে পারি জন্য

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$ each bin প্রতিটি বিনের কেন্দ্র হিসাবে কাজ করতে যাতে আমরা 0 পর্বের খুব কাছাকাছি নির্ভুলতা বৃদ্ধি করতে পারি। আরও সাধারণভাবে, আপনি একটি ফাংশন হিসাবে ত্রুটি হতে পারে এমন সহনশীলতার জন্য আপনি একটি বাণিজ্য-বন্ধ কার্য নির্দিষ্ট করতে পারেন । এই ফাংশনটির যথাযথ প্রকৃতি তখন প্রদত্ত অ্যাপ্লিকেশনটিতে এবং যোগ্যতার নির্দিষ্ট চিত্র যা আপনি সাফল্য নির্ধারণ করতে ব্যবহার করবেন tun শোরের অ্যালগরিদমের ক্ষেত্রে, আমাদের যোগ্যতার চিত্রটি ছিল কেবল এই বিনিং প্রোটোকল - উত্তরটি সঠিক বিনে থাকলে এবং এর বাইরে আমরা ব্যর্থ হয়েছি আমরা সফল হয়েছি। এইচএইচএল-তে এটি ঘটবে না, যার সাফল্য বিশ্বস্ততার মতো ধারাবাহিক ব্যবস্থা দ্বারা আরও যুক্তিসঙ্গতভাবে ধরা পড়ে। সুতরাং, সাধারণ ক্ষেত্রে, আমরা একটি ব্যয় ফাংশন

ϕ

$\phi$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ যা উত্তরের জন্য একটি শাস্তি নির্দিষ্ট করে যদি সত্যি ফেজ যা ।

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

স্মরণ করুন যে স্ট্যান্ডার্ড ফেজ অনুমানের প্রোটোকল একটি ইনপুট রাজ্য তৈরি করে কাজ করেছিল যা সমস্ত ভিত্তি রাজ্যের uniform জন্য এর অভিন্ন সুপারপজিশন ছিল । এই রাজ্যটি একাধিক নিয়ন্ত্রিত গেটগুলির ক্রমিক অ্যাপ্লিকেশন নিয়ন্ত্রণ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল , যা একটি বিপরীতমুখী ফুরিয়ার রূপান্তর অনুসরণ করে। কল্পনা করুন যে আমরা ইনপুট অন্য কোনও রাজ্যের এবং তারপরে বাকী প্রোটোকলটি পারে আগের মত কাজ আমরা কেবল মৌলিক ধারণাটি প্রকাশ করার চেষ্টা করছি আমরা এখন নতুন রাজ্য উত্পাদন করা কতটা কঠিন এই প্রশ্নটিকে আমরা উপেক্ষা করব । এই রাজ্য থেকে শুরু করে, নিয়ন্ত্রিত- ব্যবহার $\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$ গেটস (একজন eigenvector লক্ষ্য করে eigenvalue এর ), রাষ্ট্র উৎপন্ন বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর ফলন প্রয়োগ করা উত্তর (যেমন ) পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল তাই খরচ ফাংশনের প্রত্যাশিত মান, এর একটি র্যান্ডম বন্টন অভিমানী হয়

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$ এবং আমাদের কাজটি হল এর নির্দিষ্ট কোনও উপলব্ধির জন্য এটি হ্রাস করা প্রশস্ততা নির্বাচন করা । যদি আমরা অনুমান করি যে কেবলমাত্র একটি ফাংশন , তবে আমরা give দেওয়ার জন্য সংহতকরণে পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করতে পারি যেমনটি আমরা উল্লেখ করেছি, সর্বাধিক দরকারী পরিমাপটি বিশ্বস্ততার পরিমাপ হতে পারে। বিবেচনা করুন আমাদের একটি রাজ্য রয়েছে

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$ এবং আমরা একক implement বাস্তবায়ন করতে চাই, তবে পরিবর্তে আমরা implement বাস্তবায়ন করি । বিশ্বস্ততা পরিমাপ করে যে এটি কতটা ভালভাবে কাঙ্ক্ষিত কাজটি অর্জন করবে, তাই আমরা যেহেতু আদর্শ ক্ষেত্রে , তাই ত্রুটিটি, যা আমরা কম করতে চাই, হিসাবে নেওয়া যেতে পারে । এটি অবশ্যই কোনও মূল্যায়নের জন্য সঠিক ফাংশন হবে

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$ , তবে কেবলমাত্র পর্যায়গুলি নয়, প্রশস্ততাগুলি সংশোধন করার আরও সাধারণ কাজের জন্য, ভুল ব্যবহারের প্রোটোকলটি কম তুচ্ছ পদ্ধতিতে প্রোটোকলের মাধ্যমে প্রচার করে, তাই প্রমাণ করা কঠিন, যদিও ফাংশন ইতিমধ্যে রাজ্যের অভিন্ন সুপারপজিশনের তুলনায় কিছু উন্নতি প্রদান করবে। এই ফর্মটি নিয়ে এগিয়ে অবিচ্ছেদ্য ওভার এখন সম্পাদন করা যেতে পারে, তাই আমরা ফাংশনটি হ্রাস করতে চাই এটি সংক্ষিপ্তভাবে হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$ যেখানে এর সর্বোত্তম পছন্দটি ম্যাট্রিক্স এর ন্যূনতম , এবং হ'ল ন্যূনতম এগেনুয়ালু গুরুতরভাবে, বৃহত , স্কেলগুলি চেয়ে rather নয় যা আমরা অভিন্ন পছন্দ

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$ । এটি ত্রুটি বিশ্লেষণের জন্য একটি উল্লেখযোগ্য উপকার পেয়েছে।

আপনি যদি এইচএইচএল কাগজে উল্লিখিত হিসাবে একই পেতে চান তবে আমার বিশ্বাস আপনি শর্তগুলি যোগ করতে হবে হ্যামিলটোনিয়ায়। আমার অবশ্য এটি করার কোন যুক্তি নেই, তবে এটি সম্ভবত আমার ব্যর্থ ing $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— DaftWullie
সূত্র

সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম (HHL09): পদক্ষেপ 2 - কী ?

প্রশ্নাবলী:

1. সংজ্ঞা

1.1 নাম নিবন্ধন করুন

2. প্রায় :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

3. প্রস্তুতি :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

৪.হ্যামিলটোনীয় সিমুলেশন:

2. প্রায় : $\left|\Psi_0\right>$

3. প্রস্তুতি : $\left|\Psi_0\right>$